\( f \) fonksiyonunun türevi alındığında elde edilen \( f' \) fonksiyonuna \( f \) fonksiyonunun birinci türevi ya da birinci dereceden türevi denir. \( f' \) de bir fonksiyon olduğu için aynı türev alma kuralları kullanılarak türevi alınabilir. \( f' \) fonksiyonunun türevi alındığında elde edilen fonksiyona \( f \) fonksiyonunun ikinci türevi ya da ikinci dereceden türevi denir.
Bir fonksiyonun ikinci türevi aşağıdaki şekillerde gösterilir.
Fonksiyonların daha yüksek dereceden türevleri de benzer şekilde alınabilir.
Bir fonksiyonun üçüncü türevi, birinci türevinin ikinci türevi ve ikinci türevinin birinci türevi aynı fonksiyonlara karşılık gelir.
Bir fonksiyonun birinci türevi ana fonksiyonun eğimini/anlık değişim oranını verdiği gibi, ikinci türevi de birinci türev fonksiyonunun eğimini/anlık değişim oranını verir. Benzer şekilde, üçüncü türev fonksiyonu da ikinci türev fonksiyonunun eğimini/anlık değişim oranını verir.
Bir fonksiyonun bir \( x = a \) noktasında çift katlı bir kökü varsa fonksiyonun birinci türevi de bu noktada sıfır olur, dolayısıyla bu kök fonksiyonun birinci türevinin de bir kökü olur.
Bir fonksiyonun bir \( x = a \) noktasında üç katlı bir kökü varsa fonksiyonun birinci ve ikinci türevleri de bu noktada sıfır olur, dolayısıyla bu kök fonksiyonun birinci ve ikinci dereceden türevlerinin de bir kökü olur.
SORU 1:
\( f(x) = x^2\ln{x} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{d^3f(x)}{dx^3} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
\( \dfrac{d^3f(x)}{dx^3} \) ifadesi \( f \) fonksiyonunun 3. dereceden türevidir.
Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = (x^2)'\ln{x} + x^2(\ln{x})' \)
\( = 2x\ln{x} + x^2\dfrac{1}{x} \)
\( = 2x\ln{x} + x \)
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = 2((x)'\ln{x} + x(\ln{x})') + 1 \)
\( = 2(\ln{x} + x\dfrac{1}{x}) + 1 \)
\( = 2\ln{x} + 3 \)
Fonksiyonun üçüncü türevini alalım.
\( f'''(x) = \dfrac{2}{x} \) bulunur.
SORU 2:
\( f(x) = 3x^9 - 2\sqrt{x} - \cos(3x) + e^{-2x} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{d^5y}{dx^5} \) ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( f(x) = 3x^9 - 2x^{\frac{1}{2}} - \cos(3x) + e^{-2x} \)
Verilen ifadenin sırayla 1. dereceden 5. dereceye kadar türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = 27x^8 - x^{-\frac{1}{2}} + 3\sin(3x) - 2e^{-2x} \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = 216x^7 + \dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} + 9\cos(3x) + 4e^{-2x} \)
\( \dfrac{d^3y}{dx^3} = 1512x^6 - \dfrac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}} - 27\sin(3x) - 8e^{-2x} \)
\( \dfrac{d^4y}{dx^4} = 9072x^5 + \dfrac{15}{8}x^{-\frac{7}{2}} - 81\cos(3x) + 16e^{-2x} \)
\( \dfrac{d^5y}{dx^5} = 45360x^4 -\dfrac{105}{16}x^{-\frac{9}{2}} + 243\sin(3x) - 32e^{-2x} \)
\( = 45360x^4 -\dfrac{105}{16\sqrt{x^9}} + 243\sin(3x) - 32e^{-2x} \)
SORU 3:
\( f(x) = \sin(-x) \) fonksiyonunun 199. dereceden türevi nedir?
Çözümü Göster
Fonksiyonun birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.
\( f(x) = \sin(-x) \)
\( f'(x) = -\cos(-x) \)
\( f''(x) = -\sin(-x) \)
\( f'''(x) = \cos(-x) \)
\( f^{(4)}(x) = \sin(-x) = f(x) \)
Fonksiyonun 4. dereceden türevi kendisine eşit olduğuna göre, periyodik olarak her 4 türevde bir fonksiyon kendisine eşit olacaktır.
199'un 4'e bölümünden kalan 3'tür.
\( 199 = 4 \cdot 49 + 3 \)
\( f^{(199)}(x) = f'''(x) \)
\( = \cos(-x) \) bulunur.
SORU 4:
\( \dfrac{d^{100}(\ln{x})}{dx^{100}} \) ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \ln{x} = y \) diyelim.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x} \)
\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{1}{x^2} \)
\( \dfrac{d^3y}{dx^3} = \dfrac{2}{x^3} \)
\( \dfrac{d^4y}{dx^4} = -\dfrac{6}{x^4} \)
\( \dfrac{d^5y}{dx^5} = \dfrac{24}{x^5} \)
\( \vdots \)
Oluşan örüntüye göre çift sayı dereceden türevlerin sonucu negatif, tek sayı dereceden türevlerin sonucu pozitiftir.
