Bu bölümde iki fonksiyon arasındaki toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri sonucunda oluşan yeni fonksiyonun türevini bulma kurallarını inceleyeceğiz.
Bir fonksiyonun sabit bir sayı ile çarpımının türevi, fonksiyonun türevinin bu sayı ile çarpımına eşittir. Bir diğer ifadeyle, bir türev işleminin içindeki sabit bir sayı türev işleminin dışına alınabilir.
İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.
Şu ana kadar gördüğümüz türev kurallarını kullanarak, polinom fonksiyonları dahil tüm \( ax^n \) formundaki ifadelerin toplamı ve farkından oluşan fonksiyonların türevini alabiliriz.
SORU 4:
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \dfrac{d}{dx}(2x^3 - x^2 + \sqrt{3}x - 7) \)
(b) \( \dfrac{d}{dx}(-x^{72} - \dfrac{1}{3}x^{36} + 5x^{18}) \)
(c) \( \dfrac{d}{dx}(5x^5 - 4x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 2) \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.
(a) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(2x^3 - x^2 + \sqrt{3}x - 7) \)
\( = 6x^2 - 2x + \sqrt{3} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(-x^{72} - \dfrac{1}{3}x^{36} + 5x^{18}) \)
\( = -72x^{71} - 12x^{35} + 90x^{17} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(5x^5 - 4x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 2) \)
\( = 25x^4 - 16x^3 + 9x^2 - 4x + 1 \)
SORU 5:
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \dfrac{d}{dx}(4x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-3}) \)
(b) \( \dfrac{d}{dx}(3x^{\frac{4}{3}} - \dfrac{1}{2}x^2 + 5x^{\frac{2}{3}}) \)
(c) \( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3}} + \dfrac{5}{6}x^{\frac{2}{5}} - \dfrac{1}{8}x^{\frac{4}{3}}) \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.
(a) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(4x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-3}) \)
\( = 4 \cdot \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} + 2 \cdot (-3)x^{-3 - 1} \)
\( = 2x^{-\frac{1}{2}} - 6x^{-4} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(3x^{\frac{4}{3}} - \dfrac{1}{2}x^2 + 5x^{\frac{2}{3}}) \)
\( = 3 \cdot \dfrac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} - \dfrac{1}{2} \cdot 2x^{2 - 1} + 5 \cdot \dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} \)
\( = 4x^{\frac{1}{3}} - x + \dfrac{10}{3}x^{-\frac{1}{3}} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3}} + \dfrac{5}{6}x^{\frac{2}{5}} - \dfrac{1}{8}x^{\frac{4}{3}}) \)
\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{5}x^{\frac{2}{5} - 1} - \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} \)
\( = \dfrac{1}{9}x^{-\frac{2}{3}} + \dfrac{1}{3}x^{-\frac{3}{5}} - \dfrac{1}{6}x^{\frac{1}{3}} \)
SORU 6:
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{\sqrt{2}}{x^2} - \dfrac{1}{3x^5} + 2\sqrt{3}x^3 - \dfrac{5}{4x^3}) \)
(b) \( \dfrac{d}{dx}(4\sqrt{x} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{10\sqrt{5}}{3}\sqrt[5]{x^3} + \dfrac{8\sqrt{2}}{3}\sqrt[4]{x^3}) \)
(c) \( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{3\sqrt{x}} - \dfrac{4\sqrt{3}}{5\sqrt{x^3}} + \sqrt[7]{x^8} - \sqrt[8]{x^7} + 18) \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.
(a) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{\sqrt{2}}{x^2} - \dfrac{1}{3x^5} + 2\sqrt{3}x^3 - \dfrac{5}{4x^3}) \)
\( = \dfrac{d}{dx}(\sqrt{2}x^{-2} - \dfrac{1}{3}x^{-5} + 2\sqrt{3}x^3 - \dfrac{5}{4}x^{-3}) \)
\( = \sqrt{2} \cdot (-2)x^{-2 - 1} - \dfrac{1}{3} \cdot (-5)x^{-5 - 1} + 2\sqrt{3} \cdot 3x^{3 - 1} - \dfrac{5}{4} \cdot (-3)x^{-3 - 1} \)
\( = -2\sqrt{2}x^{-3} + \dfrac{5}{3}x^{-6} + 6\sqrt{3}x^2 + \dfrac{15}{4}x^{-4} \)
\( = -\dfrac{2\sqrt{2}}{x^3} + \dfrac{5}{3x^6} + 6\sqrt{3}x^2 + \dfrac{15}{4x^4} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(4\sqrt{x} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{10\sqrt{5}}{3}\sqrt[5]{x^3} + \dfrac{8\sqrt{2}}{3}\sqrt[4]{x^3}) \)
\( = \dfrac{d}{dx}(4x^{\frac{1}{2}} - \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{10\sqrt{5}}{3}x^{\frac{3}{5}} + \dfrac{8\sqrt{2}}{3}x^{\frac{3}{4}}) \)
\( = 4 \cdot \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} - \dfrac{1}{2} \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} - \dfrac{10\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{5}x^{\frac{3}{5} - 1} + \dfrac{8\sqrt{2}}{3} \cdot \dfrac{3}{4}x^{\frac{3}{4} - 1} \)
\( = 2x^{-\frac{1}{2}} + \dfrac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} - 2\sqrt{5}x^{-\frac{2}{5}} + 2\sqrt{2}x^{-\frac{1}{4}} \)
\( = \dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{4\sqrt{x^3}} - \dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt[5]{x^2}} + \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{x}} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{3\sqrt{x}} - \dfrac{4\sqrt{3}}{5\sqrt{x^3}} + \sqrt[7]{x^8} - \sqrt[8]{x^7} + 18) \)
\( = \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{3}x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{4\sqrt{3}}{5}x^{-\frac{3}{2}} + x^{\frac{8}{7}} - x^{\frac{7}{8}} + 18) \)
Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.
\( = \dfrac{1}{3} \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} - \dfrac{4\sqrt{3}}{5} \cdot (-\dfrac{3}{2})x^{-\frac{3}{2} - 1} + \dfrac{8}{7}x^{\frac{8}{7} - 1} - \dfrac{7}{8}x^{\frac{7}{8} - 1} + 0 \)
\( = -\dfrac{1}{6}x^{-\frac{3}{2}} + \dfrac{6\sqrt{3}}{5}x^{-\frac{5}{2}} + \dfrac{8}{7}x^{\frac{1}{7}} - \dfrac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}} \)
\( = -\dfrac{1}{6\sqrt{x^3}} + \dfrac{6\sqrt{3}}{5\sqrt{x^5}} + \dfrac{8}{7}\sqrt[7]{x} - \dfrac{7}{8\sqrt[8]{x}} \)
SORU 7:
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \dfrac{d}{dx}(x^{\sqrt{2} + 1} - \dfrac{1}{x} - \sqrt{3}x^{2\sqrt{3}}) \)
(b) \( \dfrac{d}{dx}(x^{\pi} + x^{\pi^{e}} - \pi^{e}) \)
(c) \( \dfrac{d}{dx}(x^{e^2 + 1} + \dfrac{2e}{5}x^{\frac{10}{e}} - 2\sqrt{x^e}) \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.
(a) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(x^{\sqrt{2} + 1} - \dfrac{1}{x} - \sqrt{3}x^{2\sqrt{3}}) \)
\( = \dfrac{d}{dx}(x^{\sqrt{2} + 1} - x^{-1} - \sqrt{3}x^{2\sqrt{3}}) \)
\( = (\sqrt{2} + 1)x^{\sqrt{2} + 1 - 1} - (-1)x^{-1 - 1} - \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}x^{2\sqrt{3} - 1} \)
\( = (\sqrt{2} + 1)x^{\sqrt{2}} + x^{-2} - 6x^{2\sqrt{3} - 1} \)
\( = (\sqrt{2} + 1)x^{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{x^2} - 6x^{2\sqrt{3} - 1} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(x^{\pi} + x^{\pi^{e}} - \pi^{e}) \)
Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.
\( = \pi x^{\pi - 1} + \pi^{e} x^{\pi^{e} - 1} - 0 \)
\( = \pi x^{\pi - 1} + \pi^{e} x^{\pi^{e} - 1} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dx}(x^{e^2 + 1} + \dfrac{2e}{5}x^{\frac{10}{e}} - 2\sqrt{x^e}) \)
\( = \dfrac{d}{dx}(x^{e^2 + 1} + \dfrac{2e}{5}x^{\frac{10}{e}} - 2x^{\frac{e}{2}}) \)
\( = (e^2 + 1)x^{e^2 + 1 - 1} + \dfrac{2e}{5} \cdot \dfrac{10}{e}x^{\frac{10}{e} - 1} - 2 \cdot \dfrac{e}{2}x^{\frac{e}{2} - 1} \)
\( = (e^2 + 1)x^{e^2} + 4x^{\frac{10 - e}{e}} - ex^{\frac{e - 2}{2}} \)
SORU 8:
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \dfrac{d}{dt}(t^2 - xt + t^{x + 1}) \)
(b) \( \dfrac{d}{dz}(e^x - 3\sqrt{x} + 5y) \)
(c) \( \dfrac{d}{dw}(w^z + wz - \dfrac{1}{wz}) \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.
(a) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dt}(t^2 - xt + t^{x + 1}) \)
İfadenin \( t \) değişkenine göre türevi istendiği için türev alırken \( x \) ifadeleri birer sabit olarak kabul edilir.
\( = 2t^{2 - 1} - xt^{1 - 1} + (x + 1)t^{x + 1 - 1} \)
\( = 2t - x + (x + 1)t^x \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dz}(e^x - 3\sqrt{x} + 5y) \)
İfadenin \( z \) değişkenine göre türevi istendiği için türev alırken \( x \) ve \( y \) ifadeleri birer sabit olarak kabul edilir.
Verilen ifade \( z \) değişkeni içermediği için tüm ifade sabit terim olarak kabul edilir.
Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.
\( = 0 \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{d}{dw}(w^z + wz - \dfrac{1}{wz}) \)
\( = \dfrac{d}{dw}(w^z + zw - \dfrac{1}{z}w^{-1}) \)
İfadenin \( w \) değişkenine göre türevi istendiği için türev alırken \( z \) ifadeleri birer sabit olarak kabul edilir.
\( = zw^{z - 1} + zw^{1 - 1} - \dfrac{1}{z} \cdot (-1)w^{-1 - 1} \)
\( = zw^{z - 1} + z + \dfrac{1}{z}w^{-2} \)
\( = zw^{z - 1} + z + \dfrac{1}{zw^2} \)
SORU 9:
Aşağıdaki ifadelerin \( x \) değişkenine göre türevlerini bulunuz.
(a) \( y = \dfrac{x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}} \)
(b) \( y = \dfrac{4\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x^3}} \)
(c) \( y = \dfrac{(2 + 5\sqrt{x})^2}{10x} \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.
(a) seçeneği:
\( y = \dfrac{x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}} \)
Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{6}}} + \dfrac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}} \)
\( = x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{6}} + x^{\frac{5}{3} - \frac{1}{6}} \)
\( = x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}} \)
\( y' = (x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}})' \)
\( = \dfrac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} + \dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} \)
\( = \dfrac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} + \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \)
(b) seçeneği:
\( y = \dfrac{4\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x^3}} \)
Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{4x^{\frac{1}{2}} - 2}{x^{\frac{3}{2}}} \)
\( = \dfrac{4x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} - \dfrac{2}{x^{\frac{3}{2}}} \)
\( = 4x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{3}{2}} \)
\( = 4x^{-1} - 2x^{-\frac{3}{2}} \)
\( y' = (4x^{-1} - 2x^{-\frac{3}{2}})' \)
\( = 4 \cdot (-1)x^{-1 - 1} - 2 \cdot (-\dfrac{3}{2}) x^{-\frac{3}{2} - 1} \)
\( = -4x^{-2} + 3x^{-\frac{5}{2}} \)
\( = -\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{3}{\sqrt{x^5}} \)
(c) seçeneği:
\( y = \dfrac{(2 + 5\sqrt{x})^2}{10x} \)
Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{2^2 + 20\sqrt{x} + (5\sqrt{x})^2}{10x} \)
\( = \dfrac{4}{10x} + \dfrac{20\sqrt{x}}{10x} + \dfrac{25x}{10x} \)
\( = \dfrac{2}{5}x^{-1} + 2x^{-\frac{1}{2}} + \dfrac{5}{2} \)
\( y' = (\dfrac{2}{5}x^{-1} + 2x^{-\frac{1}{2}} + \dfrac{5}{2})' \)
Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.
\( = \dfrac{2}{5} \cdot (-1)x^{-1 - 1} + 2 \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} + 0 \)
\( = -\dfrac{2}{5}x^{-2} - x^{-\frac{3}{2}} \)
\( = -\dfrac{2}{5x^2} - \dfrac{1}{\sqrt{x^3}} \)
SORU 10:
Aşağıdaki ifadelerin \( x \) değişkenine göre türevlerini bulunuz.
(a) \( y = \dfrac{(3x + \sqrt{x})(4 + 2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}} \)
(b) \( y = \dfrac{(3x + 1)(2x + 4)}{2\sqrt{x^5}} \)
(c) \( y = \dfrac{(x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}}} \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.
(a) seçeneği:
\( y = \dfrac{(3x + \sqrt{x})(4 + 2\sqrt{x})}{x\sqrt{x}} \)
Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{12x + 6x\sqrt{x} + 4\sqrt{x} + 2x}{x\sqrt{x}} \)
\( = \dfrac{14x + 6x\sqrt{x} + 4\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} \)
\( = \dfrac{14}{\sqrt{x}} + 6 + \dfrac{4}{x} \)
\( = 14x^{-\frac{1}{2}} + 6 + 4x^{-1} \)
\( y' = (14x^{-\frac{1}{2}} + 6 + 4x^{-1})' \)
Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.
\( = 14 \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} + 0 + 4 \cdot (-1)x^{-1 - 1} \)
\( = -7x^{-\frac{3}{2}} - 4x^{-2} \)
\( = -\dfrac{7}{\sqrt{x^3}} - \dfrac{4}{x^2} \)
(b) seçeneği:
\( y = \dfrac{(3x + 1)(2x + 4)}{2\sqrt{x^5}} \)
Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{6x^2 + 12x + 2x + 4}{2x^{\frac{5}{2}}} \)
\( = \dfrac{6x^2 + 14x + 4}{2x^{\frac{5}{2}}} \)
\( = \dfrac{6x^2}{2x^{\frac{5}{2}}} + \dfrac{14x}{2x^{\frac{5}{2}}} + \dfrac{4}{2x^{\frac{5}{2}}} \)
\( = 3x^{2 - \frac{5}{2}} + 7x^{1 - \frac{5}{2}} + 2x^{-\frac{5}{2}} \)
\( = 3x^{-\frac{1}{2}} + 7x^{-\frac{3}{2}} + 2x^{-\frac{5}{2}} \)
\( y' = (3x^{-\frac{1}{2}} + 7x^{-\frac{3}{2}} + 2x^{-\frac{5}{2}})' \)
\( = 3 \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} + 7 \cdot (-\dfrac{3}{2})x^{-\frac{3}{2} - 1} + 2 \cdot (-\dfrac{5}{2})x^{-\frac{5}{2} - 1} \)
\( = -\dfrac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \dfrac{21}{2}x^{-\frac{5}{2}} - 5x^{-\frac{7}{2}} \)
\( = -\dfrac{3}{2\sqrt{x^3}} - \dfrac{21}{2\sqrt{x^5}} - \dfrac{5}{\sqrt{x^7}} \)
(c) seçeneği:
\( y = \dfrac{(x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}}} \)
Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.
Paydaki ifadede kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{(x^{\frac{1}{3}})^2 - (x^{\frac{1}{4}})^2}{x^{\frac{1}{2}}} \)
\( = \dfrac{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \)
\( = \dfrac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \)
\( = x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} - 1 \)
\( = x^{\frac{1}{6}} - 1 \)
\( y' = (x^{\frac{1}{6}} - 1)' \)
Sabit fonksiyonların tüm noktalarda eğimi sabit ve sıfır olduğu için türevi de tüm noktalarda sabit ve sıfırdır.
\( = \dfrac{1}{6}x^{\frac{1}{6} - 1} - 0 \)
\( = \dfrac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} \)
\( = \dfrac{1}{6x^{\frac{5}{6}}} \)
SORU 11:
Aşağıdaki ifadelerin \( x \) değişkenine göre türevlerini bulunuz.
(a) \( y = \dfrac{\sqrt[7]{x^4} - 2x^2\sqrt{x}}{4x} \)
(b) \( y = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}(\dfrac{3}{5x} - 4) \)
(c) \( y = 3x^3\sqrt{x}(\dfrac{3}{x^2} - \dfrac{6}{\sqrt{x}}) \)
Çözümü Göster
Kuvvet fonksiyonlarının türevini alırken değişkenin üssü terimin önüne katsayı olarak yazılır ve üs değerinden bir çıkarılır.
İki fonksiyonun toplamının/farkının türevi, fonksiyonların türevlerinin toplamına/farkına eşittir.
(a) seçeneği:
\( y = \dfrac{\sqrt[7]{x^4} - 2x^2\sqrt{x}}{4x} \)
Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{x^{\frac{4}{7}} - 2x^{\frac{5}{2}}}{4x} \)
\( = \dfrac{x^{\frac{4}{7}}}{4x} - \dfrac{2x^{\frac{5}{2}}}{4x} \)
\( = \dfrac{1}{4}x^{\frac{4}{7} - 1} - \dfrac{1}{2}x^{\frac{5}{2} - 1} \)
\( = \dfrac{1}{4}x^{-\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{2}x^{\frac{3}{2}} \)
\( y' = (\dfrac{1}{4}x^{-\frac{3}{7}} - \dfrac{1}{2}x^{\frac{3}{2}})' \)
\( = \dfrac{1}{4} \cdot (-\dfrac{3}{7})x^{-\frac{3}{7} - 1} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} \)
\( = -\dfrac{3}{28}x^{-\frac{10}{7}} - \dfrac{3}{4}x^{\frac{1}{2}} \)
\( = -\dfrac{3}{28\sqrt[7]{x^{10}}} - \dfrac{3}{4}\sqrt{x} \)
(b) seçeneği:
\( y = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}(\dfrac{3}{5x} - 4) \)
Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(\dfrac{3}{5}x^{-1} - 4) \)
\( = \dfrac{3}{10}x^{-\frac{1}{2} - 1} - 2x^{-\frac{1}{2}} \)
\( = \dfrac{3}{10}x^{-\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}} \)
\( y' = (\dfrac{3}{10}x^{-\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}})' \)
\( = \dfrac{3}{10} \cdot (-\dfrac{3}{2})x^{-\frac{3}{2} - 1} - 2 \cdot (-\dfrac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} \)
\( = -\dfrac{9}{20}x^{-\frac{5}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} \)
\( = -\dfrac{9}{20\sqrt{x^5}} + \dfrac{1}{\sqrt{x^3}} \)
(c) seçeneği:
\( y = 3x^3\sqrt{x}(\dfrac{3}{x^2} - \dfrac{6}{\sqrt{x}}) \)
Verilen ifadenin türevini almadan önce ifadeyi düzenleyelim.
\( = 3\sqrt{x^7}(\dfrac{3}{x^2} - \dfrac{6}{\sqrt{x}}) \)
\( = 3x^{\frac{7}{2}}(3x^{-2} - 6x^{-\frac{1}{2}}) \)
\( = 9x^{\frac{7}{2} - 2} - 18x^{\frac{7}{2} - {\frac{1}{2}}} \)
\( = 9x^{\frac{3}{2}} - 18x^3 \)
\( y' = (9x^{\frac{3}{2}} - 18x^3)' \)
\( = 9 \cdot \dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} - 18 \cdot 3x^{3 - 1} \)
\( = \dfrac{27}{2}x^{\frac{1}{2}} - 54x^2 \)
\( = \dfrac{27}{2}\sqrt{x} - 54x^2 \)
SORU 12:
\( f(x) = (x - \dfrac{1}{x})^3 \)
olduğuna göre, \( f \) fonksiyonunun türevini bulun.
Çözümü Göster
\( f(x) = (x - \dfrac{1}{x})^3 \)
Parantez küpü ifadesinin açılımını yazalım.
\( f(x) = x^3 - 3x^2\dfrac{1}{x} + 3x\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x^3} \)
\( = x^3 - 3x + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^3} \)
\( = x^3 - 3x + 3x^{-1} - x^{-3} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (x^3 - 3x + 3x^{-1} - x^{-3})' \)
\( = 3x^2 - 3 - 3x^{-2} + 3x^{-4} \)
\( f'(x) = 3x^2 - 3 - \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{3}{x^4} \)
SORU 13:
\( f(x) = 3(x - 2)(x + 2)(2x - 1) \)
olduğuna göre, \( f'(2) \) değerini bulun.
Çözümü Göster
\( f(x) = 3(x - 2)(x + 2)(2x - 1) \)
Parantezleri genişleterek fonksiyonu açık haliyle yazalım.
\( f(x) = (3x^2 - 12)(2x - 1) \)
\( = 6x^3 - 3x^2 - 24x + 12 \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (6x^3 - 3x^2 - 24x + 12)' \)
\( = 18x^2 - 6x - 24 \)
Türev fonksiyonunda \( x = 2 \) yazarak \( f'(2) \) değerini bulalım.
\( f'(2) = 18(2)^2 - 6(2) - 24 = 36 \) bulunur.
SORU 14:
\( f(t) = at^3 - b\sqrt[5]{t^2} + \dfrac{c}{\sqrt[3]{t}} \) olduğuna göre, \( \dfrac{d f(t)}{dt} \) ifadesini bulun.
Çözümü Göster
\( \frac{d f(t)}{dt} \) ifadesi \( f \) fonksiyonunun \( t \) değişkenine göre türevidir.
Fonksiyonun terimlerini üslü ifade şeklinde yazalım.
\( f \) fonksiyonu \( t \) değişkenine bağlı bir fonksiyon olarak tanımlandığı için \( a \), \( b \) ve \( c \) ifadelerini sabit birer değer olarak düşünebiliriz.
\( f(t) = at^3 - bt^{\frac{2}{5}} + ct^{-\frac{1}{3}} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(t) = 3at^2 - \dfrac{2}{5}bt^{\frac{2}{5} - 1} + (-\dfrac{1}{3})ct^{-\frac{1}{3} - 1} \)
\( = 3at^2 - \dfrac{2}{5}bt^{-\frac{3}{5}} - \dfrac{1}{3}ct^{-\frac{4}{3}} \)
\( = 3at^2 - \dfrac{2b}{5\sqrt[5]{t^3}} - \dfrac{c}{3\sqrt[3]{t^4}} \)
SORU 15:
\( f(x) = \dfrac{2x^2(\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}})}{\sqrt[3]{x^2}} \)
olduğuna göre, \( f \) fonksiyonunun türevini bulun.
Çözümü Göster
\( f \) fonksiyonunu türev toplama ve çıkarma kurallarını kullanabileceğimiz şekilde üslü ifadelerin toplamı/farkı formuna getirelim.
\( f(x) = \dfrac{2x^2\sqrt{x} - 2x^2\frac{3}{\sqrt{x}}}{\sqrt[3]{x^2}} \)
\( = \dfrac{2x^2x^{\frac{1}{2}} - 6x^2x^{-\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} \)
\( = \dfrac{2x^{2 + \frac{1}{2}} - 6x^{2 -\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} \)
\( = \dfrac{2x^{\frac{5}{2}} - 6x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} \)
Kesirli ifadeyi iki kesirin farkı şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{2x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \dfrac{6x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} \)
\( = 2x^{\frac{5}{2} - \frac{2}{3}} - 6x^{\frac{3}{2} - \frac{2}{3}} \)
\( = 2x^{\frac{11}{6}} - 6x^{\frac{5}{6}} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 2 \cdot \dfrac{11}{6}x^{\frac{11}{6} - 1} - 6 \cdot \dfrac{5}{6}x^{\frac{5}{6} - 1} \)
\( = \dfrac{11}{3}x^{\frac{5}{6}} - 5x^{-\frac{1}{6}} \)
Üsleri kesirli olan ifadeleri köklü ifadeye çevirelim.
\( = \dfrac{11\sqrt[6]{x^5}}{3} - \dfrac{5}{\sqrt[6]{x}} \) bulunur.
SORU 16:
\( f(x) = 2x^3 - 3x - 6 \) olduğuna göre,
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
Verilen limit ifadesi \( f \) fonksiyonunun türevinin limit tanımıdır.
\( f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \)
\( f'(x) = 6x^2 - 3 \)
SORU 17:
\( f(x) = 2x^2 + 4x +1 \) olduğuna göre,
\( \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{f(x) - f(-3)}{x + 3} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü Göster
Verilen limit ifadesi \( f \) fonksiyonunun \( x = -3 \) noktasındaki türevinin limit tanımıdır.
\( f'(-3) = \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{f(x) - f(-3)}{x - (-3)} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 4x + 4 \)
\( f'(-3) \) değerini bulmak için \( x = -3 \) koyalım.
\( f'(-3) = 4(-3) + 4 = -8 \) bulunur.
İki fonksiyonun çarpımının türevi, birinci fonksiyonun türevi ile ikinci fonksiyonun çarpımı ve birinci fonksiyon ile ikinci fonksiyonun türevinin çarpımının toplamına eşittir.
Çarpma kuralı üç fonksiyonun çarpımına aşağıdaki şekilde uygulanabilir.
SORU 18:
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = x^3\cos{x} \)
(b) \( f(x) = x^2\ln{x} \)
(c) \( f(x) = e^x(\sin{x} + \cos{x}) \)
Çözümü Göster
Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonların türevini alalım.
(a) seçeneği:
\( f(x) = x^3\cos{x} \)
Fonksiyonun çarpanlarını aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( g(x) = x^3, \quad h(x) = \cos{x} \)
\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)
\( f'(x) = [g(x) \cdot h(x)]' \)
\( = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \)
\( = (x^3)' \cdot \cos{x} + x^3 \cdot (\cos{x})' \)
\( = 3x^2\cos{x} + x^3(-\sin{x}) \)
\( = 3x^2\cos{x} - x^3\sin{x} \)
(b) seçeneği:
\( f(x) = x^2\ln{x} \)
Fonksiyonun çarpanlarını aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( g(x) = x^2, \quad h(x) = \ln{x} \)
\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)
\( f'(x) = [g(x) \cdot h(x)]' \)
\( = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \)
\( = (x^2)' \cdot \ln{x} + x^2 \cdot (\ln{x})' \)
\( = 2x\ln{x} + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} \)
\( = 2x\ln{x} + x \)
(c) seçeneği:
\( f(x) = e^x(\sin{x} + \cos{x}) \)
Fonksiyonun çarpanlarını aşağıdaki şekilde belirleyelim.
\( g(x) = e^x, \quad h(x) = \sin{x} + \cos{x} \)
\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)
\( f'(x) = [g(x) \cdot h(x)]' \)
\( = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \)
\( = (e^x)' \cdot (\sin{x} + \cos{x}) + e^x \cdot (\sin{x} + \cos{x})' \)
\( = e^x \cdot (\sin{x} + \cos{x}) + e^x \cdot (\cos{x} - \sin{x}) \)
\( = e^x\sin{x} + e^x\cos{x} + e^x\cos{x} - e^x\sin{x} \)
\( = 2e^x\cos{x} \)
SORU 19:
\( f(x) = (4x + 1)(2x + 3) \) olduğuna göre, \( f'(2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
1. yöntem:
Parantezleri genişleterek ifadenin açılımını yazalım.
\( f(x) = 8x^2 + 14x + 3 \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 16x + 14 \)
\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(2) = 16(2) + 14 = 46 \)
2. yöntem:
Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = [(4x + 1)(2x + 3)]' \)
\( = (4x + 1)'(2x + 3) + (4x + 1)(2x + 3)' \)
\( = 4(2x + 3) + (4x + 1)2 \)
\( = 8x + 12 + 8x + 2 \)
\( = 16x + 14 \)
\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(2) = 16(2) + 14 = 46 \)
SORU 20:
\( f(x) = \sqrt{x}\sqrt[3]{x} \)
olduğuna göre, \( f'(64) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = (\sqrt{x})'\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}(\sqrt[3]{x})' \)
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)
\( f'(64) \) değerini bulmak için \( x = 64 \) koyalım.
\( f'(64) = \dfrac{1}{2\sqrt{64}}\sqrt[3]{64} + \sqrt{64}\dfrac{1}{3\sqrt[3]{64^2}} \)
\( = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12} \) bulunur.
SORU 21:
\( f(x) = 2x^2 + x + 3 \)
\( g(x) = 4x + 4 \) olduğuna göre,
\( (f \cdot g)'(3) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonların çarpımının türevini alalım.
\( (f \cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
\( = (2x^2 + x + 3)'(4x + 4) + (2x^2 + x + 3)(4x + 4)' \)
\( = (4x + 1)(4x + 4) + (2x^2 + x + 3)4 \)
\( = 16x^2 + 20x + 4 + 8x^2 + 4x + 12 \)
\( = 24x^2 + 24x + 16 \)
\( (f \cdot g)'(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.
\( (f \cdot g)'(3) = 24(3)^2 + 24(3) + 16 \)
\( = 216 + 72 + 16 = 304 \) bulunur.
SORU 22:
\( f(x) = x^3 \cdot g(x) \)
\( g(2) = 4, \quad g'(2) = 3 \)
olduğuna göre, \( f'(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Çarpma kuralını kullanarak \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = (x^3)' \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x) \)
\( f'(x) = 3x^2 \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x) \)
\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(2) = 3(2)^2 \cdot g(2) + 2^3 \cdot g'(2) \)
Soruda verilen değerleri yerine koyalım.
\( = 12 \cdot 4 + 8 \cdot 3 \)
\( = 72 \) bulunur.
İki fonksiyonun bölümünün türevi aşağıdaki formülle alınır.
SORU 23:
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + x} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \)
Çözümü Göster
Bölme kuralını kullanarak fonksiyonların türevini alalım.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + x} \)
\( f'(x) = \dfrac{(3x)' \cdot (x^2 + x) - 3x \cdot (x^2 + x)'}{(x^2 + x)^2} \)
\( = \dfrac{3 \cdot (x^2 + x) - 3x \cdot (2x + 1)}{(x^2 + x)^2} \)
\( = \dfrac{3x^2 + 3x - 6x^2 - 3x}{(x^2 + x)^2} \)
\( = -\dfrac{3x^2}{(x^2 + x)^2} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} \)
\( g'(x) = \dfrac{(\sqrt[3]{x})' \cdot \sqrt{x} - \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} \)
\( = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \dfrac{\sqrt[3]{x}}{2\sqrt{x}}}{x} \)
Payı ve paydayı 6 ile çarpalım.
