Türevin Tanımı

Bir fonksiyonun \( x \) değişkenindeki değişimin fonksiyon değerinde oluşturduğu anlık değişim oranına fonksiyonun \( x \) değişkenine göre türevi denir. Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi aynı zamanda fonksiyonun grafiğine o noktada çizilen teğetin eğimine eşittir.

Yukarıda verilen limit ifadesi bir reel sayı olarak tanımlı ise fonksiyonun bu noktada türevi tanımlıdır ve değeri \( f'(a) \)'dır. Bu da fonksiyon grafiğinin \( (a, f(a)) \) noktasında bir teğetinin olduğu ve bu teğetin eğiminin \( f'(a) \) olduğu anlamına gelir.

Bir fonksiyona bir noktasında teğet çizebilmek için fonksiyon bu noktada tanımlı olmalıdır ve bu teğetin belirli bir eğim değerine sahip olabilmesi için yukarıdaki limitin tanımlı olması gerekir, bu da fonksiyonun bu noktada sürekli olmasını gerektirir.

Bir fonksiyonun türevinin en sık kullanılan gösterimi \( f'(x) \) şeklindedir, ancak aşağıdaki gösterimlerin tümü \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) değişkenine göre türevini ifade etmektedir.

Bir fonksiyonun türevi her zaman belirli bir değişkene göre alınır. Tek değişkenli fonksiyonlarda bu değişkeni belirtmeden ve türevin bu değişkene göre alındığını varsayarak türevi \( y' \) ya da \( f' \) şeklinde ifade edebiliriz, ancak çok değişkenli fonksiyonlarda türevi hangi değişkene göre aldığımızı diğer gösterim şekilleriyle tanımlamamız gerekir (\( \frac{dy}{dx} \) gibi).

\( dy \) ve \( dx \) ifadelerindeki \( d \) bir değişken değildir ve pay ve paydaki \( d \)'ler birbirini götürmez. İki nokta arasındaki ortalama değişim oranını hesaplarken kullandığımız \( \Delta y \) ve \( \Delta x \) ifadeleri bu aralıkta \( y \) ve \( x \) değişkenlerindeki değişimi ifade ederken, \( dy \) ve \( dx \) ifadeleri bu aralık sıfıra yaklaşırkenki değişimleri ifade etmektedir.

Türevin limit tanımında \( x \)'in gitgide \( a \)'ya yaklaştığını belirttik. Bunu \( x \) ve \( a \) arasındaki uzaklığın gitgide sıfıra yaklaşması olarak da ifade edebiliriz. Limit tanımında \( h \) değeri gitgide sıfıra yaklaşacak şekilde \( h = x - a \) dönüşümü yaparsak türevin ikinci tanımını elde ederiz.

SORU:

\( f(x) = 2x^2 + 4x +1 \) olarak tanımlanmıştır.

Buna göre \( \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} \) ifadesi kaça eşittir?

Çözümü Göster


SORU:

\( g(x) = x^2 + x + 3 \) olmak üzere,

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{g(3) - g(x)}{x - 3} \) ifadesi kaça eşittir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = x^3 - x \) olduğuna göre,

\( \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \) ifadesinin eşiti nedir?

Çözümü Göster

Soldan ve Sağdan Türev

Bir fonksiyonun bir noktada soldan ve sağdan limitlerinde olduğu gibi, soldan ve sağdan türevlerini de ayrı ayrı bulabiliriz.

Bir fonksiyonun bir noktada soldan ve sağdan türevleri tanımlı ve birbirine eşitse fonksiyonun o noktada türevi tanımlıdır ve bu değere eşittir.

Bir fonksiyon \( (a, b) \) açık aralığındaki tüm noktalarda türevlenebilir ise ve buna ek olarak \( x = a \) noktasında sağdan, \( x = b \) noktasında da soldan türevlenebilir ise \( [a, b] \) kapalı aralığında türevlenebilirdir.


« Önceki
Anlık Değişim Oranı
Sonraki »
Türevlenebilirlik


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır