Türevlenebilirlik

Bir fonksiyonun bir noktada türevinin tanımlı olabilmesi (bir diğer ifadeyle türevlenebilir olması) için aşağıdaki iki koşulu sağlaması gerekir.

  • Fonksiyon o noktada sürekli olmalıdır.
  • Fonksiyonun o noktada soldan ve sağdan türevleri birbirine eşit olmalıdır.

Buna göre, bir fonksiyonun bir noktada türevinin tanımlı olduğunu biliyorsak fonksiyonun o noktada sürekli olduğunu da biliyor oluruz. Ama fonksiyonun sürekli olduğu her noktada türevi olmayabilir.

Bir fonksiyon \( [a, b] \) aralığındaki her noktada türevlenebilir ise bu aralıkta türevlenebilirdir.

Aşağıda \( x = b \) noktasında türevlenebilir olmayan dört fonksiyon verilmiştir.

Grafik Açıklama
Türevlenebilir olmayan fonksiyon (sıçrama süreksizliği) Fonksiyon \( x = b \) noktasında limitsiz ve süreksizdir. Bu yüzden fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.
Türevlenebilir olmayan fonksiyon (kaldırılabilir süreksizlik) Fonksiyon \( x = b \) noktasında limitlidir, ama süreksizdir. Bu yüzden fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.
Türevlenebilir olmayan fonksiyon (soldan ve sağdan türevler eşit değil) Fonksiyon \( x = b \) noktasında limitli ve süreklidir, ama soldan ve sağdan türevleri (eğimleri) birbirine eşit değildir. Bu yüzden fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.
Türevlenebilir olmayan fonksiyon (dikey teğet) Fonksiyon \( x = b \) noktasındaki limitli ve süreklidir, ama teğeti dikey bir doğrudur, yani eğimi ve türevi tanımsızdır. Bu yüzden fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.

Limitli Olma - Süreklilik - Türevlenebilirlik

Bir \( f \) fonksiyonunun belirli bir \( a \) noktasındaki limitli/sürekli/türevlenebilir olma durumları arasındaki ilişki aşağıda özetlenmiştir.

Limitli olma - süreklilik - türevlenebilirlik
Limitli olma - süreklilik - türevlenebilirlik

Buna göre:

  • Fonksiyon \( a \) noktasında türevlenebilir ise bu noktada aynı zamanda sürekli ve limitlidir.
  • Fonksiyon \( a \) noktasında sürekli ise bu noktada aynı zamanda limitlidir.
  • Aynı ilişki ters yönlü olarak kurulamaz, yani fonksiyon \( a \) noktasında limitli ise bu noktada sürekli ya da türevli olabilir ya da olmayabilir.
  • Benzer şekilde, fonksiyon \( a \) noktasında sürekli ise bu noktada türevli olabilir ya da olmayabilir.
SORU:

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( b \) noktasında,

  1. Limitli olması
  2. Tanımlı olması
  3. Sürekli olması
  4. Soldan ve sağdan türevlerinin eşit olması

durumlarından hangileri fonksiyonun bu noktada türevinin olması için gerekli koşullardır?

Çözümü Göster


SORU:
\( g(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + a & x \le 1 \\ x^3 + 2x^2 - 3x + b & x \gt 1 \end{cases} \)

\( g(x) \) fonksiyonu her noktada türevli olduğuna göre,

\( a \) ve \( b \) arasındaki ilişkiyi bulunuz.

Çözümü Göster


SORU:
Türevlenebilirlik

Yukarıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun kaç noktada türevi yoktur?

Çözümü Göster


SORU:

\( g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 2x + a} \) fonksiyonunun her \( x \) gerçek sayısı için türevinin olabilmesi için \( a \) sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = \sqrt{9 - x^2} \) fonksiyonu en geniş tanım kümesindeki \( x \) değerlerinden kaçında türevsizdir?

Çözümü Göster


« Önceki
Türevin Tanımı
Sonraki »
Türev Alma Kuralları


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır