Kısmi Türev

İki ya da daha fazla değişkene bağlı bir fonksiyonun diğer değişkenler sabit varsayılarak tek bir değişken için hesaplanan anlık değişim oranına fonksiyonun o değişken için kısmi türevi denir.

Örnek olarak, iki değişkenli \( z = f(x, y) \) fonksiyonunun \( x \) değişkenine göre kısmi türevinde \( y \) değişkeni sabit olarak kabul edilir ve fonksiyonun \( x \)'e göre türevi alınır. Benzer şekilde, fonksiyonun \( y \) değişkenine göre kısmi türevinde \( x \) değişkeni sabit olarak kabul edilir ve fonksiyonun \( y \)'ye göre türevi alınır.

İki değişkenli \( z = f(x, y) \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \) değişkenlerine göre türevlerinin en sık karşılaşacağımız gösterimleri aşağıdaki gibidir.

Kısmi türevde kullanılan \( \partial f, \partial x, \partial y \) sembolleri tek değişkenli fonksiyonların türevinde kullandığımız \( df, dx, dy \) sembolleri ile benzer anlam taşısalar da yapılan işlemin bir kısmi türev işlemi olduğunu belirtmek açısından diğerlerinden farklıdır.

Kısmi türevin limit tanımında da hangi değişkene göre türev alınıyorsa sadece o değişken için limiti alınan noktaya gitgide yaklaşan değerler verilir ve diğer değişkenler sabit kabul edilir.

\( z = f(x, y) \) şeklindeki bir fonksiyonun kısmi türevlerini fonksiyonun \( x \), \( y \) ve \( z \) eksenlerinden oluşan üç boyutlu koordinat sistemindeki grafiği açısından aşağıdaki gibi yorumlayabiliriz.

  • \( f_x(a, b) \) değeri fonksiyonun \( (a, b, f(a, b)) \) noktasındaki \( x \) ekseni yönündeki teğetinin eğimini verir.
  • \( f_y(a, b) \) değeri fonksiyonun \( (a, b, f(a, b)) \) noktasındaki \( y \) ekseni yönündeki teğetinin eğimini verir.

Kısmi Türev İşlem Kuralları

Tek değişkenli fonksiyonların türevinde kullandığımız türev kuralları kısmi türevde de geçerlidir.

Çarpma Kuralı

İki değişkenli iki fonksiyonun çarpımının kısmi türevi, birinci fonksiyonun kısmi türevi ile ikinci fonksiyonun kendisinin çarpımı ve birinci fonksiyonun kendisi ile ikinci fonksiyonun kısmi türevinin çarpımının toplamına eşittir.

SORU:

\( f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot \sin(x^2 + y^2) \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \) değişkenlerine göre kısmi türevlerini bulalım.

Çözümü Göster

Bölme Kuralı

İki değişkenli iki fonksiyonun bölümünün kısmi türevinin formülü aşağıdaki gibidir.

SORU:

\( f(x, y) = \dfrac{x^2y^3}{x^2 + y^3} \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \) değişkenlerine göre kısmi türevlerini bulalım.

Çözümü Göster

Zincir Kuralı (Tek Bağımsız Değişken)

İki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerinin ikisi de üçüncü ortak bir değişkene bağlı tek değişkenli fonksiyonlar ise fonksiyonun bu üçüncü değişkene göre kısmi türevini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

Dikkat edilirse yukarıdaki formülde iki değişkenli \( z \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \)'ye göre türevleri kısmi türev olduğu için \( \partial z \), \( \partial x \) ve \( \partial y \) sembolleri, bir değişkenli \( g \) ve \( h \) fonksiyonlarının \( t \)'ye göre türevleri normal türev olduğu için \( dx \), \( dy \) ve \( dt \) sembolleri kullanılmıştır.

SORU:

\( z = 4x^2 + 2y^3 - 2xy \)

\( x = 2t^2 \)

\( y = t^3 \) ise,

\( \dfrac{dz}{dt} \) türevini bulalım.

Çözümü Göster

Zincir Kuralı (İki Bağımsız Değişken)

İki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerinin ikisi de aynı iki değişkene bağlı iki değişkenli fonksiyonlar ise fonksiyonun bu değişkenlere göre kısmi türevlerini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

SORU:

\( z = x^4 + y^2 \)

\( x = s \cdot \sin{t} \)

\( y = s \cdot \cos{t} \) olmak üzere,

\( z \) fonksiyonunun \( s \) ve \( t \) değişkenlerine göre kısmi türevini bulalım.

Çözümü Göster

Yüksek Dereceli Kısmi Türev

Çok değişkenli fonksiyonların birden fazla kez kısmi türevini alarak yüksek dereceli kısmi türev fonksiyonlarını elde edebiliriz. Bir fonksiyonun arka arkaya alınan kısmi türevleri aşağıda göreceğimiz gibi aynı değişkene göre olmak zorunda değildir.

Bir \( f \) fonksiyonunun örneğin üçüncü dereceden kısmi türevi \( f_{ijk} \) şeklinde gösterilir. Bu gösterimde \( i \) birinci sırada, \( j \) ikinci sırada, \( k \) da üçüncü sırada kısmi türevi alınan değişkeni ifade eder.

SORU:

\( f(x, y) = x^5 \ln{y} \)

olduğuna göre, \( f_{yxyxy} \) kısmi türevini bulalım.

Çözümü Göster

Clairaut Teoremi

Yukarıdaki örnekte de görülebileceği gibi, hem \( x \) hem de \( y \)'ye göre alınan ikinci dereceden kısmi türevde hangi değişkene göre önce türev alındığı sonucu değiştirmez. Buna göre iki değişkenli bir fonksiyonun ikinci dereceden türevinde süreklilik koşulu sağlandığı sürece aşağıdaki eşitlik geçerlidir.

Benzer şekilde, hem \( x \) hem de \( y \)'ye göre alınan üçüncü dereceden kısmi türevde her değişkenin aynı sayıda türevinin alındığı durumlar aynı sonucu verir.

Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonların Kısmi Türevi

Bir fonksiyon aşağıdaki gibi üç ya da daha fazla sayıda değişkene bağlı ise iki değişkenli duruma benzer şekilde diğer değişkenleri sabit varsayarak her değişkenine göre ayrı ayrı kısmi türevini alabiliriz.

Çok değişkenli kısmi türevin limit tanımını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.


« Önceki
Maksimum - Minimum Problemleri
Sonraki »
Kapalı Fonksiyonların Türevi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır