Fonksiyon Grafiklerinin Türev Yorumu

Bu bölümde bazı örnek fonksiyonların ve türevlerinin grafiklerini inceleyeceğiz.

Doğrusal Fonksiyon ve Türevleri

Aşağıda azalan bir doğrusal fonksiyonun ve türevlerinin denklem ve grafikleri verilmiştir.

Doğrusal fonksiyon ve türevlerinin grafiği
Doğrusal fonksiyon ve türevlerinin grafiği

Bu fonksiyon ve türevleri ile ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri doğrusal bir şekilde azalır.
  • Ana fonksiyonun eğimi negatif ve sabit olduğu için birinci türev de sabit ve negatiftir.
  • Birinci türevin eğimi sabit olduğu için ikinci türev sıfırdır.
  • Ana fonksiyonun artan bir doğrusal fonksiyon olması durumunda, birinci türev fonksiyonu pozitif değere sahip sabit fonksiyon olacaktır.

Parabol ve Türevleri

Aşağıda pozitif başkatsayılı (kolları yukarı bakan) bir parabolün ve türevlerinin denklem ve grafikleri verilmiştir.

İkinci dereceden polinom fonksiyonu ve türevlerinin grafiği
İkinci dereceden polinom fonksiyonu ve türevlerinin grafiği

Bu fonksiyon ve türevleri ile ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyon ikinci dereceden bir polinom fonksiyonu (parabol), birinci türev birinci dereceden bir polinom fonksiyonu (doğru), ikinci türev sıfırıncı dereceden bir polinom fonksiyonudur (sabit fonksiyon).
  • Ana fonksiyon \( (-\infty, 1) \) aralığında azalandır, dolayısıyla birinci türev bu aralıkta negatiftir.
  • Ana fonksiyon \( x = 1 \) noktasında bir yerel minimum değerine ulaşır ve eğimi, dolayısıyla birinci türevi bu noktada sıfır olur.
  • Ana fonksiyon \( (1, +\infty) \) aralığında artandır, dolayısıyla birinci türev bu aralıkta pozitiftir.
  • Ana fonksiyonun tüm tanım aralığında eğimi artmaktadır, dolayısıyla birinci türevi artan, ikinci türevi pozitiftir.

3. Dereceden Polinom Fonksiyonu ve Türevleri

Aşağıda pozitif başkatsayılı üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonunun ve türevlerinin denklem ve grafikleri verilmiştir.

Üçüncü dereceden polinom fonksiyonu ve türevlerinin grafiği
Üçüncü dereceden polinom fonksiyonu ve türevlerinin grafiği

Bu fonksiyon ve türevleri ile ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyon üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonu, birinci türev ikinci dereceden bir polinom fonksiyonu (parabol), üçüncü türev birinci dereceden bir polinom fonksiyonudur (doğru).
  • Ana fonksiyon \( (-\infty, 0) \) ve \( (2, +\infty) \) aralıklarında artandır, dolayısıyla birinci türev bu aralıkta pozitiftir.
  • Ana fonksiyon \( (0, 2) \) aralığında azalandır, dolayısıyla birinci türev bu aralıkta negatiftir.
  • Ana fonksiyon \( x = 0 \) noktasında bir yerel maksimum değerine, \( x = 2 \) noktasında bir yerel minimum değerine ulaşır ve eğimi, dolayısıyla birinci türevi bu noktalarda sıfır olur.
  • Ana fonksiyonun eğimi \( (-\infty, 1) \) aralığında azalır, dolayısıyla bu aralıkta birinci türev azalandır ve ikinci türev negatiftir.
  • Ana fonksiyonun eğimi \( (1, +\infty) \) aralığında artar, dolayısıyla bu aralıkta birinci türev artandır ve ikinci türev pozitiftir.
  • Ana fonksiyonun eğimi \( x = 1 \) noktasında azalırken artmaya başladığı ve grafik konkavdan konvekse geçtiği için bu nokta bir büküm noktasıdır ve ikinci türevi sıfırdır.

Sinüs Fonksiyonu ve Türevleri

Aşağıda sinüs fonksiyonunun ve türevlerinin denklem ve grafikleri verilmiştir.

Sinüs fonksiyonu ve türevlerinin grafiği
Sinüs fonksiyonu ve türevlerinin grafiği

Bu fonksiyon ve türevleri ile ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun \( x = \frac{\pi}{2} \)'deki yerel maksimum ve \( x = \frac{3\pi}{2} \)'deki yerel minimum noktalarında birinci türev sıfırdır.
  • Ana fonksiyonun eğimi \( x = 0 \) ve \( x = 2\pi \) noktalarında artarken azalmaya, \( x = \pi \) noktasında ise azalırken artmaya başlamıştır, dolayısıyla bu noktalar birer büküm noktasıdır. Bu noktalarda birinci türev yerel minimum ya da maksimum değerlerine ulaşmıştır, ikinci türev ise sıfırdır.

Logaritma Fonksiyonu ve Türevleri

Aşağıda doğal logaritma fonksiyonunun ve türevlerinin denklem ve grafikleri verilmiştir.

Logaritma fonksiyonu ve türevlerinin grafiği
Logaritma fonksiyonu ve türevlerinin grafiği

Bu fonksiyon ve türevleri ile ilgili aşağıdaki yorumları yapabiliriz.

  • Ana fonksiyonun değeri tüm tanım aralığında artış hızı azalarak artar.
  • Ana fonksiyonun eğimi pozitiftir ve azalmaktadır, dolayısıyla birinci türev de pozitif ve azalandır.
  • Birinci türevin eğimi negatiftir ve sıfıra yaklaşmaktadır, bu yüzden ikinci türev de negatiftir ve sıfıra yaklaşmaktadır.

Tek/Çift Fonksiyonların Türevi

Bir tek fonksiyonun türevi çift fonksiyondur.

Bir çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur.


« Önceki
Büküm Noktaları
Sonraki »
Türev Uygulamaları


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır