Limit Tanımı
Şu ana kadar fonksiyonların belirli noktalardaki değerleri ile ilgilendik. Örneğin bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için \( x \) değişkenine ilgili değeri vererek fonksiyon değerini hesaplarız.
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \) olmak üzere,
\( f(1) = \dfrac{1^2 - 4}{1 - 2} = 3 \)
Aynı fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki değerini bulmak istersek fonksiyonun bu noktada tanımsız olduğunu görürüz.
\( f(2) = \dfrac{2^2 - 4}{2 - 2} = \dfrac{0}{0} \)
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında tanımsız olduğu bilgisinin bizim için yeterli olmadığını ve fonksiyonun bu nokta civarındaki değerini bilmek istediğimizi varsayalım. Elimizde fonksiyonun grafiği yoksa kullanabileceğimiz bir yöntem \( x \)'e 2'ye yakın değerler vererek fonksiyon değerini hesaplamak olabilir.
Aşağıdaki tabloda ilk iki sütunda \( x \)'in 2'den küçük ve gitgide artarak 2'ye yaklaşan değerleri için, sonraki iki sütunda da 2'den büyük ve gitgide azalarak 2'ye yaklaşan değerleri için fonksiyon değerleri verilmiştir.
Tabloyu incelediğimizde \( x \) 2'ye daha küçük değerlerden (grafik olarak soldan) yaklaştıkça fonksiyon değerinin 4'e daha küçük değerlerden yaklaştığını, \( x \) 2'ye daha büyük değerlerden (grafik olarak sağdan) yaklaştıkça da fonksiyon değerinin 4'e daha büyük değerlerden yaklaştığını görürüz. Bu değerlere bakarak, fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsız olsa da fonksiyon grafiğinin \( x = 2 \) civarında hem soldan hem de sağdan 4 değerine yaklaştığını söyleyebiliriz.
Bir program kullanarak fonksiyonun grafiğini çizdiğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
Yukarıda yaptığımız yorumu grafiği inceleyerek de teyit edebiliriz. Fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsızdır, ancak bu noktaya soldan ve sağdan yaklaştıkça fonksiyon değeri 4'e yaklaşmaktadır. Bu şekilde değer tablolaları kullanarak ya da fonksiyonun grafiğini inceleyerek bir fonksiyonun tanımsız olduğu bir nokta civarındaki davranışı ile ilgili ek bilgiler edinebiliriz.
Limitin Pratik Tanımı
Soldan Limit
Bir \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) değişkenine bir \( a \) değerine \( x \lt a \) olmak koşulu ile sınırsız yaklaşan (ama hiçbir zaman \( x = a \) olmayan) değerler verdiğimizde \( f(x) \) değerleri bir \( L_1 \) değerine sınırsız yaklaşıyorsa ve yakın kalıyorsa, bu \( L_1 \) değerine \( f(x) \) fonksiyonunun \( a \) noktası için soldan limiti denir.
Soldan limitin gösterimi aşağıdaki gibidir. Bu gösterimde \( x \)'in yaklaştığı \( a \) değerinin üstüne negatif işareti konur. Bu işaret \( a \) değerine \( x \) ekseninin negatif (sol) tarafından yaklaştığımızı gösterir.
\( L_1 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = L_1 \)
Yukarıda tanımladığımız \( f \) fonksiyonunun \( 2 \) noktası için soldan limiti:
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = 4 \)
Sağdan Limit
Bir \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) değişkenine bir \( a \) değerine \( x \gt a \) olmak koşulu ile sınırsız yaklaşan (ama hiçbir zaman \( x = a \) olmayan) değerler verdiğimizde \( f(x) \) değerleri bir \( L_2 \) değerine sınırsız yaklaşıyorsa ve yakın kalıyorsa, bu \( L_2 \) değerine \( f(x) \) fonksiyonunun \( a \) noktası için sağdan limiti denir.