Buna göre \( n \). dereceden türev formülünde \( (-1)^{n - 1} \) çarpanı bulunmalıdır.
Ayrıca paydaki katsayı \( n \)'nin bir eksiğine kadarki pozitif tam sayıların çarpımıdır.
Buna göre \( n \). dereceden türev formülünde paydaki katsayı \( (n - 1)! \) olur.
\( n \). dereceden türevde paydadaki ifade \( x \)'in \( n \). üssü olur.
Buna göre verilen ifadenin \( n \). dereceden türev formülü aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{d^n(\ln{x})}{dx^n} = (-1)^{n - 1} \dfrac{(n - 1)!}{x^n} \)
Formülde \( n = 100 \) yazalım.
\( \dfrac{d^{100}(\ln{x})}{dx^{100}} = (-1)^{100 - 1} \dfrac{(100 - 1)!}{x^{100}} \)
\( = -\dfrac{99!}{x^{100}} \) bulunur.
SORU 5:
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \dfrac{d^n}{dx^n}(e\ln{x}) \) ifadesinin \( n \) cinsinden sonucu nedir?
Çözümü Göster
Verilen ifadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.
\( \dfrac{d(e\ln{x})}{dx} = ex^{-1} \)
\( \dfrac{d^2(e\ln{x})}{dx^2} = (ex^{-1})' = -1ex^{-2} \)
\( \dfrac{d^3(e\ln{x})}{dx^3} = -1(-2)ex^{-3} \)
\( = (-1)^2(2!)ex^{-3} \)
\( \dfrac{d^4(e\ln{x})}{dx^4} = -1(-2)(-3)ex^{-4} \)
\( = (-1)^3(3!)ex^{-4} \)
Bu örüntüyü kullanarak ifadenin \( n \) dereceden türev formülünü yazalım.
\( \dfrac{d^n(e\ln{x})}{dx^n} = (-1)^{n - 1}(n - 1)!ex^{-n} \)
\( = \dfrac{(-1)^{n - 1}(n - 1)!e}{x^{n}} \) bulunur.
SORU 6:
\( f(x) = \dfrac{1}{7x + 1} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{d^{64}f(x)}{dx^{64}} \) sonucu nedir?
Çözümü Göster
İstenen ifade \( f \) fonksiyonunun 64. dereceden türevidir.
Verilen ifadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.
\( f(x) = \dfrac{1}{7x + 1} = (7x + 1)^{-1} \)
\( f'(x) = -1(7x + 1)^{-2} \cdot 7 \)
\( f''(x) = 2(7x + 1)^{-3} \cdot 7^2 \)
\( f'''(x) = -6(7x + 1)^{-4} \cdot 7^3 \)
\( f^{(4)}(x) = 24(7x + 1)^{-5} \cdot 7^4 \)
Buna göre fonksiyonun \( n \). dereceden türevinde ilk çarpan \( n! \), parantez içindeki ifadenin üssü \( (-n - 1) \) ve son çarpan \( 7^n \) olmaktadır, ayrıca \( n \)'nin çift sayı değerlerinde ifade pozitif, tek sayı değerlerinde negatif olmaktadır.
Buna göre fonksiyonun \( n \). dereceden türevinin formülü aşağıdaki gibi olur.
\( f^{(n)}(x) = (-1)^nn!(7x + 1)^{-n - 1} \cdot 7^n \)
Fonksiyonun 64. dereceden türevi için formülde \( n = 64 \) koyalım.
\( f^{(64)}(x) = (-1)^{64}64!(7x + 1)^{-64 - 1} \cdot 7^{64} \)
\( = 64!\ 7^{64}\ (7x + 1)^{-65} \) bulunur.
SORU 7:
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( y = n(2x + 1)^n \) için \( \dfrac{d^ny}{dx^n} \) ifadesinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
\( \frac{d^ny}{dx^n} \) ifadesi verilen fonksiyonun \( n \). dereceden türevidir.
İfadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.
\( y' = n \cdot n(2x + 1)^{n - 1} \cdot 2 \)
\( y'' = n \cdot n(n - 1)(2x + 1)^{n - 2} \cdot 2^2 \)
\( y''' = n \cdot n(n - 1)(n - 2)(2x + 1)^{n - 3} \cdot 2^3 \)
İfadenin \( n \). dereceden türevinde parantez içindeki ifade \( (2x + 1)^{n - n} = (2x + 1)^0 \) olur.
İfadenin \( n \). dereceden türevinde parantezin üssünden \( n! \) çarpanı gelir.
İfadenin \( n \). dereceden türevinde parantez içinin türevinden \( 2^n \) çarpanı gelir.
Buna göre ifadenin \( n \). dereceden türevi aşağıdaki gibi olur.
\( y^{(n)} = n \cdot n!(2x + 1)^0 \cdot 2^n \)
\( = n \cdot n! \cdot 2^n \) bulunur.
SORU 8:
\( f \) ve \( g \), 1. ve 2. dereceden türevli fonksiyonlardır.
