Kapalı Fonksiyonların Türevi
Açık ve Kapalı Fonksiyonlar
Bir fonksiyon denkleminin formu açısından açık ve kapalı olmak üzere iki şekilde olabilir.
\( y = f(x) \) formunda bulunan, yani fonksiyonun çıktısı olan \( y \) değişkeninin fonksiyonun girdisi olan \( x \) değişkeni cinsinden ifade edildiği fonksiyonlara açık fonksiyon denir.
\( y = f(x) \)
\( y = 2x^3 - 5x^2 - 3 \)
\( y = 3\sin{x} - 4\cos{x} \)
\( F(x, y) = 0 \) formunda bulunan, yani \( x \) ve \( x \)'e bağlı \( y \) değişkeninin birlikte ve eşitliğin aynı tarafında yer aldığı fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.
\( F(x, y) = 0 \)
\( 2x^2 + 3xy + y^2 = 9 \)
\( e^{xy} - 3xy = 0 \)
Bazı kapalı fonksiyonlar terimleri yeniden düzenlenerek açık fonksiyona çevrilebilir, ancak tüm kapalı fonksiyonlar için bu mümkün değildir. Aşağıda açık formda ifade edilemeyen kapalı fonksiyonlara bir örnek verilmiştir.
\( y + e^y - x = 0 \)
Açık fonksiyon formuna çevrilemeyen ya da çevirmenin zor olduğu durumlarda kapalı formdaki fonksiyonların türevini almak için aşağıda bahsedeceğimiz yönteme ihtiyaç duyarız.
Kapalı Fonksiyonların Türevini Alma
Kapalı fonksiyonların türevini alırken daha önce öğrendiğimiz türev alma kuralları, özellikle de zincir, çarpma ve bölme kuralları kullanılır. Bu türev işlemlerinde karşılaşacağımız en temel üç durum aşağıdaki gibidir.
\( x \)'li terimlerin türevinde temel türev kuralları kullanılır.
\( \dfrac{d (x)}{dx} = 1 \)
\( \dfrac{d (x^3)}{dx} = 3x^2 \)
\( \dfrac{d (\sin{2x})}{dx} = \cos{2x} \cdot 2 \)
\( y \) değişkeni \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğu için \( y \)'li terimlerin türevinde zincir kuralı kullanılır, dolayısıyla sonucun \( \frac{dy}{dx} \) ile de çarpılması gerekir.
\( \dfrac{d (y)}{dx} = \dfrac{dy}{dx} \)
\( \dfrac{d (y^2)}{dx} = 2y\dfrac{dy}{dx} \)
\( \dfrac{d (\cos{3y})}{dx} = -\sin{3y} \cdot 3 \dfrac{dy}{dx} \)
\( x \) ve \( y \)'nin çarpımından ve bölümünden oluşan terimlerin türevinde çarpma ve bölme kuralları kullanılır.
\( \dfrac{d (x^2y^3)}{dx} = \dfrac{d (x^2)}{dx}y^3 + x^2\dfrac{d (y^3)}{dx} \)
\( = 2xy^3 + x^23y^2\dfrac{dy}{dx} \)
Bu bilgiler doğrultusunda kapalı fonksiyonların türevi iki adımda alınır.
Türev Alma
İlk önce eşitliğin her iki tarafının \( x \) değişkenine göre türevi alınır.
\( F(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^3 - 9 = 0 \)
\( \dfrac{d}{dx} (2x^2 + 3xy + y^3 - 9) = \dfrac{d}{dx} (0) \)
\( \dfrac{d (2x^2)}{dx} + \dfrac{d (3xy)}{dx} + \dfrac{d (y^3)}{dx} - \dfrac{d (9)}{dx} = 0 \)
\( 4x + (3y + 3x\dfrac{dy}{dx}) + 3y^2\dfrac{dy}{dx} - 0 = 0 \)
\( \frac{dy}{dx} \)'yi Yalnız Bırakma
İkinci adımda türevi alınan kapalı fonksiyonun terimleri düzenlenerek \( \frac{dy}{dx} \) ifadesi yalnız bırakılır. Elde edilen \( \frac{dy}{dx} \) ifadesi kapalı fonksiyonunun türevidir ve hem \( x \) hem de \( y \) değişkenleri içerebilir.
\( 4x + 3y + 3x\dfrac{dy}{dx} + 3y^2\dfrac{dy}{dx} = 0 \)
\( \dfrac{dy}{dx} \cdot (3x + 3y^2) = -(4x + 3y) \)
\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4x + 3y}{3x + 3y^2} \)
\( e^{5xy} = 3y \)
kapalı fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözümü Göster
Kapalı Fonksiyonların Türevinin Genel Formülü
Yukarıdaki yöntemi uyguladığımızda elde ettiğimiz sonuca aşağıdaki formülü kullanarak da ulaşabiliriz. Buna göre kapalı bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun \( x \) ve \( y \) değişkenlerine göre kısmi türevlerinin oranının negatifine eşittir (kısmi türev konu anlatımı).
\( F_x \) ve \( F_y \), \( F \) fonksiyonunun kısmi türevleri olmak üzere,
\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)
\( F(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^3 - 9 = 0 \)
\( F_x = 4x + 3y + 0 - 0 \)
\( F_y = 0 + 3x + 3y^2 - 0 \)
\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4x + 3y}{3x + 3y^2} \)
\( e^{5xy} = 3y \)
kapalı fonksiyonunun türevini genel formülü kullanarak bulalım.
Çözümü Göster
Kapalı Fonksiyonlarda Eğim Bulma
Açık fonksiyonlarda olduğu gibi, kapalı fonksiyonların türevinin belirli bir noktadaki değeri bize fonksiyon grafiğine o noktada çizilen teğetin eğimini verir.
Aşağıda örnekte bir kapalı fonksiyonun türevi alınarak belirli bir noktadaki eğimi işlemsel ve grafiksel olarak gösterilmiştir.
\( F(x, y) = y^3 + y^2 - 4y - 2x^2 + 4 = 0 \)
\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4x}{3y^2 + 2y - 4} \)
Fonksiyonun \( A(2, -2) \) noktasındaki eğimi:
\( \dfrac{dy}{dx}|_{(2, -2)} = \dfrac{4(2)}{3(-2)^2 + 2(-2) - 4} \)
\( = \dfrac{8}{4} = 2 \)
