Bu bölümde en temel iki türev kuralı olan sabit ve kuvvet fonksiyonlarının türevini ispatlarıyla birlikte inceleyeceğiz.
Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.
\( f(x) = c \)
\( f'(x) = 0 \)
\( f(x) = 5 \)
\( f'(x) = 0 \)
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(2) = 0 \)
Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
\( f(x) = x^n \)
\( f'(x) = nx^{n - 1} \)
Kuvvet fonksiyonları türev kuralını pozitif tam sayı üslere aşağıdaki şekilde uygulayabiliriz.
\( f(x) = x^4 \)
\( f'(x) = 4x^{4 - 1} = 4x^3 \)
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(2) = 4(2)^3 = 32 \)
Kuvvet fonksiyonları türev kuralını birim fonksiyona da uygulayabiliriz. Birim fonksiyonunun tüm noktalarda eğimi sabit ve 1 olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve 1'dir.
\( f(x) = x \)
\( f'(x) = 1x^{1 - 1} = x^0 = 1 \)
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(2) = 1 \)
Kuvvet fonksiyonları türev kuralını negatif tam sayı üslere de uygulayabiliriz.
\( f(x) = \dfrac{1}{x} = x^{-1} \)
\( f'(x) = -x^{-1 - 1} = -x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2} \)
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(2) = -\dfrac{1}{2^2} = -\dfrac{1}{4} \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x^3} = x^{-3} \)
\( f'(x) = -3x^{-3 - 1} = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4} \)
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(2) = -\dfrac{3}{2^4} = -\dfrac{3}{16} \)
Kuvvet fonksiyonları türev kuralını pozitif rasyonel üslere de uygulayabiliriz.
\( f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
Fonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4} \)
\( f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} = \dfrac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)
Fonksiyonun \( x = 8 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(8) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \dfrac{1}{12} \)
\( f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} \)
\( f'(x) = \dfrac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - 1} = \dfrac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)
Fonksiyonun \( x = 8 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(8) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{8}} = \dfrac{1}{3} \)
Kuvvet fonksiyonları türev kuralını negatif rasyonel üslere de uygulayabiliriz.
\( f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \)
\( f'(x) = -\dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}} \) \( = -\dfrac{1}{2\sqrt{x^3}} \)
Fonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(4) = -\dfrac{1}{2\sqrt{4^3}} = -\dfrac{1}{16} \)
\( f(x) = \dfrac{1}{\sqrt[4]{x^3}} = x^{-\frac{3}{4}} \)
\( f'(x) = -\dfrac{3}{4} \cdot x^{-\frac{3}{4} - 1} = -\dfrac{3}{4} \cdot x^{-\frac{7}{4}} \) \( = -\dfrac{3}{4\sqrt[4]{x^7}} \)
Fonksiyonun \( x = 1 \) noktasındaki türev/eğim değeri:
\( f'(1) = -\dfrac{3}{4\sqrt[4]{1^7}} = -\dfrac{3}{4} \)
Çözümü Göster
\( f(x) = x^3 \) olduğuna göre,
\( f'(2)^2 - 4f'(1)^2 \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = x^{-99} \) olduğuna göre
\( f'(-1) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = \sqrt{x^5} \) olduğuna göre,
\( f'(4) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = \dfrac{3}{\sqrt[3]{x^5}} \) olduğuna göre,
\( f'(8) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( n \in \mathbb{Z} - \{ 0 \} \) olmak üzere,
\( f(x) = ax^n \) ve \( \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 5}{x - 1} = 30 \) olarak veriliyor.
Buna göre \( a + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster