Türev Alma Kuralları

İspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( f(x) = c \)

\( f(x + h) = c \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{c - c}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{0}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} 0 = 0 \)

Buna göre, \( f(x) = c \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = 0 \) fonksiyonudur.

İspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( f(x) = x^n \)

\( f(x + h) = (x + h)^n \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x + h)^n - x^n}{h} \)

\( (x + h)^n \) ifadesinin binom açılımı aşağıdaki gibidir.

\( (x + h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}xh^{n - 1} + h^n \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}xh^{n - 1} + h^n - x^n}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{nx^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 + \ldots + nxh^{n - 1} + h^n}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} (nx^{n - 1} + \binom{n}{2}x^{n - 2}h + \ldots + nxh^{n - 2} + h^{n - 1}) \)

\( h = 0 \) vererek limit değerini hesaplayalım.

\( = nx^{n - 1} \)

Buna göre, \( f(x) = x^n \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = nx^{n - 1} \) fonksiyonudur.

İspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( f(x) = x^4 \)

\( f(x + h) = (x + h)^4 \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x + h)^4 - x^4}{h} \)

\( (x + h)^4 \) ifadesinin binom açılımı aşağıdaki gibidir.

\( (x + h)^4 = x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4 \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4 - x^4}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} (4x^3 + 6x^2h + 4xh^2 + h^3) \)

\( h = 0 \) vererek limit değerini hesaplayalım.

\( = 4x^3 \)

Buna göre, \( f(x) = x^4 \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = 4x^3 \) fonksiyonudur.

İspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( f(x) = x \)

\( f(x + h) = x + h \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{x + h - x}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{h}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} 1 = 1 \)

Buna göre, \( f(x) = x \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = 1 \) fonksiyonudur.

İspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)

\( f(x + h) = \dfrac{1}{x + h} \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{x - (x + h)}{x(x + h)}}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{-h}{x(x + h)}}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x + h)} \)

\( h = 0 \) vererek limit değerini hesaplayalım.

\( = -\dfrac{1}{x^2} \)

Buna göre, \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \) fonksiyonudur.

İspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( f(x) = \dfrac{1}{x^3} \)

\( f(x + h) = \dfrac{1}{(x + h)^3} \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{1}{(x + h)^3} - \frac{1}{x^3}}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{x^3 - (x + h)^3}{x^3(x + h)^3}}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{x^3 - (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3)}{x^3(x + h)^3}}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{-(3x^2h + 3xh^2 + h^3)}{x^3(x + h)^3}}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{-(3x^2 + 3xh + h^2)}{x^3(x + h)^3} \)

\( h = 0 \) vererek limit değerini hesaplayalım.

\( = -\dfrac{3x^2}{x^6} = -\dfrac{3}{x^4} \)

Buna göre, \( f(x) = \dfrac{1}{x^3} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = -\dfrac{3}{x^4} \) fonksiyonudur.

İspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( f(x) = \sqrt{x} \)

\( f(x + h) = \sqrt{x + h} \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \)

\( \frac{0}{0} \) belirsizliğinden kurtulmak için payı ve paydayı payın eşleniği ile çarpalım.

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{x + h}^2 - \sqrt{x}^2)}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{x + h - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \)

\( h = 0 \) vererek limit değerini hesaplayalım.

\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

Buna göre, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) fonksiyonudur.

İspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( f(x) = \sqrt[3]{x} \)

\( f(x + h) = \sqrt[3]{x + h} \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{h} \)

\( \frac{0}{0} \) belirsizliğinden kurtulmak için payı küp farkına çevirelim.

\( (x + h) - x = \sqrt[3]{x + h}^3 - \sqrt[3]{x}^3 = (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{x + h}^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}^2) \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{(\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{x + h}^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}^2)}{h(\sqrt[3]{x + h}^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}^2)} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x + h) - x}{h(\sqrt[3]{x + h}^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}^2)} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{h}{h(\sqrt[3]{x + h}^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}^2)} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x + h}^2 + \sqrt[3]{x + h}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}^2} \)

\( h = 0 \) vererek limit değerini hesaplayalım.

\( = \dfrac{1}{(\sqrt[3]{x}^2 + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}^2)} \)

\( = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x}^2} \)

Buna göre, \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x}^2} \) fonksiyonudur.