Sağdan limitin gösterimi aşağıdaki gibidir. Bu gösterimde \( x \)'in yaklaştığı \( a \) değerinin üstüne pozitif işareti konur. Bu işaret \( a \) değerine \( x \) ekseninin pozitif (sağ) tarafından yaklaştığımızı gösterir.
\( L_2 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a^+} f(x) = L_2 \)
Yukarıda tanımladığımız \( f \) fonksiyonunun \( 2 \) noktası için sağdan limiti:
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 \)
Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitlerine tek taraflı limit denir.
İki Taraflı Limit
Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşitse, fonksiyonun o noktada limiti vardır ve noktanın soldan ve sağdan limit değerine eşittir.
\( L \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \) ise,
\( \lim_{x \to a} f(x) = L \)
Bir fonksiyonun iki taraflı limitinde limiti hesaplanan değerin üstüne pozitif ya da negatif işareti konmaz.
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ile ilgili önemli bazı noktalar aşağıdaki gibidir:
- Bir fonksiyonun limiti bir aralık için değil, belirli bir nokta için hesaplanır.
- Bir limitin soldan ya da sağdan limit olduğu özellikle belirtilmemişse iki taraflı limit anlaşılmalıdır.
- Bir noktada limitin tanımlı olması için fonksiyonun o noktada reel sayı bir \( L \) değerine yaklaşması gerekir. Fonksiyon değerinin sonsuza gittiği durumlar (sonsuz limit) gerçek bir limit teşkil etmez.
- Fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri birbirine eşit değilse ya da ikisinden biri tanımlı değilse fonksiyonun o noktada limiti yoktur, yani tanımsızdır.
- Limit bir fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri civarında nasıl davrandığı ile ilgilenir, fonksiyonun o noktadaki değeri ya da tanımlı olup olmaması ile ilgilenmez. Dolayısıyla fonksiyonun bir \( x \) noktası için limitinin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olması ya da o noktadaki fonksiyon değerinin soldan/sağdan limit değerine eşit olması gerekli değildir.
- Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olmaması soldan ve sağdan limitlerinin tanımsız olması anlamına gelmez. Soldan ve sağdan limitler o noktadaki limit değerinden bağımsız olarak tanımlı olabilirler.
Önümüzdeki bölümlerde detaylı inceleyeceğimiz üzere, soldan ve sağdan limitlerin farklı sonuç verebildiği, dolayısıyla her iki limitin de incelenmesi gereken noktalar şunlardır:
- Parçalı fonksiyonların kritik noktaları
- Mutlak değer fonksiyonlarının kritik noktaları
- Bir fonksiyonda dikey asimptot oluşan noktalar
Burada yaptığımız tanıma limitin pratik tanımı dedik, limitin en doğru ve kabul görmüş tanımı olan epsilon-delta tanımından önümüzdeki bölümde bahsedeceğiz.
Uç Noktalarda Limit
\( f: \left(a, b \right) \to \mathbb{R} \) şeklinde açık, kapalı ya da yarı açık bir aralıkta tanımlı bir fonksiyonun tanım aralığının uç noktalarında limit sadece fonksiyonun tanımlı olduğu yönlere göre belirlenir. Dolayısıyla, \( x = a \) noktasında sadece sağdan limite, \( x = b \) noktasında da sadece soldan limite bakmamız yeterlidir.
\( f: \left(a, b \right) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) \)
\( \lim_{x \to b} f(x) = \lim_{x \to b^-} f(x) \)
Buna aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz. Bu örnekte \( f(x) \) fonksiyonu sadece \( \left[2, 8 \right) \) aralığında tanımlı bir fonksiyon olduğu için \( x = 2 \) noktasında sadece sağdan limite, \( x = 8 \) noktasında da sadece soldan limite bakılır.
\( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 \)
\( \lim_{x \to 8} f(x) = \lim_{x \to 8^-} f(x) = 9 \)
Bir noktada limitin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olma koşulu olmadığı için, uç noktalarda aralığın açık ya da kapalı olması limit açısından önemli değildir.