Bir fonksiyonun türevini limit tanımını kullanarak bulabilecek olsak da, çoğu fonksiyon için türevin limit tanımından türetilmiş olan ve aynı sonucu veren daha pratik türev alma kuralları mevcuttur.
Bu bölümde en temel iki türev alma kuralı olan sabit ve kuvvet fonksiyonlarının türevini inceleyeceğiz ve bu kuralların türevin limit tanımından nasıl türetildiğinin ispatını paylaşacağız.
Sabit fonksiyonun tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.
Kuvvet fonksiyonunun türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
Kuvvet fonksiyonu türev kuralı pozitif tam sayı üslere de uygulanabilir.
Kuvvet fonksiyonu türev kuralı birim fonksiyona da uygulanabilir. Birim fonksiyonunun tüm noktalarda eğimi sabit ve 1 olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve 1'dir.
Kuvvet fonksiyonu türev kuralı negatif tam sayı üslere de uygulanabilir.
ÖRNEK:
\( f(x) = \dfrac{1}{x^3} = x^{-3} \)
\( f'(x) = -3x^{-3 - 1} = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4} \)
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(2) = -\dfrac{3}{2^4} = -\dfrac{3}{16} \)
İSPATI GÖSTER
Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.
\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x^3} \)
\( f(x + h) = \dfrac{1}{(x + h)^3} \)
\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\frac{1}{(x + h)^3} - \frac{1}{x^3}}{h} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\frac{x^3 - (x + h)^3}{x^3(x + h)^3}}{h} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\frac{x^3 - (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3)}{x^3(x + h)^3}}{h} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\frac{-(3x^2h + 3xh^2 + h^3)}{x^3(x + h)^3}}{h} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-(3x^2 + 3xh + h^2)}{x^3(x + h)^3} \)
\( h = 0 \) vererek doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerini hesaplayalım.
\( = -\dfrac{3x^2}{x^6} = -\dfrac{3}{x^4} \)
Buna göre, \( f(x) = \dfrac{1}{x^3} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = -\dfrac{3}{x^4} \) fonksiyonudur.
Gönder
Kuvvet fonksiyonu türev kuralı pozitif rasyonel üslere de uygulanabilir.
ÖRNEK:
\( f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \)
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
Fonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4} \)
İSPATI GÖSTER
Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.
\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( f(x) = \sqrt{x} \)
\( f(x + h) = \sqrt{x + h} \)
\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \)
\( \frac{0}{0} \) belirsizliğinden kurtulmak için payı ve paydayı payın eşleniği ile çarpalım.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(\sqrt{x + h})^2 - (\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{x + h - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \)
\( h = 0 \) vererek doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerini hesaplayalım.
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
Buna göre, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) fonksiyonudur.
Gönder
ÖRNEK:
\( f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} = \dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \)
\( = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)
Fonksiyonun \( x = 8 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(8) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \dfrac{1}{12} \)
İSPATI GÖSTER
Türev fonksiyonunun limit tanımını yazalım.
\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( f(x) = \sqrt[3]{x} \)
\( f(x + h) = \sqrt[3]{x + h} \)
\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{h} \)
\( \frac{0}{0} \) belirsizliğinden kurtulmak için payı küp farkı ifadesine çevirelim.
\( (\sqrt[3]{x + h})^3 - (\sqrt[3]{x})^3 = (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})((\sqrt[3]{x + h})^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2) \)
\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})((\sqrt[3]{x + h})^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2)}{h((\sqrt[3]{x + h})^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2)} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(\sqrt[3]{x + h})^3 - (\sqrt[3]{x})^3}{h((\sqrt[3]{x + h})^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2)} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(x + h) - x}{h((\sqrt[3]{x + h})^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2)} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{h}{h((\sqrt[3]{x + h})^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2)} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{(\sqrt[3]{x + h})^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2} \)
\( h = 0 \) vererek doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerini hesaplayalım.
\( = \dfrac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2} \)
\( = \dfrac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2} \)
\( = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)
Buna göre, \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \) fonksiyonudur.
Gönder
Kuvvet fonksiyonu türev kuralı negatif rasyonel üslere de uygulanabilir.
Kuvvet fonksiyonu türev kuralı irrasyonel üslere de uygulanabilir.
SORU 1:
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \dfrac{d}{dx}(x^{\frac{5}{2}}) \)
(b) \( \dfrac{d}{dx}(x^{-\frac{4}{3}}) \)
(c) \( \dfrac{d}{dx}(x^{\frac{3}{5}}) \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonunun türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
(a) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(x^{\frac{5}{2}}) \)
\( = \dfrac{5}{2}x^{\frac{5}{2} - 1} \)
\( = \dfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(x^{-\frac{4}{3}}) \)
\( = -\dfrac{4}{3}x^{-\frac{4}{3} - 1} \)
\( = -\dfrac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(x^{\frac{3}{5}}) \)
\( = \dfrac{3}{5}x^{\frac{3}{5} - 1} \)
\( = \dfrac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}} \)
SORU 2:
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \dfrac{d}{dx}(\sqrt{x^5}) \)
(b) \( \dfrac{d}{dy}(\sqrt[5]{y^2}) \)
(c) \( \dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{\sqrt[3]{t^4}}) \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonunun türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
(a) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(\sqrt{x^5}) = \dfrac{d}{dx}(x^{\frac{5}{2}}) \)
\( = \dfrac{5}{2}x^{\frac{5}{2} - 1} \)
\( = \dfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \dfrac{5\sqrt{x^3}}{2} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dy}(\sqrt[5]{y^2}) = \dfrac{d}{dy}(y^{\frac{2}{5}}) \)
\( = \dfrac{2}{5}y^{\frac{2}{5} - 1} \)
\( = \dfrac{2}{5}y^{-\frac{3}{5}} = \dfrac{2}{5\sqrt[5]{y^3}} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{\sqrt[3]{t^4}}) = \dfrac{d}{dt}(t^{-\frac{4}{3}}) \)
\( = -\dfrac{4}{3}t^{-\frac{4}{3} - 1} \)
\( = -\dfrac{4}{3}t^{-\frac{7}{3}} = -\dfrac{4}{3\sqrt[3]{t^7}} \)
SORU 3:
Aşağıda verilen fonksiyonlar için istenen türev değerini hesaplayın.
(a) \( f(x) = \dfrac{1}{x^{99}}, \quad f'(-1) \)
(b) \( g(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^5}}, \quad g'(8) \)
(c) \( h(x) = x^{\pi^2}, \quad h'(1) \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonunun türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{1}{x^{99}} = x^{-99} \)
\( f'(x) = -99x^{-99 - 1} \)
\( = -99x^{-100} = -\dfrac{99}{x^{100}} \)
\( f'(-1) = -\dfrac{99}{(-1)^{100}} = -99 \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^5}} \)
\( = \dfrac{1}{x^{\frac{5}{3}}} = x^{-\frac{5}{3}} \)
\( g'(x) = -\dfrac{5}{3}x^{-\frac{5}{3} - 1} \)
\( = -\dfrac{5}{3}x^{-\frac{8}{3}} \)
\( = -\dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^8}} \)
\( g'(8) = -\dfrac{5}{3\sqrt[3]{8^8}} \)
\( = -\dfrac{5}{3 \cdot 256} = -\dfrac{5}{768} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = x^{\pi^2} \)
\( h'(x) = \pi^2x^{\pi^2 - 1} \)
\( h'(1) = \pi^2(1)^{\pi^2 - 1} \)
\( = \pi^2 \)
SORU 4:
Aşağıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
I. \( f(x) = \pi + e \) ise \( f'(x) = 0 \)
II. \( g(x) = 7^4 \) ise \( g'(x) = 4 \cdot 7^3 \)
III. \( h(x) = y \) ise \( \dfrac{dh(x)}{dx} = 1 \)
IV. \( k(x) = 0 \) ise \( k'(x) = 0 \)
Çözümü Göster
I. öncül:
\( \pi \) ve \( e \) reel sayılarının toplamı sabit bir sayı olduğu için fonksiyon sabit fonksiyondur, dolayısıyla türevi sıfırdır. (DOĞRU)
II. öncül:
\( 7^4 \) değişken içermediği ve sabit bir sayı olduğu için fonksiyon sabit fonksiyondur, dolayısıyla türevi sıfırdır. (YANLIŞ)
III. öncül:
\( x \) değişkenine bağlı \( h(x) \) fonksiyonunda \( y \) sabit bir sayı olduğu için fonksiyon sabit fonksiyondur, dolayısıyla türevi sıfırdır. (YANLIŞ)
IV. öncül:
\( k \) sabit fonksiyondur, dolayısıyla türevi sıfırdır. (DOĞRU)
Buna göre I. ve IV. önermeler doğrudur.
SORU 5:
\( f(x) = x^3 \) olduğuna göre,
\( [f'(2)]^2 + 2f'(4)f(-1) \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2 \)
Sorudaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım.
\( f'(2) = 3(2)^2 = 12 \)
\( f'(4) = 3(4)^2 = 48 \)
\( f(-1) = (-1)^3 = -1 \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( [f'(2)]^2 + 2f'(4)f(-1) = 12^2 + 2(48)(-1) \)
\( = 144 - 96 = 48 \) bulunur.
SORU 6:
\( f(x) = x\sqrt[3]{x} \) olduğuna göre,
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(27 + h) - f(27)}{h} \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster
Sorudaki ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 27 \) noktasındaki türevinin limit tanımıdır.
\( f'(27) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(27 + h) - f(27)}{h} \)
Fonksiyonu üslü ifade şeklinde yazalım.
\( f(x) = x\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} \)
\( = \dfrac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} = \dfrac{4\sqrt[3]{x}}{3} \)
\( f'(27) = \dfrac{4\sqrt[3]{27}}{3} = 4 \) bulunur.
SORU 7:
\( g(x) = x^2\sqrt{x} \) olduğuna göre,
\( \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{g(4) - g(x)}{x - 4} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü Göster
Paydaki terimlerin yerlerini değiştirdiğimizde \( g \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki türevinin limit tanımını elde ederiz.
\( \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{g(4) - g(x)}{x - 4} = -\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{g(x) - g(4)}{x - 4} \)
\( = -g'(4) \)
\( g \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( g(x) = x^2\sqrt{x} \)
\( = \sqrt{x^5} = x^{\frac{5}{2}} \)
\( g'(x) = \dfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} \)
\( = \dfrac{5\sqrt{x^3}}{2} \)
\( g'(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) koyalım.
\( g'(4) = \dfrac{5\sqrt{4^3}}{2} = 20 \)
Sorudaki limit ifadesinin eşiti \( -g'(4) \) olduğu için bulduğumuz değeri \( -1 \) ile çarpalım.
\( -g'(4) = -20 \) bulunur.