Zincir Kuralı
Konu tekrarı için: Bileşke Fonksiyon
Çoğu zaman türevini almak istediğimiz fonksiyon bir bileşke fonksiyon şeklinde karşımıza çıkabilmektedir. Aşağıdaki tabloda örnek bazı bileşke fonksiyonlar (\( f \circ g \)) ve bileşeni olan fonksiyonlar (\( f \) ve \( g \)) verilmiştir.
| \( (f \circ g)(x) \) | \( f(x) \) | \( g(x) \) |
|---|---|---|
| \( (2x^3 - 4x)^5 \) | \( x^5 \) | \( 2x^3 - 4x \) |
| \( \sqrt{3x^2 + 1} \) | \( \sqrt{x} \) | \( 3x^2 + 1 \) |
| \( \sin(-4x^3) \) | \( \sin{x} \) | \( -4x^3 \) |
| \( e^{2\sqrt{x}} \) | \( e^x \) | \( 2\sqrt{x} \) |
| \( \log_2(x^2 - 8) \) | \( \log_2{x} \) | \( x^2 - 8 \) |
Zincir kuralı ile bir bileşke fonksiyonun türevi, bileşeni olan fonksiyonların türevi cinsinden ifade edilebilir. Zincir kuralı iki farklı formda karşımıza çıkmaktadır.
Zincir Kuralı: Form 1
İki Fonksiyonun Bileşkesi
\( g \) belirli bir aralıkta, \( f \) de \( g \) fonksiyonunun bu aralıktaki görüntü kümesinde türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere,
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( f \circ g \) bileşke fonksiyonunun türevi:
\( (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Buna göre, \( f \circ g \) bileşke fonksiyonunun türevi aşağıdaki iki fonksiyonun çarpımına eşittir.
- \( f'(g(x)) \): Dıştaki \( f \) fonksiyonunun türevinin içteki \( g \) fonksiyonu ile bileşkesi
- \( g'(x) \): İçteki \( g \) fonksiyonunun türevi
\( h(x) = \sqrt{4x^2 - 3x} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
\( h \) fonksiyonunu iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( f(x) = \sqrt{x} \)
\( g(x) = 4x^2 - 3x \)
Zincir kuralı ile \( h \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( h'(x) = (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{4x^2 - 3x}} \cdot (4x^2 - 3x)' \)
\( = \dfrac{8x - 3}{2\sqrt{4x^2 - 3x}} \)
\( h(x) = e^{2\sqrt{x^3}} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
\( h \) fonksiyonunu iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( f(x) = e^x \)
\( g(x) = 2\sqrt{x^3} \)
Zincir kuralı ile \( h \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( h'(x) = (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( = e^{2\sqrt{x^3}} \cdot (2\sqrt{x^3})' \)
\( = e^{2\sqrt{x^3}} \cdot (3\sqrt{x}) \)
Zincir kuralı türev işlem kuralları ile karıştırılmamalıdır. \( f \pm g \), \( f \cdot g \) ya da \( f \div g \) şeklinde ifade edilebilen fonksiyonların türevi zincir kuralına ihtiyaç duyulmadan türev işlem kuralları ile alınabilir.
\( f(x) = x^3e^x \)
\( f'(x) = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' \)
\( = 3x^2e^x + x^3e^x \)
Bununla birlikte zincir kuralı türev işlem kuralları ile birlikte kullanılabilir.
\( f(x) = \sqrt{x^3e^x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^3e^x}} \cdot (x^3e^x)' \)
\( = \dfrac{3x^2e^x + x^3e^x}{2\sqrt{x^3e^x}} \)
Zincir kuralı bir fonksiyonun kuvvetine aşağıdaki şekilde uygulanabilir.
\( f(x) = x^n \) olmak üzere,
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = [g(x)]^n \)
\( f \circ g \) bileşke fonksiyonunun türevi:
\( (f \circ g)'(x) = n[g(x)]^{n - 1} \cdot g'(x) \)
\( h(x) = (3x^2 + 5x)^{10} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
\( h \) fonksiyonunu iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( f(x) = x^{10} \)
\( g(x) = 3x^2 + 5x \)
Zincir kuralı ile \( h \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( h'(x) = (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( = 10(3x^2 + 5x)^{9} \cdot (3x^2 + 5x)' \)
\( = 10(3x^2 + 5x)^9 \cdot (6x + 5) \)
Bileşke fonksiyonların türevini alırken aşağıdaki iki gösterim arasındaki ayrıma dikkat edilmelidir.
\( f \circ g \) bileşke fonksiyonunun türevi:
\( (f \circ g)'(x) = (f(g(x))' \)
\( f \) fonksiyonunun türevinin \( g \) fonksiyonu ile bileşkesi:
\( (f' \circ g)(x) = f'(g(x)) \)
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{5}{3\sqrt{2x + 5}} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{3}{2(x^2 + 5x - 3)^6} \)
(c) \( h(x) = (\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x})^{12} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{5}{3\sqrt{2x + 5}} \)
\( = \dfrac{5}{3}(2x + 5)^{-\frac{1}{2}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{5}{3}(-\dfrac{1}{2})(2x + 5)^{-\frac{3}{2}}(2x + 5)' \)
\( = -\dfrac{5}{6}(2x + 5)^{-\frac{3}{2}}(2) \)
\( = -\dfrac{5}{3}(2x + 5)^{-\frac{3}{2}} \)
\( = -\dfrac{5}{3\sqrt{(2x + 5)^3}} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{3}{2(x^2 + 5x - 3)^6} \)
\( = \dfrac{3}{2}(x^2 + 5x - 3)^{-6} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = \dfrac{3}{2}(-6)(x^2 + 5x - 3)^{-7}(x^2 + 5x - 3)' \)
\( = -9(x^2 + 5x - 3)^{-7}(2x + 5) \)
\( = -\dfrac{9(2x + 5)}{(x^2 + 5x - 3)^7} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = (\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x})^{12} \)
\( = (x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{12} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = 12(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{11}(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})' \)
\( = 12(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{11}(\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - \dfrac{3}{6}x^{-\frac{5}{6}}) \)
\( = (x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{11}(4x^{-\frac{2}{3}} - 6x^{-\frac{5}{6}}) \)
\( = (\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x})^{11}(\dfrac{4}{\sqrt[3]{x^2}} - \dfrac{6}{\sqrt[6]{x^5}}) \)
\( f(x) = 2x^3 \)
\( g(x) = x^5 \)
\( h(x) = \sqrt[3]{x^2} \)
olduğuna göre, aşağıdaki bileşke fonksiyonlarının türevlerini zincir kuralını kullanarak bulunuz.
(a) \( k(x) = (f \circ g)(x) \)
(b) \( l(x) = (g \circ f)(x) \)
(c) \( m(x) = (f \circ h)(x) \)
(d) \( n(x) = (h \circ f)(x) \)
(e) \( s(x) = (h \circ g)(x) \)
(f) \( t(x) = (g \circ h)(x) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( k(x) = (f \circ g)(x) \)
\( f(x) = 2x^3, \quad g(x) = x^5 \)
\( k'(x) = (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( = 6[g(x)]^2 \cdot (x^5)' \)
\( = 6(x^5)^2 \cdot 5x^4 \)
\( = 30x^{14} \)
(b) seçeneği:
\( l(x) = (g \circ f)(x) \)
\( f(x) = 2x^3, \quad g(x) = x^5 \)
\( l'(x) = (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) \)
\( = 5[f(x)]^4 \cdot (2x^3)' \)
\( = 5(2x^3)^4 \cdot 6x^2 \)
\( = 480x^{14} \)
(c) seçeneği:
\( m(x) = (f \circ h)(x) \)
\( f(x) = 2x^3, \quad h(x) = \sqrt[3]{x^2} \)
\( m'(x) = (f \circ h)'(x) = f'(h(x)) \cdot h'(x) \)
\( = 6[h(x)]^2 \cdot (\sqrt[3]{x^2})' \)
\( = 6(\sqrt[3]{x^2})^2 \cdot \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)
\( = 6\sqrt[3]{x^4} \cdot \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)
\( = 4x \)
(d) seçeneği:
\( n(x) = (h \circ f)(x) \)
\( f(x) = 2x^3, \quad h(x) = \sqrt[3]{x^2} \)
\( n'(x) = (h \circ f)'(x) = h'(f(x)) \cdot f'(x) \)
\( = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{f(x)}} \cdot (2x^3)' \)
\( = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{2x^3}} \cdot 6x^2 \)
\( = \dfrac{4x^2}{x\sqrt[3]{2}} \)
\( = \dfrac{4x}{\sqrt[3]{2}} \)
\( = 2\sqrt[3]{4}x \)
(e) seçeneği:
\( s(x) = (h \circ g)(x) \)
\( g(x) = x^5, \quad h(x) = \sqrt[3]{x^2} \)
\( s'(x) = (h \circ g)'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{g(x)}} \cdot (x^5)' \)
\( = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^5}} \cdot 5x^4 \)
\( = \dfrac{10\sqrt[3]{x^7}}{3} \)
(f) seçeneği:
\( t(x) = (g \circ h)(x) \)
\( g(x) = x^5, \quad h(x) = \sqrt[3]{x^2} \)
\( t'(x) = (g \circ h)'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
\( = 5[h(x)]^4 \cdot (\sqrt[3]{x^2})' \)
\( = 5[\sqrt[3]{x^2}]^4 \cdot \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)
\( = 5\sqrt[3]{x^8} \cdot \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)
\( = \dfrac{10\sqrt[3]{x^7}}{3} \)
\( f \) ve \( g \) reel sayılarda türevlenebilir fonksiyonlardır.
\( f(2) = 3, \quad f'(2) = 4 , \quad g'(3) = 6 \) ise,
\( (g \circ f)'(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterBileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı formülünü yazalım.
\( (g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x) \)
\( (g \circ f)'(2) \) değeri \( x = 2 \) yazalım.
\( (g \circ f)'(2) = g'(f(2))f'(2) \)
İfadelerin değerlerini yerine koyalım.
\( = g'(3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \) bulunur.
\( f(x) = 2x - 1 \) ve \( g(x) = 3x^2 + 5x \) olduğuna göre,
\( (g \circ f)'(x) \) ifadesini bulunuz.
Çözümü GösterBileşke fonksiyonun türevi istendiği için zincir kuralını uygulayalım.
\( (g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x) \)
Formüldeki ifadeleri bulalım.
\( g'(x) = (3x^2 + 5x)' = 6x + 5 \)
\( g'(f(x)) = 6(2x - 1) + 5 \)
\( = 12x - 1 \)
\( f'(x) = (2x - 1)' = 2 \)
Bulduğumuz ifadeleri yerine koyalım.
\( (g \circ f)'(x) = (12x - 1)2 = 24x - 2 \) bulunur.
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
(a) \( f(x) = (5x^3 + 3x^2 + 7x)^5 \)
(b) \( f(x) = (\ln{x} + e^x)^7 \)
(c) \( f(x) = \sqrt{x - \cos{x}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = (5x^3 + 3x^2 + 7x)^5 \)
\( f \) fonksiyonunu iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( f(x) = (h \circ g)(x) = h(g(x)) \)
\( h(x) = x^5 \)
\( g(x) = 5x^3 + 3x^2 + 7x \)
Zincir kuralı ile \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = (h \circ g)'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( = 5[g(x)]^4 \cdot (5x^3 + 3x^2 + 7x)' \)
\( = 5(5x^3 + 3x^2 + 7x)^4 \cdot (15x^2 + 6x + 7) \)
(b) seçeneği:
\( f(x) = (\ln{x} + e^x)^7 \)
\( f \) fonksiyonunu iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( f(x) = (h \circ g)(x) = h(g(x)) \)
\( h(x) = x^7 \)
\( g(x) = \ln{x} + e^x \)
Zincir kuralı ile \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = (h \circ g)'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( = 7[g(x)]^6 \cdot (\ln{x} + e^x)' \)
\( = 7(\ln{x} + e^x)^6 \cdot (\dfrac{1}{x} + e^x) \)
(c) seçeneği:
\( f(x) = \sqrt{x - \cos{x}} \)
\( f \) fonksiyonunu iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( f(x) = (h \circ g)(x) = h(g(x)) \)
\( h(x) = \sqrt{x} \)
\( g(x) = x - \cos{x} \)
Zincir kuralı ile \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = (h \circ g)'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \)
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot (x - \cos{x})' \)
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x - \cos{x}}} \cdot (1 + \sin{x}) \)
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = (2x - 1)^3\sqrt{x} \)
(b) \( g(x) = 4x^5(3x + 5)^4 \)
(c) \( h(x) = \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\sqrt{8x - 3} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = (2x - 1)^3\sqrt{x} \)
Çarpma ve zincir kurallarını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = ((2x - 1)^3)'\sqrt{x} + (2x - 1)^3(\sqrt{x})' \)
\( = 3(2x - 1)^2(2x - 1)'\sqrt{x} + (2x - 1)^3\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( = 3(2x - 1)^2(2)\sqrt{x} + (2x - 1)^3\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( = 6(2x - 1)^2\sqrt{x} + (2x - 1)^3\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = 4x^5(3x + 5)^4 \)
Çarpma ve zincir kurallarını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = (4x^5)'(3x + 5)^4 + 4x^5((3x + 5)^4)' \)
\( = (20x^4)(3x + 5)^4 + 4x^5(4(3x + 5)^3)(3x + 5)' \)
\( = 20x^4(3x + 5)^4 + 16x^5(3x + 5)^3(3) \)
\( = 20x^4(3x + 5)^4 + 48x^5(3x + 5)^3 \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\sqrt{8x - 3} \)
Çarpma ve zincir kurallarını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = (\sqrt[3]{(3x + 1)^4})'\sqrt{8x - 3} + \sqrt[3]{(3x + 1)^4}(\sqrt{8x - 3})' \)
\( = \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{3x + 1}(3x + 1)'\sqrt{8x - 3} + \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\dfrac{1}{2\sqrt{8x - 3}}(8x - 3)' \)
\( = \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{3x + 1}(3)\sqrt{8x - 3} + \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\dfrac{1}{2\sqrt{8x - 3}}(8) \)
\( = 4\sqrt[3]{3x + 1}\sqrt{8x - 3} + \dfrac{4\sqrt[3]{(3x + 1)^4}}{\sqrt{8x - 3}} \)
Aşağıdaki fonksiyonların belirtilen noktalardaki türev değerini bulunuz.
(a) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 7} \quad (x = 4) \)
(b) \( g(x) = (x^2 + 8x + 1)^{21} \quad (x = -8) \)
(c) \( h(x) = \dfrac{2}{(x^2 + 1)^3} \quad (x = -1) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 7} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (\sqrt{x^2 + 4x + 7})' \)
\( = \dfrac{(x^2 + 4x + 7)'}{2\sqrt{x^2 + 4x + 7}} \)
\( = \dfrac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 7}} \)
\( = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 7}} \)
\( f'(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) koyalım.
\( f'(4) = \dfrac{4 + 2}{\sqrt{4^2 + 4(4) + 7}} \)
\( = \dfrac{6}{\sqrt{39}} = \dfrac{2\sqrt{39}}{13} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = (x^2 + 8x + 1)^{21} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = ((x^2 + 8x + 1)^{21})' \)
\( = 21(x^2 + 8x + 1)^{20}(x^2 + 8x + 1)' \)
\( = 21(x^2 + 8x + 1)^{20}(2x + 8) \)
\( g'(-8) \) değerini bulmak için \( x = -8 \) koyalım.
\( g'(-8) = 21((-8)^2 + 8(-8) + 1)^{20}(2(-8) + 8) \)
\( = 21(1)^{20}(-8) \)
\( = -168 \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{2}{(x^2 + 1)^3} \)
\( = 2(x^2 + 1)^{-3} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = 2(-3)(x^2 + 1)^{-4}(x^2 + 1)' \)
\( = -6(x^2 + 1)^{-4}(2x) \)
\( = -\dfrac{12x}{(x^2 + 1)^4} \)
\( h'(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) koyalım.
\( h'(-1) = -\dfrac{12(-1)}{((-1)^2 + 1)^4} \)
\( = -\dfrac{-12}{16} = \dfrac{3}{4} \)
\( f(5x) = 6x^2 + 8x - 1 \) olduğuna göre,
\( f'(10) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralına göre, bileşke fonksiyonun türevi dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonla bileşkesi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.
\( (f(5x))' = (6x^2 + 8x - 1)' \)
\( f'(5x)(5x)' = 12x + 8 \)
\( f'(5x)(5) = 12x + 8 \)
\( f'(5x) = \dfrac{12x + 8}{5} \)
\( f'(10) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(5(2)) = \dfrac{12(2) + 8}{5} \)
\( f'(10) = \dfrac{32}{5} \) bulunur.
\( f(2x) = \dfrac{3x - 1}{2x + 1} \) olduğuna göre,
\( f'(-10) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralına göre, bileşke fonksiyonun türevi dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonla bileşkesi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.
\( (f(2x))' = (\dfrac{3x - 1}{2x + 1})' \)
Eşitliğin sağ tarafına bölme kuralını uygulayalım.
\( f'(2x)(2x)' = \dfrac{3(2x + 1) - (3x - 1)2}{(2x + 1)^2} \)
\( f'(2x)(2) = \dfrac{6x + 3 - 6x + 2}{(2x + 1)^2} \)
\( f'(2x) = \dfrac{5}{2(2x + 1)^2} \)
\( f'(-10) \) değerini bulmak için \( x = -5 \) koyalım.
\( f'(2(-5)) = \dfrac{5}{2(2(-5) + 1)^2} \)
\( f'(-10) = \dfrac{5}{162} \) bulunur.
\( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x^2 + x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 5 \)
olduğuna göre, \( f'(12) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralına göre, bileşke fonksiyonun türevi dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonla bileşkesi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.
\( (f(x^2 + x))' = (x^3 - 3x^2 - 2x + 5)' \)
\( f'(x^2 + x)(x^2 + x)' = 3x^2 - 6x - 2 \)
\( f'(x^2 + x)(2x + 1) = 3x^2 - 6x - 2 \)
\( f'(x^2 + x) = \dfrac{3x^2 - 6x - 2}{2x + 1} \)
\( x^2 + x \) ifadesini 12 yapan \( x \) değerini bulalım.
\( x^2 + x = 12 \)
\( x^2 + x - 12 = 0 \)
\( (x + 4)(x - 3) = 0 \)
\( f \) fonksiyonu pozitif reel sayılarda tanımlı olduğu için \( f'(12) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.
\( f'(3^2 + 3) = \dfrac{3(3)^2 - 6(3) - 2}{2(3) + 1} \)
\( f'(12) = \dfrac{7}{7} = 1 \) bulunur.
\( g \) ve \( h \) türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere,
\( g(x) = h(x - h(g(x))) \) eşitliği veriliyor.
\( h(1) = 2, \quad h'(1) = 3, \quad g(3) = 1 \)
olduğuna göre, \( g'(3) \) değerini bulunuz.
Çözümü GösterZincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = h'(x - h(g(x))) \cdot (x - h(g(x)))' \)
\( = h'(x - h(g(x))) \cdot (1 - h'(g(x))g'(x)) \)
\( g'(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.
\( g'(3) = h'(3 - h(g(3))) \cdot (1 - h'(g(3))g'(3)) \)
Soruda verilen değerleri yerine koyalım.
\( = h'(3 - h(1))) \cdot (1 - h'(1)g'(3)) \)
\( = h'(3 - 2)(1 - 3g'(3)) \)
\( = h'(1)(1 - 3g'(3)) \)
\( = 3(1 - 3g'(3)) \)
\( g'(3) = 3 - 9g'(3) \)
\( 10g'(3) = 3 \)
\( g'(3) = \dfrac{3}{10} \) bulunur.
Üç Fonksiyonun Bileşkesi
Üç fonksiyonun bileşkesinin türevi aşağıdaki formül kullanılarak alınabilir.
\( (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) \)
\( f \circ g \circ h \) bileşke fonksiyonunun türevi:
\( (f \circ g \circ h)'(x) = f'((g \circ h)(x)) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
Buna göre, \( f \circ g \circ h \) bileşke fonksiyonunun türevi aşağıdaki üç fonksiyonun çarpımına eşittir.
- \( f'((g \circ h)(x)) \): En dıştaki \( f \) fonksiyonunun türevinin \( g \circ h \) fonksiyonu ile bileşkesi
- \( g'(h(x)) \): \( g \) fonksiyonunun türevinin en içteki \( h \) fonksiyonu ile bileşkesi
- \( h'(x) \): En içteki \( h \) fonksiyonunun türevi
\( k(x) = (\sin(x^3 - 2x))^5 \) fonksiyonunun türevini bulalım.
\( k \) fonksiyonunu üç fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( k(x) = (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) \)
\( f(x) = x^5 \)
\( g(x) = \sin{x} \)
\( h(x) = x^3 - 2x \)
Zincir kuralı formülünü yazalım.
\( k'(x) = (f \circ g \circ h)'(x) = f'((g \circ h)(x)) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
Formüldeki ifadeleri bulalım.
\( (g \circ h)(x) = \sin(x^3 - 2x) \)
\( f'(x) = 5x^4 \)
\( g'(x) = \cos{x} \)
\( h'(x) = 3x^2 - 2 \)
\( f'((g \circ h)(x)) = 5(\sin(x^3 - 2x))^4 \)
\( g'(h(x)) = \cos(x^3 - 2x) \)
Bulduğumuz ifadeleri formülde yerine koyalım.
\( k'(x) = 5(\sin(x^3 - 2x))^4 \cdot \cos(x^3 - 2x) \cdot (3x^2 - 2) \)
\( k(x) = e^{\sqrt{x^2 + 3x}} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
\( k \) fonksiyonunu üç fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( k(x) = (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) \)
\( f(x) = e^x \)
\( g(x) = \sqrt{x} \)
\( h(x) = x^2 + 3x \)
Zincir kuralı formülünü yazalım.
\( k'(x) = (f \circ g \circ h)'(x) = f'((g \circ h)(x)) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
Formüldeki ifadeleri bulalım.
\( (g \circ h)(x) = \sqrt{x^2 + 3x} \)
\( f'(x) = e^x \)
\( g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( h'(x) = 2x + 3 \)
\( f'((g \circ h)(x)) = e^{\sqrt{x^2 + 3x}} \)
\( g'(h(x)) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 3x}} \)
Bulduğumuz ifadeleri formülde yerine koyalım.
\( k'(x) = e^{\sqrt{x^2 + 3x}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 3x}} \cdot (2x + 3) \)
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = e^{4\tan(3x)} \)
(b) \( g(x) = \cos^5{e^{2x}} \)
(c) \( h(x) = \sin(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = e^{4\tan(3x)} \)
\( f \) fonksiyonunu üç fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( g(x) = e^x \)
\( h(x) = 4\tan{x} \)
\( k(x) = 3x \)
\( h(k(x)) = 4\tan(3x) \)
\( f(x) = g(h(k(x))) = e^{4\tan(3x)} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (g(h(k(x))))' \)
\( = g'(h(k(x))) \cdot (h(k(x)))' \)
\( = g'(h(k(x))) \cdot h'(k(x)) \cdot k'(x) \)
\( = e^{4\tan(3x)} \cdot (4\tan(3x))' \)
\( = e^{4\tan(3x)} \cdot (4\sec^2(3x)) \cdot (3x)' \)
\( = 4e^{4\tan(3x)} \cdot \sec^2(3x) \cdot 3 \)
\( = 12e^{4\tan(3x)} \cdot \sec^2(3x) \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \cos^5{e^{2x}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = (\cos^5{e^{2x}})' \)
\( = 5\cos^4{e^{2x}} \cdot (\cos{e^{2x}})' \)
\( = 5\cos^4{e^{2x}} \cdot (-\sin{e^{2x}}) \cdot (e^{2x})' \)
\( = -5\cos^4{e^{2x}} \cdot \sin{e^{2x}} \cdot e^{2x} \cdot (2x)' \)
\( = -10\cos^4{e^{2x}} \cdot \sin{e^{2x}} \cdot e^{2x} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \sin(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = (\sin(\ln(2x^2 + 3x + 1)))' \)
\( = \cos(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \cdot (\ln(2x^2 + 3x + 1))' \)
\( = \cos(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \cdot \dfrac{(2x^2 + 3x + 1)'}{2x^2 + 3x + 1} \)
\( = \dfrac{\cos(\ln(2x^2 + 3x + 1))(4x + 3)}{2x^2 + 3x + 1} \)
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = \sqrt{1 + 3e^{2x^2}} \)
(b) \( g(x) = (x^3 - \cos(2x))^{12} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^3 + \sqrt{x^2 + 3}}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = \sqrt{1 + 3e^{2x^2}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (\sqrt{1 + 3e^{2x^2}})' \)
\( = \dfrac{(1 + 3e^{2x^2})'}{2\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)
\( = \dfrac{3e^{2x^2} \cdot (2x^2)'}{2\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)
\( = \dfrac{3e^{2x^2} \cdot 4x}{2\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)
\( = \dfrac{6xe^{2x^2}}{\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = (x^3 - \cos(2x))^{12} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = ((x^3 - \cos(2x))^{12})' \)
\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}(x^3 - \cos(2x))' \)
\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}((x^3)' - (\cos(2x))') \)
\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}(3x^2 - (-\sin(2x))(2x)') \)
\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}(3x^2 + 2\sin(2x)) \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^3 + \sqrt{x^2 + 3}}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = (\dfrac{1}{\sqrt{x^3 + \sqrt{x^2 + 3}}})' \)
\( = -\dfrac{({x^3 + \sqrt{x^2 + 3}})'}{2\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)
\( = -\dfrac{3x^2 + \frac{(x^2 + 3)'}{2\sqrt{x^2 + 3}}}{2\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)
\( = -\dfrac{3x^2 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}}}{2\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)
\( = -\dfrac{3x^2\sqrt{x^2 + 3} + x}{2\sqrt{x^2 + 3}\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)
\( f \) fonksiyonu için \( f(7) = 7 \) ve \( f'(7) = 3 \) veriliyor.
\( f(f(f(x))) \) bileşke fonksiyonunun türevinin \( x = 7 \) noktasında değeri kaçtır?
Çözümü GösterBileşke fonksiyonunun türevini bulmak için zincir kuralını uygulayalım.
\( (f(f(f(x))))' = f'(f(f(x))) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(x) \)
Eşitlikte \( x = 7 \) koyalım.
\( (f(f(f(7))))' = f'(f(f(7))) \cdot f'(f(7)) \cdot f'(7) \)
\( = f'(f(7)) \cdot f'(7) \cdot 3 \)
\( = f'(7) \cdot 3 \cdot 3 \)
\( = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \) bulunur.
\( f \), \( g \) ve \( h \) birer fonksiyon olmak üzere,
\( f(8) = 6, \quad f'(8) = 5 \)
\( h(2) = 7, \quad h'(2) = 4 \)
\( g(7) = 8, \quad g'(4) = 11, \quad g'(7) = 3 \)
olduğuna göre, \( (f \circ g \circ h)'(2) \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterÜç fonksiyondan oluşan bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını kullanalım.
\( (f \circ g \circ h)'(x) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
\( x = 2 \) koyalım.
\( (f \circ g \circ h)'(2) = f'(g(h(2))) \cdot g'(h(2)) \cdot h'(2) \)
Verilen değerleri ifadede yerine koyalım.
\( = f'(g(7)) \cdot g'(7) \cdot 4 \)
\( = f'(8) \cdot 3 \cdot 4 \)
\( = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60 \) bulunur.
\( f \), \( g \) ve \( h \) birer fonksiyon olmak üzere,
\( f(7) = 5, \quad f'(7) = 3 \)
\( h(1) = 0, \quad h'(1) = 1 \)
\( g(0) = 7, \quad g'(0) = 2 \)
olduğuna göre, \( (f \circ g \circ h)'(1) \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterÜç fonksiyondan oluşan bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını kullanalım.
\( (f \circ g \circ h)'(1) = f'(g(h(x)) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
\( x = 1 \) koyalım.
\( (f \circ g \circ h)'(1) = f'(g(h(1)) \cdot g'(h(1)) \cdot h'(1) \)
Verilen değerleri ifadede yerine koyalım.
\( = f'(g(0)) \cdot g'(0) \cdot 1 \)
\( = f'(7) \cdot 2 \cdot 1 \)
\( = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \) bulunur.
Zincir Kuralı: Form 2
Zincir kuralı aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir.
\( y \) ve \( u \) türevlenebilir fonksiyonlar,
\( y = f(u) \)
\( u = g(x) \) olmak üzere,
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \)
\( y = (3x^2 + 5x)^{10} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
\( y = u^{10} \)
\( u = 3x^2 + 5x \)
Zincir kuralı ile \( y \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \)
\( = (u^{10})' \cdot (3x^2 + 5x)' \)
\( = 10u^9 \cdot (6x + 5) \)
\( u = 3x^2 + 5x \) yazdığımızda yukarıda 3. örnekte elde ettiğimiz sonucu buluruz.
\( = 10(3x^2 + 5x)^9 \cdot (6x + 5) \)
\( y = x^5 - x^3 \)
\( x = t^3 + 2t \)
olduğuna göre, \( \dfrac{dy}{dt} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü GösterZincir kuralını uygulayalım.
\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} \)
\( = \dfrac{d(x^5 - x^3)}{dx} \cdot \dfrac{d(t^3 + 2t)}{dt} \)
\( = (5x^4 - 3x^2)(3t^2 + 2) \)
İstenirse ifadede \( x = t^3 + 2t \) konarak cevap sadece \( t \) cinsinden elde edilebilir.
\( = (5(t^3 + 2t)^4 - 3(t^3 + 2t)^2)(3t^2 + 2) \)
\( y = x^2 - 2x - 1 \)
\( x = 5z^2 - 3 \)
\( z = 4 - 2t \)
olduğuna göre, \( \dfrac{dy}{dt}|_{t=3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterZincir kuralını uygulayalım.
\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dz} \cdot \dfrac{dz}{dt} \)
\( \dfrac{dy}{dx} = (x^2 - 2x - 1)' \)
\( = 2x - 2 \)
\( \dfrac{dx}{dz} = (5z^2 - 3)' \)
\( = 10z \)
\( \dfrac{dz}{dt} = (4 - 2t)' \)
\( = -2 \)
Zincir kuralı formülünde ifadeleri yerine koyalım.
\( \dfrac{dy}{dt} = (2x - 2) \cdot 10z \cdot (-2) \)
\( t = 3 \) değeri için \( z \) değerini hesaplayalım.
\( z = 4 - 2t = 4 - 2(3) = -2 \)
\( z = -2 \) değeri için \( x \) değerini hesaplayalım.
\( x = 5z^2 - 3 = 5(-2)^2 - 3 = 17 \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( \dfrac{dy}{dt}|_{t=3} = (2x - 2) \cdot 10z \cdot (-2) \)
\( = (2(17) - 2) \cdot 10(-2) \cdot (-2) \)
\( = 1280 \) bulunur.
\( y = 3x^2 \) ve \( x = \cos(2\alpha) \) olduğuna göre,
\( \dfrac{dy}{d \alpha} \) ifadesinin \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) noktasındaki değeri kaçtır?
Çözümü GösterZincir kuralını uygulayalım.
\( \dfrac{dy}{d \alpha} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{d \alpha} \)
\( = \dfrac{d(3x^2)}{dx} \cdot \dfrac{d(\cos(2\alpha))}{d \alpha} \)
\( = 6x \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot (2\alpha)' \)
\( = 6x \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot 2 \)
\( = -12x\sin(2\alpha) \)
\( \alpha = \frac{\pi}{6} \) için \( x \) değerini bulalım.
\( x = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \dfrac{1}{2} \)
Bulduğumuz türev ifadesinin \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) ve \( x = \frac{1}{2} \) için değerini bulalım.
\( \dfrac{dy}{d \alpha} = -12(\dfrac{1}{2})\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) \)
\( = -6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -3\sqrt{3} \) bulunur.