Limit Tanımı
Süreklilik, türev, integral ve seriler gibi kalkülüs konularının en temel tanımları ve ispatları bu bölümde inceleyeceğimiz limit kavramına dayanır, dolayısıyla bu konunun iyi anlaşılması kalkülüsün teorik altyapısı açısından oldukça önemlidir.
Bir fonksiyonun davranışını incelerken çoğu zaman fonksiyonun belirli noktalarda aldığı değerle ilgileniriz, bununla birlikte fonksiyon değeri tek başına fonksiyonun davranışı hakkında tüm resmi vermeyebilir.
Aşağıdaki buna dört örnek verilmiştir. Bu örneklerin ortak noktası, fonksiyonun belirli bir noktadaki değerinden ziyade, o nokta civarındaki davranışının incelenmesidir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
\( f(x) = \dfrac{\sin{x}}{x} \) Fonksiyon \( x = 0 \) noktasında tanımsızdır. Bununla birlikte \( x \) değeri 0'a yaklaşırken fonksiyon değerinin hem soldan hem de sağdan 1'e yaklaşıyor olması fonksiyonun davranışı açısından önemli bir bilgidir. |
|
\( g(x) = \begin{cases} x + 2 & x \lt 1 \\ 2 & x = 1 \\ 1 & x \gt 1 \end{cases} \) Parçalı fonksiyon \( x = 1 \) geçiş noktasında sıçrama hareketi göstermektedir. Fonksiyon bu noktada tanımlı olsa da, tek başına fonksiyon değeri fonksiyonun bu nokta civarındaki soldan ve sağdan farklı davranışlarını açıklamamaktadır. |
|
\( h(x) = \tan{x} \) Fonksiyon \( x = \frac{\pi}{2} \) noktasında tanımsızdır. Bununla birlikte fonksiyon değerinin bu noktaya soldan yaklaşırken pozitif sonsuza, sağdan yaklaşırken negatif sonsuza gidiyor olması fonksiyonun davranışı açısından incelenmesi gereken önemli bir konudur. |
|
\( k(x) = e^x \) Fonksiyon hiçbir noktada sıfır değeri almamaktadır. Bununla birlikte \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri gitgide sıfıra yaklaşan değerler almaktadır ve bu değer fonksiyon grafiği ile ilgili tüm resmi görebilmemiz açısından önemli bir bilgidir. |
Limit kavramı, fonksiyonun bir noktadaki değerinden çok, o noktaya yaklaşırken nasıl davrandığını inceler. Bir fonksiyonun bir nokta civarındaki davranışını anlayabilmek için kullanılabilecek bir yöntem, bu noktaya gitgide yaklaşan noktalardaki fonksiyon değerini hesaplamaktır.
Örnek olarak aşağıdaki gibi tanımlı \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktası civarındaki davranışını bilmek istiyor olalım. Dikkat edilirse fonksiyon bu noktada tanımsızdır.
\( f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \)
Aşağıdaki tabloda ilk iki sütunda \( x \)'in 2'den küçük ve artarak 2'ye yaklaşan değerleri için, sonraki iki sütunda da 2'den büyük ve azalarak 2'ye yaklaşan değerleri için fonksiyon değerleri verilmiştir.
Tabloyu incelediğimizde fonksiyon değerinin her iki yönden de 4 değerine yaklaştığını görebiliriz. Bu değerlere bakarak, fonksiyon grafiğinin bu nokta civarında hem soldan hem de sağdan 4 değerine yaklaştığını söyleyebiliriz.
Bir program yardımıyla fonksiyon grafiğini aşağıdaki şekilde elde edebiliriz.
Yukarıdaki tablo için yaptığımız yorumu grafik üzerinden de teyit edebiliriz. Fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsızdır, ancak bu noktaya soldan ve sağdan yaklaştıkça fonksiyon değeri 4'e yaklaşmaktadır. Bu şekilde değer tablolaları kullanarak ya da fonksiyon grafiğini inceleyerek bir fonksiyonun tanımlı ya da tanımsız olduğu bir nokta civarındaki davranışını öğrenebiliriz.
Limitin Pratik Tanımı
Soldan Limit
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkenine \( a \)'ya soldan (\( x \lt a \)) giderek daha yaklaşan (ama hiçbir zaman \( a \) olmayan) değerler verdiğimizde \( f(x) \) değerleri bir \( L_1 \) değerine yaklaşıyor ve yakın kalıyorsa, bu \( L_1 \) değerine \( f \) fonksiyonunun \( a \) noktasındaki soldan limiti denir.
\( a, L_1 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = L_1 \)
Yukarıda tanımladığımız \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki soldan limiti:
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} = 4 \)
Bir \( a \) noktasındaki soldan limitte \( x \) değişkeni \( a \)'dan küçük değerlerden artarak \( a \) değerine yaklaşır.
\( x \to 2^- \) ise,
\( 1.9 \to 1.99 \to 1.999 \to 1.9999 \to \ldots \)
\( x \to -2^- \) ise,
\( -2.1 \to -2.01 \to -2.001 \to -2.0001 \to \ldots \)
Sağdan Limit
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkenine \( a \)'ya sağdan (\( x \gt a \)) giderek daha yaklaşan (ama hiçbir zaman \( a \) olmayan) değerler verdiğimizde \( f(x) \) değerleri bir \( L_2 \) değerine yaklaşıyor ve yakın kalıyorsa, bu \( L_2 \) değerine \( f \) fonksiyonunun \( a \) noktasındaki sağdan limiti denir.
\( a, L_2 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = L_2 \)
Yukarıda tanımladığımız \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki sağdan limiti:
\( \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} = 4 \)
Bir \( a \) noktasındaki sağdan limitte \( x \) değişkeni \( a \)'dan büyük değerlerden azalarak \( a \) değerine yaklaşır.
\( x \to 2^+ \) ise,
\( 2.1 \to 2.01 \to 2.001 \to 2.0001 \to \ldots \)
\( x \to -2^+ \) ise,
\( -1.9 \to -1.99 \to -1.999 \to -1.9999 \to \ldots \)
Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitlerine ayrı ayrı tek taraflı limit denir.
İki Taraflı Limit
Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşitse fonksiyonun o noktada iki taraflı limiti vardır ve soldan ve sağdan limit değerine eşittir.
\( a, L \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = L \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitinden bahsediliyorsa ve soldan ya da sağdan limit olduğu belirtilmemişse iki taraflı limit anlaşılmalıdır.
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ile ilgili önemli bazı noktalar aşağıdaki gibidir.
- Bir fonksiyonun limiti bir aralık için değil, belirli bir nokta için hesaplanır.
- Bir noktada limitin tanımlı olması için fonksiyonun o noktada reel sayı bir \( L \) değerine yaklaşması gerekir. Fonksiyon değerinin sonsuza gittiği durumlar (sonsuz limit) gerçek bir limit teşkil etmez.
- Fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri birbirine eşit değilse ya da ikisinden biri tanımlı değilse fonksiyonun o noktada (iki taraflı) limiti yoktur.
- Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olmaması soldan ve sağdan limitlerinin tanımsız olması anlamına gelmez. Soldan ve sağdan limitler o noktadaki limit değerinden bağımsız olarak tanımlı olabilirler.
- Limit bir fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri civarında nasıl davrandığı ile ilgilenir, fonksiyonun o noktadaki değeri ya da tanımlı olup olmaması ile ilgilenmez. Dolayısıyla fonksiyonun bir \( x \) noktası için limitinin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olması ya da o noktadaki fonksiyon değerinin soldan/sağdan limit değerine eşit olması gerekli değildir.
Alternatif olarak, tek taraflı limitler aşağıdaki şekilde de gösterilebilir.
\( f(a^-) = L_1 \)
\( f(a^+) = L_2 \)
Bir diğer alternatif olarak, tek ve iki taraflı limitler aşağıdaki şekilde de gösterilebilir.
\( x \to a^- \) iken \( f(x) \to L_1 \)
\( x \to a^+ \) iken \( f(x) \to L_2 \)
\( x \to a \) iken \( f(x) \to L \)
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} \) şeklindeki bir limit ifadesinde \( x \) değişkeninin yaklaştığı \( a \) değerine limit noktası, fonksiyon değerinin yaklaştığı \( L \) değerine limit değeri ya da kısaca limiti denir.
Önümüzdeki bölümlerde detaylı inceleyeceğimiz üzere, aşağıdaki durumlarda soldan ve sağdan limitler farklı sonuç verebilir, dolayısıyla bir noktadaki limit değerini bulmak için her iki tek taraflı limitin de incelenmesi gerekir.
- Parçalı fonksiyonların geçiş noktaları
- Mutlak değerli fonksiyonların kritik noktaları
- Bir fonksiyonda dikey asimptot oluşan noktalar
Burada yaptığımız tanımı limitin "pratik" tanımı olarak adlandırdık, limitin standart ve en doğru tanımı olan epsilon-delta tanımından önümüzdeki bölümde bahsedeceğiz.
Uç Noktalarda Limit
Sınırlı bir aralıkta tanımlı bir fonksiyonun tanım aralığının uç noktalarında tek taraflı limitler sadece fonksiyonun tanımlı olduğu yönlerde tanımlıdır. İki taraflı limit soldan ve sağdan limitlerin tanımlı ve eşit olmasını gerektirdiği için, uç noktalarda iki taraflı limit tanımlı değildir.
\( f: [a, b) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L_1 \)
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) \) ve \( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) tanımsızdır.
\( \lim\limits_{x \to b^-} f(x) = L_2 \)
\( \lim\limits_{x \to b^+} f(x) \) ve \( \lim\limits_{x \to b} f(x) \) tanımsızdır.
Bir noktada limitin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olma koşulu olmadığı için, fonksiyonun tanım aralığının açık, kapalı ya da yarı açık olmasının uç noktalardaki tek taraflı limit açısından bir önemi yoktur.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to 4^-} {f(x)} = 6a + 3 \)
\( \lim\limits_{x \to 4^+} {f(x)} = 7b - 2 \)
\( \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} = 12 \)
olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonun \( x = 4 \) noktasında iki taraflı limiti tanımlı olduğuna göre, bu noktadaki soldan ve sağdan limitler de tanımlı ve iki taraflı limit değerine eşit olmalıdır.
\( \lim\limits_{x \to 4^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 4^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} \)
\( 6a + 3 = 7b - 2 = 12 \)
\( 6a + 3 = 12 \)
\( a = \dfrac{3}{2} \)
\( 7b - 2 = 12 \)
\( b = 2 \)
\( ab = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to 2} {f(x)} = 11 \)
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {f(x - 1)} = 5a - 4 \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {f(x + 1)} = 2b + 3 \)
olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonun \( x = 2 \) noktasında iki taraflı limiti tanımlı olduğuna göre, bu noktadaki soldan ve sağdan limitler de tanımlı ve iki taraflı limit değerine eşit olmalıdır.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} = f(2^-) = 11 \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} = f(2^+) = 11 \)
Soruda verilen soldan limit ifadesini düzenleyelim.
\( x \to 3^- \) iken \( x - 1 \to 2^- \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki soldan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {f(x - 1)} = f(2^-) \)
\( = \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} = 5a - 4 \)
Soruda verilen sağdan limit ifadesini düzenleyelim.
\( x \to 1^+ \) iken \( x + 1 \to 2^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {f(x + 1)} = f(2^+) \)
\( = \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} = 2b + 3 \)
Bu iki ifadeyi \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki iki taraflı limitine eşitleyelim.
\( f(2^-) = 5a - 4 = 11 \)
\( a = 3 \)
\( f(2^+) = 2b + 3 = 11 \)
\( b = 4 \)
\( a + b = 3 + 4 = 7 \) bulunur.
Reel sayılar kümesinde tanımlı \( f \) fonksiyonu için,
\( \lim\limits_{x \to 1^+} f(5 - x) = 5 \)
\( \lim\limits_{x \to 3^+} f(x + 1) = 7 \)
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) \) tanım değildir.
II. \( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x + 2) = 7 \)
III. \( \lim\limits_{x \to 3^-} f(7 - x) = 5 \)
Çözümü Göster\( x \to 1^+ \) iken \( 5 - x \to 4^- \) olur.
Buna göre verilen birinci ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki soldan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} f(5 - x) = f(4^-) \)
\( = \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = 5 \)
\( x \to 3^+ \) iken \( x + 1 \to 4^+ \) olur.
Buna göre verilen ikinci ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 3^+} f(x + 1) = f(4^+) \)
\( = \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = 7 \)
Bu bilgiler doğrultusunda soruda verilen öncülleri kontrol edelim.
I. öncül:
\( x = 4 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitler tanımlı, ancak farklı olduğu için bu noktada iki taraflı limit tanımlı değildir.
\( f(4^-) \ne f(4^+) \)
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
\( x \to 2^+ \) iken \( x + 2 \to 4^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( f(4^+) = 7 \) olduğu için II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( x \to 3^- \) iken \( 7 - x \to 4^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( f(4^+) = 7 \) olduğu için III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.