\( f(0) = 2, \quad f'(0) = 0, \quad f''(0) = 4 \)
\( g(0) = 1, \quad g'(0) = 1, \quad g''(0) = 2 \)
\( \frac{f(x)}{g(x)} \) fonksiyonunun ikinci dereceden türevinin \( x = 0 \) noktasındaki değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Türev bölme kuralı ile ifadenin birinci dereceden türevini alalım.
\( (\dfrac{f(x)}{g(x)})' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \)
Türev bölme kuralı ile ifadenin ikinci dereceden türevini alalım.
\( (\dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)})' = \dfrac{(f'(x)g(x) - f(x)g'(x))'g^2(x) - (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))(g^2(x))'}{g^4(x)} \)
Türev çarpma kuralını uygulayalım.
\( = \dfrac{(f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) - (f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)))g^2(x) - (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))2g(x)g'(x)}{g^4(x)} \)
Bu türev ifadesinin \( x = 0 \) noktasındaki değerini bulalım.
\( \dfrac{(f''(0)g(0) + f'(0)g'(0) - (f'(0)g'(0) + f(0)g''(0)))g^2(0) - (f'(0)g(0) - f(0)g'(0))2g(0)g'(0)}{g^4(0)} \)
Soruda verilen değerleri yerine koyalım.
\( = \dfrac{(4(1) + 0(1) - (0(1) + 2(2)))1^2 - (0(1) - 2(1))2(1)(1)}{1^4} \)
\( = \dfrac{(4 - 4)(1) - (-2)(2)}{1} \)
\( = 4 \) bulunur.
SORU 9:
\( f(x) = 3x^3 + 5x^2 - 17 \) fonksiyonuna çizilen teğetlerden eğimi en küçük olanın eğimi kaçtır?
Çözümü Göster
\( f \) fonksiyonunun belirli bir noktadaki eğimini bulmak için fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 9x^2 + 10x \)
En küçük eğim değerini bulmak için birinci türev fonksiyonunun mutlak minimum noktasını bulmalıyız. Pozitif başkatsayılı (kolları yukarı yönlü) ikinci dereceden polinom fonksiyonu için bu nokta birinci türev grafiğinin eğiminin sıfır olduğu tepe noktasıdır.
Bu noktayı bulmak için ikinci türev fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu noktayı bulalım.
\( f''(x) = 18x + 10 = 0 \)
\( x = -\dfrac{5}{9} \)
Eğimin en küçük değerini aldığı bu noktayı birinci türevde yerine yazıp eğim değerini bulalım.
\( f'(-\frac{5}{9}) = 9(-\frac{5}{9})^2 + 10(-\frac{5}{9}) \)
\( = -\dfrac{25}{9} \) bulunur.
SORU 10:
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( f'(x) + f''(x) = 8x + 3 \)
\( f(2)f(3) \lt 0 \) olduğuna göre, \( f(1) \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Bir polinom fonksiyonunun her türevi alındığında derecesi bir eksilir.
\( f \) fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerinin toplamının derecesi 1 olduğuna göre \( f \) fonksiyonunun derecesi 2'dir.
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( f'(x) = 2ax + b \)
\( f''(x) = 2a \)
\( f'(x) + f''(x) = 2ax + b + 2a = 8x + 3 \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşittir.
\( 2ax = 8x \Longrightarrow a = 4 \)
\( b + 2a = 3 \Longrightarrow b = -5 \)
\( f(x) \) fonksiyonunu yazalım.
\( f(x) = 4x^2 - 5x + c \)
Soruda aşağıdaki eşitsizlik veriliyor.
\( f(2)f(3) \lt 0 \)
\( f(2) = 4(2)^2 - 5(2) + c = 6 + c \)
\( f(3) = 4(3)^2 - 5(3) + c = 21 + c \)
\( (6 + c)(21 + c) \lt 0 \)
Bu eşitsizliğe göre \( c \) değer aralığı \( (-21, -6) \) açık aralığı olur.
\( f(1) = 4(1)^2 - 5(1) + c = c - 1 \)
Buna göre \( f(1) \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -7 - 1 = -8 \) olur.
SORU 11:
\( f(x) = \abs{x^2 + 6x} - 8x^3 \) olduğuna göre, \( f''(-1) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Mutlak değer içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \abs{x(x + 6)} - 8x^3 \)
\( x = -1 \) mutlak değer ifadesinin bir kritik noktası olmadığı için fonksiyonun bu değerin bulunduğu aralıktaki tanımını bulalım.
\( (-6, 0) \) aralığında mutlak değer içindeki ifadenin değeri negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli olarak çıkar.
\( x \in (-6, 0) \) aralığı için:
\( f(x) = -(x^2 + 6x) - 8x^3 \)
\( f(x) = -8x^3 - x^2 - 6x \)
Bu aralıktaki fonksiyon tanımının birinci türevini alalım.
\( f'(x) = -24x^2 - 2x - 6 \)
Bu aralıktaki fonksiyon tanımının ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = 48x - 2 \)
\( f''(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) yazalım.
\( f''(-1) = -48(-1) - 2 = 46 \) bulunur.