Çoğu zaman türevini almak istediğimiz fonksiyon bir bileşke fonksiyon şeklinde karşımıza çıkabilmektedir. Aşağıdaki tabloda örnek bazı bileşke fonksiyonlar (\( f \circ g \)) ve bileşeni olan fonksiyonlar (\( f \) ve \( g \)) verilmiştir.
Zincir kuralı ile bir bileşke fonksiyonun türevi, bileşeni olan fonksiyonların türevi cinsinden ifade edilebilir. Zincir kuralı iki farklı formda karşımıza çıkmaktadır.
Buna göre, \( f \circ g \) bileşke fonksiyonunun türevi aşağıdaki iki fonksiyonun çarpımına eşittir.
Zincir kuralı türev işlem kuralları ile karıştırılmamalıdır. \( f \pm g \), \( f \cdot g \) ya da \( f \div g \) şeklinde ifade edilebilen fonksiyonların türevi zincir kuralına ihtiyaç duyulmadan türev işlem kuralları ile alınabilir.
Bununla birlikte zincir kuralı türev işlem kuralları ile birlikte kullanılabilir.
Zincir kuralı bir fonksiyonun kuvvetine aşağıdaki şekilde uygulanabilir.
Bileşke fonksiyonların türevini alırken aşağıdaki iki gösterim arasındaki ayrıma dikkat edilmelidir.
SORU 1:
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{5}{3\sqrt{2x + 5}} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{3}{2(x^2 + 5x - 3)^6} \)
(c) \( h(x) = (\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x})^{12} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{5}{3\sqrt{2x + 5}} \)
\( = \dfrac{5}{3}(2x + 5)^{-\frac{1}{2}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{5}{3}(-\dfrac{1}{2})(2x + 5)^{-\frac{3}{2}}(2x + 5)' \)
\( = -\dfrac{5}{6}(2x + 5)^{-\frac{3}{2}}(2) \)
\( = -\dfrac{5}{3}(2x + 5)^{-\frac{3}{2}} \)
\( = -\dfrac{5}{3\sqrt{(2x + 5)^3}} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{3}{2(x^2 + 5x - 3)^6} \)
\( = \dfrac{3}{2}(x^2 + 5x - 3)^{-6} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = \dfrac{3}{2}(-6)(x^2 + 5x - 3)^{-7}(x^2 + 5x - 3)' \)
\( = -9(x^2 + 5x - 3)^{-7}(2x + 5) \)
\( = -\dfrac{9(2x + 5)}{(x^2 + 5x - 3)^7} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = (\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x})^{12} \)
\( = (x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{12} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = 12(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{11}(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})' \)
\( = 12(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{11}(\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - \dfrac{3}{6}x^{-\frac{5}{6}}) \)
\( = (x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{6}})^{11}(4x^{-\frac{2}{3}} - 6x^{-\frac{5}{6}}) \)
\( = (\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[6]{x})^{11}(\dfrac{4}{\sqrt[3]{x^2}} - \dfrac{6}{\sqrt[6]{x^5}}) \)
SORU 2:
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = (2x - 1)^3\sqrt{x} \)
(b) \( g(x) = 4x^5(3x + 5)^4 \)
(c) \( h(x) = \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\sqrt{8x - 3} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( f(x) = (2x - 1)^3\sqrt{x} \)
Çarpma ve zincir kurallarını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = ((2x - 1)^3)'\sqrt{x} + (2x - 1)^3(\sqrt{x})' \)
\( = 3(2x - 1)^2(2x - 1)'\sqrt{x} + (2x - 1)^3\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( = 3(2x - 1)^2(2)\sqrt{x} + (2x - 1)^3\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( = 6(2x - 1)^2\sqrt{x} + (2x - 1)^3\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = 4x^5(3x + 5)^4 \)
Çarpma ve zincir kurallarını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = (4x^5)'(3x + 5)^4 + 4x^5((3x + 5)^4)' \)
\( = (20x^4)(3x + 5)^4 + 4x^5(4(3x + 5)^3)(3x + 5)' \)
\( = 20x^4(3x + 5)^4 + 16x^5(3x + 5)^3(3) \)
\( = 20x^4(3x + 5)^4 + 48x^5(3x + 5)^3 \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\sqrt{8x - 3} \)
Çarpma ve zincir kurallarını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = (\sqrt[3]{(3x + 1)^4})'\sqrt{8x - 3} + \sqrt[3]{(3x + 1)^4}(\sqrt{8x - 3})' \)
\( = \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{3x + 1}(3x + 1)'\sqrt{8x - 3} + \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\dfrac{1}{2\sqrt{8x - 3}}(8x - 3)' \)
\( = \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{3x + 1}(3)\sqrt{8x - 3} + \sqrt[3]{(3x + 1)^4}\dfrac{1}{2\sqrt{8x - 3}}(8) \)
\( = 4\sqrt[3]{3x + 1}\sqrt{8x - 3} + \dfrac{4\sqrt[3]{(3x + 1)^4}}{\sqrt{8x - 3}} \)
SORU 3:
Aşağıdaki fonksiyonların belirtilen noktalardaki türev değerini bulunuz.
(a) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 7} \quad (x = 4) \)
(b) \( g(x) = (x^2 + 8x + 1)^{21} \quad (x = -8) \)
(c) \( h(x) = \dfrac{2}{(x^2 + 1)^3} \quad (x = -1) \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 7} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (\sqrt{x^2 + 4x + 7})' \)
\( = \dfrac{(x^2 + 4x + 7)'}{2\sqrt{x^2 + 4x + 7}} \)
\( = \dfrac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 7}} \)
\( = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 7}} \)
\( f'(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) koyalım.
\( f'(4) = \dfrac{4 + 2}{\sqrt{4^2 + 4(4) + 7}} \)
\( = \dfrac{6}{\sqrt{39}} = \dfrac{2\sqrt{39}}{13} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = (x^2 + 8x + 1)^{21} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = ((x^2 + 8x + 1)^{21})' \)
\( = 21(x^2 + 8x + 1)^{20}(x^2 + 8x + 1)' \)
\( = 21(x^2 + 8x + 1)^{20}(2x + 8) \)
\( g'(-8) \) değerini bulmak için \( x = -8 \) koyalım.
\( g'(-8) = 21((-8)^2 + 8(-8) + 1)^{20}(2(-8) + 8) \)
\( = 21(1)^{20}(-8) \)
\( = -168 \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{2}{(x^2 + 1)^3} \)
\( = 2(x^2 + 1)^{-3} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = 2(-3)(x^2 + 1)^{-4}(x^2 + 1)' \)
\( = -6(x^2 + 1)^{-4}(2x) \)
\( = -\dfrac{12x}{(x^2 + 1)^4} \)
\( h'(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) koyalım.
\( h'(-1) = -\dfrac{12(-1)}{((-1)^2 + 1)^4} \)
\( = -\dfrac{-12}{16} = \dfrac{3}{4} \)
SORU 4:
\( f(x) = 2x - 1 \) ve \( g(x) = 3x^2 + 5x \) olduğuna göre,
\( (g \circ f)'(x) \) ifadesini bulunuz.
Çözümü Göster
Bileşke fonksiyonun türevi istendiği için zincir kuralını uygulayalım.
\( (g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x) \)
Formüldeki ifadeleri bulalım.
\( g'(x) = (3x^2 + 5x)' = 6x + 5 \)
\( g'(f(x)) = 6(2x - 1) + 5 \)
\( = 12x - 1 \)
\( f'(x) = (2x - 1)' = 2 \)
Bulduğumuz ifadeleri yerine koyalım.
\( (g \circ f)'(x) = (12x - 1)2 = 24x - 2 \) bulunur.
SORU 5:
\( f \) ve \( g \) reel sayılarda türevlenebilir fonksiyonlardır.
\( f(2) = 3, \quad f'(2) = 4 , \quad g'(3) = 6 \) ise,
\( (g \circ f)'(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı formülünü yazalım.
\( (g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x) \)
\( (g \circ f)'(2) \) değeri \( x = 2 \) yazalım.
\( (g \circ f)'(2) = g'(f(2))f'(2) \)
İfadelerin değerlerini yerine koyalım.
\( = g'(3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \) bulunur.
SORU 6:
\( f(5x) = 6x^2 + 8x - 1 \) olduğuna göre,
\( f'(10) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralına göre, bileşke fonksiyonun türevi dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonla bileşkesi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.
\( (f(5x))' = (6x^2 + 8x - 1)' \)
\( f'(5x)(5x)' = 12x + 8 \)
\( f'(5x)(5) = 12x + 8 \)
\( f'(5x) = \dfrac{12x + 8}{5} \)
\( f'(10) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(5(2)) = \dfrac{12(2) + 8}{5} \)
\( f'(10) = \dfrac{32}{5} \) bulunur.
SORU 7:
\( f(2x) = \dfrac{3x - 1}{2x + 1} \) olduğuna göre,
\( f'(-10) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralına göre, bileşke fonksiyonun türevi dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonla bileşkesi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.
\( (f(2x))' = (\dfrac{3x - 1}{2x + 1})' \)
Eşitliğin sağ tarafına bölme kuralını uygulayalım.
\( f'(2x)(2x)' = \dfrac{3(2x + 1) - (3x - 1)2}{(2x + 1)^2} \)
\( f'(2x)(2) = \dfrac{6x + 3 - 6x + 2}{(2x + 1)^2} \)
\( f'(2x) = \dfrac{5}{2(2x + 1)^2} \)
\( f'(-10) \) değerini bulmak için \( x = -5 \) koyalım.
\( f'(2(-5)) = \dfrac{5}{2(2(-5) + 1)^2} \)
\( f'(-10) = \dfrac{5}{162} \) bulunur.
SORU 8:
\( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x^2 + x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 5 \)
olduğuna göre, \( f'(12) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikte iki tarafın türevini alalım. Zincir kuralına göre, bileşke fonksiyonun türevi dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonla bileşkesi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.
\( (f(x^2 + x))' = (x^3 - 3x^2 - 2x + 5)' \)
\( f'(x^2 + x)(x^2 + x)' = 3x^2 - 6x - 2 \)
\( f'(x^2 + x)(2x + 1) = 3x^2 - 6x - 2 \)
\( f'(x^2 + x) = \dfrac{3x^2 - 6x - 2}{2x + 1} \)
\( x^2 + x \) ifadesini 12 yapan \( x \) değerini bulalım.
\( x^2 + x = 12 \)
\( x^2 + x - 12 = 0 \)
\( (x + 4)(x - 3) = 0 \)
\( f \) fonksiyonu pozitif reel sayılarda tanımlı olduğu için \( f'(12) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.
\( f'(3^2 + 3) = \dfrac{3(3)^2 - 6(3) - 2}{2(3) + 1} \)
\( f'(12) = \dfrac{7}{7} = 1 \) bulunur.
SORU 9:
\( g \) ve \( h \) türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere,
\( g(x) = h(x - h(g(x))) \) eşitliği veriliyor.
\( h(1) = 2, \quad h'(1) = 3, \quad g(3) = 1 \)
olduğuna göre, \( g'(3) \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = h'(x - h(g(x))) \cdot (x - h(g(x)))' \)
\( = h'(x - h(g(x))) \cdot (1 - h'(g(x))g'(x)) \)
\( g'(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.
\( g'(3) = h'(3 - h(g(3))) \cdot (1 - h'(g(3))g'(3)) \)
Soruda verilen değerleri yerine koyalım.
\( = h'(3 - h(1))) \cdot (1 - h'(1)g'(3)) \)
\( = h'(3 - 2)(1 - 3g'(3)) \)
\( = h'(1)(1 - 3g'(3)) \)
\( = 3(1 - 3g'(3)) \)
\( g'(3) = 3 - 9g'(3) \)
\( 10g'(3) = 3 \)
\( g'(3) = \dfrac{3}{10} \) bulunur.
Üç fonksiyonun bileşkesinin türevi aşağıdaki formül kullanılarak alınabilir.
Buna göre, \( f \circ g \circ h \) bileşke fonksiyonunun türevi aşağıdaki üç fonksiyonun çarpımına eşittir.
ÖRNEK 4:
\( k(x) = (\sin(x^3 - 2x))^5 \) fonksiyonunun türevini bulalım.
\( k \) fonksiyonunu üç fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( k(x) = (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) \)
\( f(x) = x^5 \)
\( g(x) = \sin{x} \)
\( h(x) = x^3 - 2x \)
Zincir kuralı formülünü yazalım.
\( k'(x) = (f \circ g \circ h)'(x) = f'((g \circ h)(x)) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
Formüldeki ifadeleri bulalım.
\( (g \circ h)(x) = \sin(x^3 - 2x) \)
\( f'(x) = 5x^4 \)
\( g'(x) = \cos{x} \)
\( h'(x) = 3x^2 - 2 \)
\( f'((g \circ h)(x)) = 5(\sin(x^3 - 2x))^4 \)
\( g'(h(x)) = \cos(x^3 - 2x) \)
Bulduğumuz ifadeleri formülde yerine koyalım.
\( k'(x) = 5(\sin(x^3 - 2x))^4 \cdot \cos(x^3 - 2x) \cdot (3x^2 - 2) \)
ÖRNEK 5:
\( k(x) = e^{\sqrt{x^2 + 3x}} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
\( k \) fonksiyonunu üç fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( k(x) = (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) \)
\( f(x) = e^x \)
\( g(x) = \sqrt{x} \)
\( h(x) = x^2 + 3x \)
Zincir kuralı formülünü yazalım.
\( k'(x) = (f \circ g \circ h)'(x) = f'((g \circ h)(x)) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
Formüldeki ifadeleri bulalım.
\( (g \circ h)(x) = \sqrt{x^2 + 3x} \)
\( f'(x) = e^x \)
\( g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( h'(x) = 2x + 3 \)
\( f'((g \circ h)(x)) = e^{\sqrt{x^2 + 3x}} \)
\( g'(h(x)) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 3x}} \)
Bulduğumuz ifadeleri formülde yerine koyalım.
\( k'(x) = e^{\sqrt{x^2 + 3x}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 3x}} \cdot (2x + 3) \)
SORU 10:
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = e^{4\tan(3x)} \)
(b) \( g(x) = \cos^5{e^{2x}} \)
(c) \( h(x) = \sin(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( f(x) = e^{4\tan(3x)} \)
\( f \) fonksiyonunu üç fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( g(x) = e^x \)
\( h(x) = 4\tan{x} \)
\( k(x) = 3x \)
\( h(k(x)) = 4\tan(3x) \)
\( f(x) = g(h(k(x))) = e^{4\tan(3x)} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (g(h(k(x))))' \)
\( = g'(h(k(x))) \cdot (h(k(x)))' \)
\( = g'(h(k(x))) \cdot h'(k(x)) \cdot k'(x) \)
\( = e^{4\tan(3x)} \cdot (4\tan(3x))' \)
\( = e^{4\tan(3x)} \cdot (4\sec^2(3x)) \cdot (3x)' \)
\( = 4e^{4\tan(3x)} \cdot \sec^2(3x) \cdot 3 \)
\( = 12e^{4\tan(3x)} \cdot \sec^2(3x) \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \cos^5{e^{2x}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = (\cos^5{e^{2x}})' \)
\( = 5\cos^4{e^{2x}} \cdot (\cos{e^{2x}})' \)
\( = 5\cos^4{e^{2x}} \cdot (-\sin{e^{2x}}) \cdot (e^{2x})' \)
\( = -5\cos^4{e^{2x}} \cdot \sin{e^{2x}} \cdot e^{2x} \cdot (2x)' \)
\( = -10\cos^4{e^{2x}} \cdot \sin{e^{2x}} \cdot e^{2x} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \sin(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = (\sin(\ln(2x^2 + 3x + 1)))' \)
\( = \cos(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \cdot (\ln(2x^2 + 3x + 1))' \)
\( = \cos(\ln(2x^2 + 3x + 1)) \cdot \dfrac{(2x^2 + 3x + 1)'}{2x^2 + 3x + 1} \)
\( = \dfrac{\cos(\ln(2x^2 + 3x + 1))(4x + 3)}{2x^2 + 3x + 1} \)
SORU 11:
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = \sqrt{1 + 3e^{2x^2}} \)
(b) \( g(x) = (x^3 - \cos(2x))^{12} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^3 + \sqrt{x^2 + 3}}} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( f(x) = \sqrt{1 + 3e^{2x^2}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (\sqrt{1 + 3e^{2x^2}})' \)
\( = \dfrac{(1 + 3e^{2x^2})'}{2\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)
\( = \dfrac{3e^{2x^2} \cdot (2x^2)'}{2\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)
\( = \dfrac{3e^{2x^2} \cdot 4x}{2\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)
\( = \dfrac{6xe^{2x^2}}{\sqrt{1 + 3e^{2x^2}}} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = (x^3 - \cos(2x))^{12} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = ((x^3 - \cos(2x))^{12})' \)
\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}(x^3 - \cos(2x))' \)
\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}((x^3)' - (\cos(2x))') \)
\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}(3x^2 - (-\sin(2x))(2x)') \)
\( = 12(x^3 - \cos(2x))^{11}(3x^2 + 2\sin(2x)) \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^3 + \sqrt{x^2 + 3}}} \)
Zincir kuralını kullanarak bileşke fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = (\dfrac{1}{\sqrt{x^3 + \sqrt{x^2 + 3}}})' \)
\( = -\dfrac{({x^3 + \sqrt{x^2 + 3}})'}{2\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)
\( = -\dfrac{3x^2 + \frac{(x^2 + 3)'}{2\sqrt{x^2 + 3}}}{2\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)
\( = -\dfrac{3x^2 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}}}{2\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)
\( = -\dfrac{3x^2\sqrt{x^2 + 3} + x}{2\sqrt{x^2 + 3}\sqrt{(x^3 + \sqrt{x^2 + 3})^3}} \)
SORU 12:
\( f \) fonksiyonu için \( f(7) = 7 \) ve \( f'(7) = 3 \) veriliyor.
\( f(f(f(x))) \) bileşke fonksiyonunun türevinin \( x = 7 \) noktasında değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Bileşke fonksiyonunun türevini bulmak için zincir kuralını uygulayalım.
\( (f(f(f(x))))' = f'(f(f(x))) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(x) \)
Eşitlikte \( x = 7 \) koyalım.
\( (f(f(f(7))))' = f'(f(f(7))) \cdot f'(f(7)) \cdot f'(7) \)
\( = f'(f(7)) \cdot f'(7) \cdot 3 \)
\( = f'(7) \cdot 3 \cdot 3 \)
\( = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \) bulunur.
SORU 13:
\( f \), \( g \) ve \( h \) birer fonksiyon olmak üzere,
\( f(8) = 6, \quad f'(8) = 5 \)
\( h(2) = 7, \quad h'(2) = 4 \)
\( g(7) = 8, \quad g'(4) = 11, \quad g'(7) = 3 \)
olduğuna göre, \( (f \circ g \circ h)'(2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Üç fonksiyondan oluşan bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını kullanalım.
\( (f \circ g \circ h)'(x) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
\( x = 2 \) koyalım.
\( (f \circ g \circ h)'(2) = f'(g(h(2))) \cdot g'(h(2)) \cdot h'(2) \)
Verilen değerleri ifadede yerine koyalım.
\( = f'(g(7)) \cdot g'(7) \cdot 4 \)
\( = f'(8) \cdot 3 \cdot 4 \)
\( = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60 \) bulunur.
SORU 14:
\( f \), \( g \) ve \( h \) birer fonksiyon olmak üzere,
\( f(7) = 5, \quad f'(7) = 3 \)
\( h(1) = 0, \quad h'(1) = 1 \)
\( g(0) = 7, \quad g'(0) = 2 \)
olduğuna göre, \( (f \circ g \circ h)'(1) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Üç fonksiyondan oluşan bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını kullanalım.
\( (f \circ g \circ h)'(1) = f'(g(h(x)) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
\( x = 1 \) koyalım.
\( (f \circ g \circ h)'(1) = f'(g(h(1)) \cdot g'(h(1)) \cdot h'(1) \)
Verilen değerleri ifadede yerine koyalım.
\( = f'(g(0)) \cdot g'(0) \cdot 1 \)
\( = f'(7) \cdot 2 \cdot 1 \)
\( = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \) bulunur.
Zincir kuralı aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir.
SORU 15:
\( y = x^5 - x^3 \)
\( x = t^3 + 2t \)
olduğuna göre, \( \dfrac{dy}{dt} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Zincir kuralını uygulayalım.
\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} \)
\( = \dfrac{d(x^5 - x^3)}{dx} \cdot \dfrac{d(t^3 + 2t)}{dt} \)
\( = (5x^4 - 3x^2)(3t^2 + 2) \)
İstenirse ifadede \( x = t^3 + 2t \) konarak cevap sadece \( t \) cinsinden elde edilebilir.
\( = (5(t^3 + 2t)^4 - 3(t^3 + 2t)^2)(3t^2 + 2) \)
SORU 16:
\( y = x^2 - 2x - 1 \)
\( x = 5z^2 - 3 \)
\( z = 4 - 2t \)
olduğuna göre, \( \dfrac{dy}{dt}|_{t=3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Zincir kuralını uygulayalım.
\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dz} \cdot \dfrac{dz}{dt} \)
\( \dfrac{dy}{dx} = (x^2 - 2x - 1)' \)
\( = 2x - 2 \)
\( \dfrac{dx}{dz} = (5z^2 - 3)' \)
\( = 10z \)
\( \dfrac{dz}{dt} = (4 - 2t)' \)
\( = -2 \)
Zincir kuralı formülünde ifadeleri yerine koyalım.
\( \dfrac{dy}{dt} = (2x - 2) \cdot 10z \cdot (-2) \)
\( t = 3 \) değeri için \( z \) değerini hesaplayalım.
\( z = 4 - 2t = 4 - 2(3) = -2 \)
\( z = -2 \) değeri için \( x \) değerini hesaplayalım.
\( x = 5z^2 - 3 = 5(-2)^2 - 3 = 17 \)
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( \dfrac{dy}{dt}|_{t=3} = (2x - 2) \cdot 10z \cdot (-2) \)
\( = (2(17) - 2) \cdot 10(-2) \cdot (-2) \)
\( = 1280 \) bulunur.
SORU 17:
\( y = 3x^2 \) ve \( x = \cos(2\alpha) \) olduğuna göre,
\( \dfrac{dy}{d \alpha} \) ifadesinin \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) noktasındaki değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Zincir kuralını uygulayalım.
\( \dfrac{dy}{d \alpha} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{d \alpha} \)
\( = \dfrac{d(3x^2)}{dx} \cdot \dfrac{d(\cos(2\alpha))}{d \alpha} \)
\( = 6x \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot (2\alpha)' \)
\( = 6x \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot 2 \)
\( = -12x\sin(2\alpha) \)
\( \alpha = \frac{\pi}{6} \) için \( x \) değerini bulalım.
\( x = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \dfrac{1}{2} \)
Bulduğumuz türev ifadesinin \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) ve \( x = \frac{1}{2} \) için değerini bulalım.
\( \dfrac{dy}{d \alpha} = -12(\dfrac{1}{2})\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) \)
\( = -6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -3\sqrt{3} \) bulunur.