Fonksiyon Grafikleri

Fonksiyonların özellikle birinci ve ikinci türevi, fonksiyonların grafikleri ve davranışları hakkında bize önemli bilgiler vermektedir. Bu bölümde öncelikle fonksiyon grafikleri ile ilgili önemli bazı kavramları inceleyeceğiz, daha sonra bu kavramları ve türev fonksiyonlarını kullanarak grafiklerle ilgili daha detaylı yorumlar yapmaya çalışacağız.

Sabit, Artan ve Azalan Aralıklar

Bir fonksiyonun değeri belirli bir aralıkta sabitse fonksiyon bu aralıkta sabit bir fonksiyondur. Fonksiyonun değeri bu aralıkta sürekli artıyorsa, fonksiyon bu aralıkta artan bir fonksiyondur. Fonksiyonun değeri bu aralıkta sürekli azalıyorsa, fonksiyon bu aralıkta azalan bir fonksiyondur.

Sabit Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında sabit bir fonksiyonun grafiği verilmiştir. Bir fonksiyonun değerinin sabit olduğu aralıkta eğimi sıfır olduğu için, bu aralıkta birinci türevi de sıfırdır.

Sabit aralık
Sabit aralık

Artan Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında farklı şekillerde artan üç fonksiyonun grafiği verilmiştir. Bir fonksiyonun değerinin sürekli arttığı bir aralıkta eğimi pozitif olduğu için, bu üç fonksiyonun da bu aralıkta birinci türevi pozitiftir.

Artan aralık
Artan aralık

Azalan Aralık

Aşağıda \( (a, b) \) aralığında farklı şekillerde azalan üç fonksiyonun grafiği verilmiştir. Bir fonksiyonun değerinin sürekli azaldığı bir aralıkta eğimi negatif olduğu için, bu üç fonksiyonun da bu aralıkta birinci türevi negatiftir.

Azalan aralık
Azalan aralık

Konveks ve Konkav Aralıklar

Konveks (Dış Bükey) Aralık

Bir fonksiyonun bir aralıktaki grafiği bu aralığın uç noktalarını birleştiren doğrunun altında kalıyorsa, fonksiyon grafiği bu aralıkta konvekstir (dış bükeydir).

Konveks bir grafik bu aralıkta şekildeki \( f \) fonksiyonu gibi artan (pozitif eğim/birinci türev) ya da \( g \) fonksiyonu gibi azalan (negatif eğim/birinci türev) olabilir, ancak eğim değeri (yani birinci türevi) her zaman artandır, dolayısıyla ikinci türevi pozitiftir.

Konveks (dış bükey) aralık
Konveks (dış bükey) aralık

Konkav (İç Bükey) Aralık

Bir fonksiyonun bir aralıktaki grafiği bu aralığın uç noktalarını birleştiren doğrunun üstünde kalıyorsa, fonksiyon grafiği bu aralıkta konkavdır (iç bükeydir).

Konkav bir grafik bu aralıkta şekildeki \( f \) fonksiyonu gibi artan (pozitif eğim/birinci türev) ya da \( g \) fonksiyonu gibi azalan (negatif eğim/birinci türev) olabilir, ancak eğim değeri (yani birinci türevi) her zaman azalandır, dolayısıyla ikinci türevi negatiftir.

Konkav (iç bükey) aralık
Konkav (iç bükey) aralık

Durağan Noktalar

Bir fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.

Durağan noktalar ikiye ayrılır ve bu noktalar yukarıda bahsettiğimiz noktalarla örtüşmektedir.

  • Türevlenebilir ekstremum noktalar: Bu noktalarda fonksiyonun grafiğinde bir yerel minimum ya da maksimum oluşur, fonksiyonun artış/azalış yönü değiştirir ve fonksiyonun birinci türevi (eğimi) işaret değiştirir (pozitiften negatife ya da negatiften pozitife geçer).
  • Yatay (durağan) büküm noktası: Bu noktalarda fonksiyonun grafiğinde bir yerel minimum ya da maksimum oluşmaz, fonksiyonun artış/azalış yönü ve birinci türevinin işareti değişmez.

« Önceki
Yüksek Dereceli Türev
Sonraki »
Grafik Aralıklarının Türev Yorumu


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır