Türevin Tanımı

Bir noktadaki türevin limit tanımını yazalım.

\( f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} \)

\( f'(2) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} \)

Paydaki ifadeyi bulalım.

\( f(2 + h) - f(2) = (2 + h)^4 - 2(2 + h) + 3 - (2^4 - 2(2) + 3) \)

\( = 2^4 + 4(2)^3h + 6(2)^2h^2 + 4(2)h^3 + h^4 - 4 - 2h + 3 - 16 + 4 - 3 \)

\( = 16 + 32h + 24h^2 + 8h^3 + h^4 - 2h - 16 \)

\( = h^4 + 8h^3 + 24h^2 + 30h \)

Bu ifadeyi türevin limit tanımında yerine koyalım.

\( f'(2) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{h^4 + 8h^3 + 24h^2 + 30h}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} (h^3 + 8h^2 + 24h + 30) \)

Limiti alınan polinom ifadesi tüm reel sayılarda sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.

\( = 0^3 + 8(0)^2 + 24(0) + 30 = 30 \) bulunur.

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

Paydaki ifadeyi bulalım.

\( f(x + h) - f(x) = (x + h)^3 + 2(x + h) - (x^3 + 2x) \)

\( = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2x + 2h - x^3 - 2x \)

\( = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2h \)

Bu ifadeyi türevin limit tanımında yerine koyalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2h}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 + 2) \)

Limit toplama kuralı ile limiti terimlere dağıtabiliriz.

\( = \lim\limits_{h \to 0} (3x^2) + \lim\limits_{h \to 0} (3xh) + \lim\limits_{h \to 0} {h^2} + \lim\limits_{h \to 0} {2} \)

Bu limit ifadelerinde \( x \) sabit terimdir.

\( = 3x^2 + 3x\lim\limits_{h \to 0} {h} + \lim\limits_{h \to 0} {h^2} + 2 \)

\( h \) sıfıra giderken \( h \) ve \( h^2 \) ifadelerinin limiti sıfırdır.

\( = 3x^2 + 2 \) bulunur.

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

Paydaki ifadeyi bulalım.

\( f(x + h) - f(x) = 5(x + h)^2 + 4(x + h) + 17 - (5x^2 + 4x + 17) \)

\( = 5x^2 + 10xh + 5h^2 + 4x + 4h + 17 - 5x^2 - 4x - 17 \)

\( = 10xh + 5h^2 + 4h \)

Bu ifadeyi türevin limit tanımında yerine koyalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{10xh + 5h^2 + 4h}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} (10x + 5h + 4) \)

Limit toplama kuralı ile limiti terimlere dağıtabiliriz.

\( = \lim\limits_{h \to 0} (10x) + \lim\limits_{h \to 0} (5h) + \lim\limits_{h \to 0} {4} \)

Birinci limit ifadesinde \( x \) sabit terimdir.

\( = 10x + 5\lim\limits_{h \to 0} {h} + 4 \)

\( h \) sıfıra giderken \( h \) ifadesinin limiti sıfırdır.

\( = 10x + 4 \) bulunur.

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

Paydaki ifadeyi bulalım.

\( f(x + h) - f(x) = (x + h)^3 - 2(x + h)^2 + 3(x + h) - 5 - (x^3 - 2x^2 + 3x - 5) \)

\( = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2x^2 - 4xh - 2h^2 + 3x + 3h - 5 - x^3 + 2x^2 - 3x + 5 \)

\( = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 4xh - 2h^2 + 3h \)

Bu ifadeyi türevin limit tanımında yerine koyalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 4xh - 2h^2 + 3h}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 4x - 2h + 3) \)

Limit toplama kuralı ile limiti terimlere dağıtabiliriz.

\( = \lim\limits_{h \to 0} (3x^2) + \lim\limits_{h \to 0} (3xh) + \lim\limits_{h \to 0} {h^2} - \lim\limits_{h \to 0} (4x) - \lim\limits_{h \to 0} (2h) + \lim\limits_{h \to 0} {3} \)

Bu limit ifadelerinde \( x \) sabit terimdir.

\( = 3x^2 + 3x\lim\limits_{h \to 0} {h} + \lim\limits_{h \to 0} {h^2} - 4x - 2\lim\limits_{h \to 0} {h} + 3 \)

\( h \) sıfıra giderken \( h \) ve \( h^2 \) ifadelerinin limiti sıfırdır.

\( = 3x^2 - 4x + 3 \) bulunur.

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

Paydaki ifadeyi bulalım.

\( f(x + h) - f(x) = \dfrac{x + h - 4}{x + h + 4} - \dfrac{x - 4}{x + 4} \)

\( = \dfrac{(x + h - 4)(x + 4) - (x - 4)(x + h + 4)}{(x + h + 4)(x + 4)} \)

\( = \dfrac{[(x - 4)(x + 4) + h(x + 4)] - [(x - 4)(x + 4) + h(x - 4)]}{(x + h + 4)(x + 4)} \)

\( = \dfrac{(x^2 - 16) + h(x + 4) - (x^2 - 16) - h(x - 4)}{(x + h + 4)(x + 4)} \)

\( = \dfrac{h(x + 4) - h(x - 4)}{(x + h + 4)(x + 4)} \)

\( = \dfrac{hx + 4h - hx + 4h}{(x + h + 4)(x + 4)} \)

\( = \dfrac{8h}{(x + h + 4)(x + 4)} \)

Bu ifadeyi türevin limit tanımında yerine koyalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\frac{8h}{(x + h + 4)(x + 4)}}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{8}{(x + h + 4)(x + 4)} \)

Bu limit ifadesinde \( x \) sabit terimdir.

Limiti alınan rasyonel fonksiyon ifadesi paydayı sıfır yapan \( h \) değerleri hariç tüm reel sayılarda sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.

\( = \dfrac{8}{(x + 0 + 4)(x + 4)} \)

\( = \dfrac{8}{(x + 4)^2} \) bulunur.

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

Paydaki ifadeyi bulalım.

\( f(x + h) - f(x) = \dfrac{1}{1 + (x + h)^2} - \dfrac{1}{1 + x^2} \)

\( = \dfrac{1 + x^2 - 1 - (x + h)^2}{(1 + (x + h)^2)(1 + x^2)} \)

\( = \dfrac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{(1 + (x + h)^2)(1 + x^2)} \)

\( = \dfrac{-2xh - h^2}{(1 + (x + h)^2)(1 + x^2)} \)

Bu ifadeyi türevin limit tanımında yerine koyalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\frac{-2xh - h^2}{(1 + (x + h)^2)(1 + x^2)}}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-2x - h}{(1 + (x + h)^2)(1 + x^2)} \)

Bu limit ifadesinde \( x \) sabit terimdir.

Limiti alınan rasyonel fonksiyon ifadesi paydayı sıfır yapan \( h \) değerleri hariç tüm reel sayılarda sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.

\( = \dfrac{-2x - 0}{(1 + (x + 0)^2)(1 + x^2)} \)

\( = \dfrac{-2x}{(1 + x^2)^2} \) bulunur.

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

Paydaki ifadeyi bulalım.

\( f(x + h) - f(x) = \dfrac{(x + h)^2}{x + h + 3} - \dfrac{x^2}{x + 3} \)

\( = \dfrac{(x^2 + 2xh + h^2)(x + 3) - x^2(x + h + 3)}{(x + h + 3)(x + 3)} \)

\( = \dfrac{x^3 + 3x^2 + 2x^2h + 6xh + xh^2 + 3h^2 - x^3 - x^2h - 3x^2}{(x + h + 3)(x + 3)} \)

\( = \dfrac{x^2h + 6xh + xh^2 + 3h^2}{(x + h + 3)(x + 3)} \)

Bu ifadeyi türevin limit tanımında yerine koyalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\frac{x^2h + 6xh + xh^2 + 3h^2}{(x + h + 3)(x + 3)}}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{x^2 + 6x + xh + 3h}{(x + h + 3)(x + 3)} \)

Bu limit ifadesinde \( x \) sabit terimdir.

Limiti alınan rasyonel fonksiyon ifadesi paydayı sıfır yapan \( h \) değerleri hariç tüm reel sayılarda sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.

\( = \dfrac{x^2 + 6x + x(0) + 3(0)}{(x + 0 + 3)(x + 3)} \)

\( = \dfrac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2} \)

\( = \dfrac{x(x + 6)}{(x + 3)^2} \) bulunur.

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + (x + h)^2} - \sqrt{1 + x^2}}{h} \)

Payı ve paydayı, payın eşleniği ile çarpalım.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(\sqrt{1 + (x + h)^2} - \sqrt{1 + x^2})(\sqrt{1 + (x + h)^2} + \sqrt{1 + x^2})}{h(\sqrt{1 + (x + h)^2} + \sqrt{1 + x^2})} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(\sqrt{1 + (x + h)^2})^2 - (\sqrt{1 + x^2})^2}{h(\sqrt{1 + (x + h)^2} + \sqrt{1 + x^2})} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1 + (x + h)^2 - (1 + x^2)}{h(\sqrt{1 + (x + h)^2} + \sqrt{1 + x^2})} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1 + x^2 + 2xh + h^2 - 1 - x^2}{h(\sqrt{1 + (x + h)^2} + \sqrt{1 + x^2})} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2xh + h^2}{h(\sqrt{1 + (x + h)^2} + \sqrt{1 + x^2})} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2x + h}{\sqrt{1 + (x + h)^2} + \sqrt{1 + x^2}} \)

Bu limit ifadesinde \( x \) sabit terimdir.

Doğrudan yerine koyma yöntemi ile ifadenin limitini bulalım.

\( = \dfrac{2x + 0}{\sqrt{1 + (x + 0)^2} + \sqrt{1 + x^2}} \)

\( = \dfrac{2x}{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 + x^2}} \)

\( = \dfrac{2x}{2\sqrt{1 + x^2}} \)

\( = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \) bulunur.

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3(x + h) + 1) - \sin(3x + 1)}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3x + 1 + 3h) - \sin(3x + 1)}{h} \)

Sinüs toplam formülünü kullanalım.

\( \sin(a + b) = \sin{a}\cos{b} + \cos{a}\sin{b} \)

\( a = 3x + 1 \) ve \( b = 3h \) alalım.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3x + 1)\cos(3h) + \sin(3h)\cos(3x + 1) - \sin(3x + 1)}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3x + 1)(\cos(3h) - 1) + \cos(3x + 1)\sin(3h)}{h} \)

Limit toplama kuralı ile ifadeyi iki limitin toplamı şeklinde yazalım.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3x + 1)(\cos(3h) - 1)}{h} + \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos(3x + 1)\sin(3h)}{h} \)

\( h \) içermeyen ifadeleri limitin dışına birer sabit olarak alabiliriz.

\( = \sin(3x + 1)\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos(3h) - 1}{h} + \cos(3x + 1)\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{h} \)

Her iki limit ifadesinde payı ve paydayı 3 ile çarpalım.

\( = \sin(3x + 1)\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{3\cos(3h) - 3}{3h} + \cos(3x + 1)\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{3\sin(3h)}{3h} \)

\( = 3\sin(3x + 1)\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos(3h) - 1}{3h} + 3\cos(3x + 1)\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{3h} \)

İspatlarını trigonometrik fonksiyonların limiti bölümünde verdiğimiz bazı trigonometrik ifadelerin limit değerlerini kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} = 0, \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)

\( = 3\sin(3x + 1) \cdot 0 + 3\cos(3x + 1) \cdot 1 \)

\( = 3\cos(3x + 1) \) bulunur.

\( \sgn{x} \) işaret fonksiyonu \( x \) sayısı pozitif ise \( +1 \), negatif ise \( -1 \), sıfır ise 0 değeri veren bir parçalı fonksiyondur.

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( f(x) = \sgn((x + 2)(x - 3)) \)

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Fonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( f(x) = \begin{cases} 0 & x = -2 \text{ veya } x = 3 \\ -1 & -2 \lt x \lt 3 \\ 1 & x \lt -2 \text{ veya } x \gt 3 \end{cases} \)

Soru 1: \( f'(1) \)

\( x = 1 \) noktasındaki soldan türevi bulalım.

Fonksiyon \( (-2, 3) \) aralığında \( f(x) = -1 \) şeklinde sabit fonksiyondur.

\( f'(1^-) = \lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} \)

\( = \lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{-1 - (-1)}{x - 1} \)

\( = \lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{0}{x - 1} \)

Payı 0 olan bu limit ifadesi bir belirsizlik ifade etmez ve sonucu 0'dır.

\( = 0 \)

\( x = 1 \) noktasındaki sağdan türevi bulalım.

\( f'(1^+) = \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} \)

\( = \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{-1 - (-1)}{x - 1} \)

\( = \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{0}{x - 1} \)

\( = 0 \)

\( f'(1^-) = f'(1^+) \) olduğundan fonksiyonun \( x = 1 \) noktasında türevi tanımlıdır ve bulduğumuz limit değerine eşittir.

\( f'(1) = 0 \)

Soru 2: \( f'(3) \)

\( x = 3 \) noktasındaki soldan türevi bulalım.

Fonksiyonun bu noktanın solunda ve sağında farklı tanımları vardır ve bu noktadaki değeri \( f(3) = 0 \)'dır.

\( f'(3^-) = \lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{f(x) - f(3)}{x - 3} \)

\( = \lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{-1 - 0}{x - 3} \)

\( = \lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{-1}{x - 3} \)

Bu limit bir belirsizlik değil, tanımsızlık ifade eder. Fonksiyon \( x \to 3^- \) iken pozitif sonsuza gider, dolayısıyla soldan limit tanımlı değildir.

\( = +\infty \)

\( x = 3 \) noktasındaki sağdan türevi bulalım.

\( f'(3^+) = \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{f(x) - f(3)}{x - 3} \)

\( = \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{1 - 0}{x - 3} \)

\( = \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{1}{x - 3} \)

Bu limit bir belirsizlik değil, tanımsızlık ifade eder. Fonksiyon \( x \to 3^+ \) iken pozitif sonsuza gider, dolayısıyla sağdan limit tanımlı değildir.

\( = +\infty \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlı olmadığı için bu noktada fonksiyonun türevi tanımlı değildir.

\( f \) fonksiyonunun \( x = -1 \) noktasındaki türevinin limit tanımını yazalım.

\( f'(-1) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(-1 + h) - f(-1)}{h} \)

Soruda verilen limit ifadesini düzenleyelim.

\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-(f(-1 + 8h) - f(-1))}{2h} \)

İfadenin payını ve paydasını 4 ile çarpalım.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-4(f(-1 + 8h) - f(-1))}{8h} \)

\( = -4\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(-1 + 8h) - f(-1)}{8h} \)

\( u = 8h \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( h \to 0 \) iken \( u = 8h \to 0 \) olur.

\( = -4\lim\limits_{u \to 0} \dfrac{f(-1 + u) - f(-1)}{u} \)

Limit ifadesi \( f \) fonksiyonunun \( x = -1 \) noktasındaki türevinin tanımıdır.

\( = -4f'(-1) \) bulunur.

Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.

\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

İfadeyi \( f'(x) \) limit tanımına benzetmek için ifadenin payına \( f(x) \) ekleyip çıkaralım.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x) + f(x) - f(x - h)}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x - h) - f(x)}{h} \)

Birinci limit ifadesi \( f'(x) \)'in limit tanımıdır.

\( = f'(x) - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x - h) - f(x)}{h} \)

Limit ifadesini düzenleyelim.

\( = f'(x) - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + (-h)) - f(x)}{h} \)

\( = f'(x) + \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + (-h)) - f(x)}{-h} \)

Limit iki yönlü bir işlem olduğu için \( h \) sıfıra giderkenki limit ile \( -h \) sıfıra giderkenki limit birbirine eşittir.

\( = f'(x) + f'(x) = 2f'(x) \) olarak bulunur.

\( x - 1 = h \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( x = 1 + h \)

\( x \to 1 \) iken \( x - 1 \to 0 \) olur.

\( x - 1 \to 0 \) iken \( h \to 0 \) olur.

\( \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(2 - x)}{x - 1} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(1 + h) - f(2 - (1 + h))}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(1 + h) - f(1 - h)}{h} \)

İfadeyi \( f'(1) \) limit tanımına benzetmek için ifadenin payına \( f(1) \) ekleyip çıkaralım.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(1 + h) - f(1) + f(1) - f(1 - h)}{h} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(1 - h) - f(1)}{h} \)

Birinci limit ifadesi \( f'(1) \)'in limit tanımıdır.

\( = f'(1) + \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(1 + (-h)) - f(1)}{-h} \)

Limit iki yönlü bir işlem olduğu için \( h \) sıfıra giderkenki limit ile \( -h \) sıfıra giderkenki limit birbirine eşittir.

\( = f'(1) + f'(1) = 2f'(1) \) olarak bulunur.

Bir fonksiyonun birinci türevi belirli bir \( x \) değeri için \( y \) değerindeki anlık değişimi verir.

Fonksiyonun birinci türevinin \( [4, 7] \) aralığında olduğu biliniyor. \( f(0) = 12 \) ise \( f(-5) \) değerinin en küçük değerini alması için fonksiyon değeri \( [-5, 0] \) aralığında maksimum miktarda artmış olmalıdır, yani birinci türev bu aralıkta en büyük değerini almalıdır.

Birinci türevin alabileceği en büyük değer olan \( f'(x) = 7 \) değerini \( [-5, 0] \) aralığındaki ortalama değişim oranı olarak kabul edelim.

Ort. Değişim Oranı \( = \dfrac{f(0) - f(-5)}{0 - (-5)} \)

\( 7 = \dfrac{12 - f(-5)}{5} \)

\( 12 - f(-5) = 35 \)

\( f(-5) = -23 \)

Buna göre \( f(-5) \) ifadesinin alabileceği en küçük değer \( -23 \) olur.