Zincir kuralı iki ya da daha fazla fonksiyonun bileşkesi olan fonksiyonların türevini bulmakta kullanabileceğimiz bir yöntemdir.
Zincir kuralına göre, iki fonksiyonun bileşkesinin türevi, birinci fonksiyonun türevi ile ikinci fonksiyonun kendisinin bileşkesi VE ikinci fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.
\( g \) fonksiyonu tanım kümesinde türevlenebilir ve \( f \) fonksiyonu \( g \) fonksiyonunun görüntü kümesinde türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere,
\( k(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
bileşke fonksiyonunun türevini aşağıdaki şekillerde ifade edebiliriz.
\( k'(x) = (f \circ g)'(x) = [f(g(x))]' \)
\( k'(x) = (f' \circ g)(x) \cdot g'(x) \) \( = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
ÖRNEK:
\( f(x) = x^{10} \)
\( g(x) = 3x^2 - 2x \)
\( g'(x) = 6x - 2 \)
\( k \) fonksiyonu \( f \) ve \( g \)'nin bileşkesi olmak üzere,
\( k(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( k(x) = [g(x)]^{10} \)
\( k'(x) \) için zincir kuralını uygulayalım.
\( k'(x) = 10\cdot [g(x)]^9 \cdot g'(x) \)
\( = 10\cdot (3x^2 - 2x)^9 \cdot (6x - 2) \)
Zincir kuralını üç fonksiyonun bileşkesinin türevine aşağıdaki şekilde uygulayabiliriz. Görebileceğimiz gibi, zincir kuralında en dıştaki fonksiyondan başlayarak en içteki fonksiyona doğru türevlerin çarpımını almaktayız.
Zincir kuralını kuvvet kuralı ile aşağıdaki şekilde birleştirebiliriz.
Zincir kuralını aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
\( y, u, v \) türevlenebilir birer fonksiyon ve,
\( y = f(u) \), \( u \) değişkenine bağlı,
\( u = g(v) \), \( v \) değişkenine bağlı,
\( v = h(x) \), \( x \) değişkenine bağlı birer fonksiyon olmak üzere,
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx} \)
eşitliğine zincir kuralı denir.
ÖRNEK:
\( y = 3u + 2 \)
\( u = 2v^2 + v \)
\( v = x^3 \)
\( \dfrac{dy}{du} = 3 \)
\( \dfrac{du}{dv} = 4v + 1 \)
\( \dfrac{dv}{dx} = 3x^2 \)
\( y \)'nin \( x \)'e göre türevi için zincir kuralını uygulayalım.
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx} \)
\( = 3 \cdot (4v + 1) \cdot 3x^2 \)
\( v \)'yi \( x \) cinsinden yazalım.
\( = 3 \cdot (4x^3 + 1) \cdot 3x^2 \)
\( = 36x^5 + 9x^2 \)
SORU:
\( f(x) = 3x^2 + 2x \) ve \( g(x) = 3x + 5 \) olduğuna göre,
\( (g \circ f)'(x) \) ifadesini yazınız.
Çözümü Göster
Bileşke fonksiyonun türevi istendiği için zincir kuralını uygulayalım.
\( (g \circ f)'(x) = g'[f(x)] \cdot f'(x) \)
Bu formülde ihtiyacımız olan ifadeleri bulalım.
\( g'(x) = 3 \)
\( g'[f(x)] = 3 \)
\( f'(x) = 6x + 2\)
Bulduğumuz ifadeleri yerine koyalım.
\( (g \circ f)'(x) = 3 \cdot (6x + 2) = 18x + 6 \) bulunur.
SORU:
\( f(5x) = 6x^2 + 8x - 1 \) olduğuna göre,
\( f'(10) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralı gereği eşitliğin sol tarafının türevi fonksiyonun türevi çarpı fonksiyonun içindeki ifadenin türevine eşittir.
\( [f(5x)]' = (6x^2 + 8x - 1)' \)
\( f'(5x) \cdot (5x)' = 12x + 8 \)
\( f'(5x) \cdot 5 = 12x + 8 \)
\( f'(5x) = \dfrac{12x + 8}{5} \)
Şimdi \( f'(10) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(5 \cdot 2) = \dfrac{12 \cdot 2 + 8}{5} \)
\( f'(10) = \dfrac{32}{5} \) bulunur.
SORU:
\( f(2x) = \dfrac{3x - 1}{2x + 1} \) olduğuna göre,
\( f'(-10) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralı gereği eşitliğin sol tarafının türevi fonksiyonun türevi çarpı fonksiyonun içindeki ifadenin türevine eşittir.
\( [f(2x)]' = [\dfrac{3x - 1}{2x + 1}]' \)
\( f'(2x) \cdot (2x)' = \dfrac{3 \cdot (2x + 1) - (3x - 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2} \)
\( f'(2x) \cdot 2 = \dfrac{6x + 3 - 6x - 2}{(2x + 1)^2} \)
\( f'(2x) = \dfrac{1}{2(2x + 1)^2} \)
Şimdi \( f'(-10) \) değerini bulmak için \( x = -5 \) koyalım.
\( f'(2 \cdot (-5)) = \dfrac{1}{2(2 \cdot (-5) + 1)^2} \)
\( f'(-10) = \dfrac{1}{2 \cdot 81} = \dfrac{1}{162} \)
SORU:
Pozitif gerçek sayılar kümesinde türevlenebilen \( f \) fonksiyonu için,
\( f(x^2 + x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 5 \) olarak tanımlanıyor.
Buna göre \( f'(12) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralı gereği eşitliğin sol tarafının türevi fonksiyonun türevi çarpı fonksiyonun içindeki ifadenin türevine eşittir.
\( [f(x^2 + x)]' = (x^3 - 3x^2 - 2x + 5)' \)
\( f'(x^2 + x) \cdot (x^2 + x)' = 3x^2 - 6x - 2 \)
\( f'(x^2 + x) \cdot (2x + 1) = 3x^2 - 6x - 2 \)
\( f'(x^2 + x) = \dfrac{3x^2 - 6x - 2}{2x + 1} \)
Şimdi \( f'(12) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.
\( f'(3^2 + 3) = \dfrac{3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 - 2}{2 \cdot 3 + 1} \)
\( f'(12) = \dfrac{7}{7} = 1 \) bulunur.
SORU:
\( y = x^2 - 2x - 1 \), \( x = 5z^2 - 3 \) ve \( z = 4 - 2t \) olarak veriliyor.
\( \dfrac{dy}{dt} \) işleminin \( t = 3 \) için sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Zincir kuralını uygulayalım.
\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dz} \cdot \dfrac{dz}{dt} \)
\( \dfrac{dy}{dx} = (x^2 - 2x - 1)' \)
\( = 2x - 2 \)
\( \dfrac{dx}{dz} = (5z^2 - 3)' \)
\( = 10z \)
\( \dfrac{dz}{dt} = (4 - 2t)' \)
\( = -2 \)
Zincir kuralı çarpımında her ifadeyi yerine koyalım.
\( \dfrac{dy}{dt} = (2x - 2) \cdot 10z \cdot (-2) \)
\( t = 3 \) değeri için \( z \) değerini hesaplayalım.
\( z = 4 - 2t = 4 - 2 \cdot 3 = -2 \)
\( z = -2 \) değeri için \( x \) değerini hesaplayalım.
\( x = 5z^2 - 3 = 5(-2)^2 - 3 = 17 \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( \dfrac{dy}{dt} = (2x - 2) \cdot 10z \cdot (-2) \)
\( = (2 \cdot 17 - 2) \cdot 10 \cdot (-2) \cdot (-2) \)
\( = 1280 \) bulunur.
SORU:
\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 7} \) olmak üzere,
\( f'(4) \) ifadesinin değerini bulalım.
Çözümü Göster
Bu ifadeyi iki fonksiyonun bileşke fonksiyonu şeklinde düşünebiliriz.
\( g(x) = \sqrt{x} \)
\( h(x) = x^2 + 4x + 7 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(x) = (g \circ h)(x) = g(h(x)) \)
\( f(x) = g(x^2 + 4x + 7) = \sqrt{x^2 + 4x + 7} \)
Zincir kuralını uygulayarak \( f(x) \)'in türevini alalım.
\( f'(x) = (\sqrt{x^2 + 4x + 7})' \)
\( = \dfrac{1}{2 \cdot \sqrt{x^2 + 4x + 7}} \cdot (x^2 + 4x + 7)' \)
\( = \dfrac{1}{2 \cdot \sqrt{x^2 + 4x + 7}} \cdot (2x + 4) \)
Şimdi \( f'(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) koyalım.
\( f'(4) = \dfrac{1}{2 \cdot \sqrt{4^2 + 4 \cdot 4 + 7}} \cdot (2 \cdot 4 + 4) \)
\( = \dfrac{6}{\sqrt{39}} \)
Pay ve paydayı \( \sqrt{39} \) ile çarparak paydayı köklü ifadeden kurtaralım.
\( = \dfrac{2\sqrt{39}}{13} \) bulunur.
SORU:
\( f(x) = (x^2 + 8x + 1)^{21} \) olduğuna göre,
\( f'(x) \) ifadesini bulalım.
Çözümü Göster
Zincir kuralını uygulayarak \( f(x) \)'in türevini alalım.
\( f'(x) = [(x^2 + 8x + 1)^{21}]' \)
\( = 21(x^2 + 8x + 1)^{20} \cdot (x^2 + 8x + 1)' \)
\( = 21(x^2 + 8x + 1)^{20} \cdot (2x + 8) \)
SORU:
\( f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 2x + 3} \) olarak verilmiştir.
\( f'(2) \) ifadesinin değerini bulalım.
Çözümü Göster
Zincir kuralını uygulayarak \( f(x) \)'in türevini alalım.
\( f'(x) = [\sqrt[3]{x^2 - 2x + 3}]' \)
\( = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x^2 - 2x + 3)^2}} \cdot (x^2 - 2x + 3)' \)
\( = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x^2 - 2x + 3)^2}} \cdot (2x - 2) \)
Şimdi \( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(2) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{(2^2 - 2 \cdot 2 + 3)^2}} \cdot (2 \cdot 2 - 2) \)
\( = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{9}} \)
Pay ve paydayı \( \sqrt[3]{3} \) ile çarparak paydayı köklü ifadeden kurtaralım.
\( = \dfrac{2\sqrt[3]{3}}{9} \)