Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi

İspatı türevin limit tanımını kullanarak yapalım.

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)

\( f(x) = a^x \)

\( f(x + h) = a^{x + h} \)

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a^{x + h} - a^x}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{a^xa^h - a^x}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \dfrac{a^x(a^h - 1)}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} a^x\dfrac{a^h - 1}{h} \)

\( a^x \) ifadesi \( h \) cinsinden olmadığı için sabit sayı olarak limitin dışına alabiliriz.

\( = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h - 1}{h} \)

Aşağıdaki limit \( \ln{a} \) formülüdür.

\( \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h - 1}{h} = \ln{a} \)

\( = a^x \cdot \ln{a} \)

Buna göre, \( f(x) = a^x \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = a^x \cdot \ln{a} \) fonksiyonudur.

\( f(x) = a^x \) fonksiyonunda ve ispatını yaptığımız türevinde \( a = e \) koyarak türevini bulalım.

\( f(x) = e^x \)

\( f'(x) = e^x \cdot \ln{e} \)

\( = e^x \cdot 1 \)

\( = e^x \)

Buna göre, \( f(x) = e^x \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = e^x \) fonksiyonudur (yani fonksiyonun kendisidir).

İspatı kapalı fonksiyonların türevi yöntemini kullanarak yapalım.

\( f(x) = y = \log_a{x} \)

\( x \)'i \( y \) cinsinden yazalım.

\( x = a^y \)

İki tarafın türevini alalım. \( y \) \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğu için \( y \)'nin türevini \( \frac{dy}{dx} \) ile de çarpmamız gerekir.

\( \dfrac{d}{dx} (x) = \dfrac{d}{dx} (a^y) \)

\( 1 = a^y \cdot \ln{a} \cdot \dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) türev ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{a^y \cdot \ln{a}} \)

\( x = a^y \) olduğu için \( a^y \) yerine \( x \) yazalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \)

Buna göre, \( f(x) = \log_a{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \) fonksiyonudur.

\( f(x) = \log_a{x} \) fonksiyonunda ve ispatını yaptığımız türevinde \( a = e \) koyarak türevini bulalım.

\( f(x) = \log_e{x} = \ln{x} \)

\( f'(x) = \dfrac{1}{x \cdot \ln{a}} \)

\( = \dfrac{1}{x \cdot \ln{e}} = \dfrac{1}{x} \)

Buna göre, \( f(x) = \ln{x} \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) fonksiyonudur.