\( = \dfrac{2x^{\frac{1}{2}}x^{-\frac{2}{3}} - 3x^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{1}{2}}}{6x} \)
\( = \dfrac{2x^{-\frac{1}{6}} - 3x^{-\frac{1}{6}}}{6x} \)
\( = -\dfrac{x^{-\frac{1}{6}}}{6x} \)
\( = -\dfrac{1}{6x\sqrt[6]{x}} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \)
\( h'(x) = \dfrac{(\sqrt{x} + 1)' \cdot (\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} + 1) \cdot (\sqrt{x} - 1)'}{(\sqrt{x} - 1)^2} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} - 1)^2} \)
\( = -\dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)^2} \)
SORU 24:
Aşağıdaki fonksiyonların türevini bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{\sin{x}}{x^2} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{1 - \cos{x}}{1 + \sin{x}} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{e^x + 5}{e^x - 5} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{\sin{x}}{x^2} \)
Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(\sin{x})' \cdot x^2 - \sin{x} \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} \)
\( = \dfrac{\cos{x} \cdot x^2 - \sin{x} \cdot 2x}{x^4} \)
\( = \dfrac{x\cos{x} - 2\sin{x}}{x^3} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{1 - \cos{x}}{1 + \sin{x}} \)
Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = \dfrac{(1 - \cos{x})' \cdot (1 + \sin{x}) - (1 - \cos{x}) \cdot (1 + \sin{x})'}{(1 + \sin{x})^2} \)
\( = \dfrac{\sin{x} \cdot (1 + \sin{x}) - (1 - \cos{x}) \cdot \cos{x}}{(1 + \sin{x})^2} \)
\( = \dfrac{\sin{x} + \sin^2{x} - \cos{x} + \cos^2{x}}{(1 + \sin{x})^2} \)
\( = \dfrac{1 + \sin{x} - \cos{x}}{(1 + \sin{x})^2} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{e^x + 5}{e^x - 5} \)
Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( h'(x) = \dfrac{(e^x + 5)' \cdot (e^x - 5) - (e^x + 5) \cdot (e^x - 5)'}{(e^x - 5)^2} \)
\( = \dfrac{e^x \cdot (e^x - 5) - (e^x + 5) \cdot e^x}{(e^x - 5)^2} \)
\( = \dfrac{e^x(e^x - 5 - (e^x + 5))}{(e^x - 5)^2} \)
\( = -\dfrac{10e^x}{(e^x - 5)^2} \)
SORU 25:
\( f(x) = \dfrac{\ln{x}}{1 - \ln{x}} \) olduğuna göre, \( f'(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster
Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(\ln{x})' \cdot (1 - \ln{x}) - \ln{x} \cdot (1 - \ln{x})'}{(1 - \ln{x})^2} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot (1 - \ln{x}) - \ln{x} \cdot (-\frac{1}{x})}{(1 - \ln{x})^2} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{x} - \frac{\ln{x}}{x} + \frac{\ln{x}}{x}}{(1 - \ln{x})^2} \)
\( = \dfrac{1}{x(1 - \ln{x})^2} \) bulunur.
SORU 26:
\( f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \) \( = (x^2 - 4x + 13) \cdot g^2(x) \)
olduğuna göre, \( (\dfrac{f}{g})'(2) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafını \( g^2(x) \)'ye bölelim.
\( \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)} = x^2 - 4x + 13 \)
Eşitliğin sol tarafı iki fonksiyonun bölümünün türevinin formülüdür.
\( (\dfrac{f}{g})'(x) = x^2 - 4x + 13 \)
\( x = 2 \) koyarak istenen türev değerini bulalım.
\( (\dfrac{f}{g})'(2) = 2^2 - 4(2) + 13 \)
\( = 9 \) bulunur.
SORU 27:
\( f(x) = \dfrac{x^2 + mx}{3 - x} \) veriliyor.
\( f(1) + f'(2) = \dfrac{3}{2} \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) koyalım.
\( f(1) = \dfrac{1^2 + m(1)}{3 - 1} \)
\( = \dfrac{1 + m}{2} \)
Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(x^2 + mx)'(3 - x) - (x^2 + mx)(3 - x)'}{(3 - x)^2} \)
\( = \dfrac{(2x + m)(3 - x) - (x^2 + mx)(-1)}{(3 - x)^2} \)
\( = \dfrac{(2x + m)(3 - x) + (x^2 + mx)}{(3 - x)^2} \)
\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(2) = \dfrac{(2(2) + m)(3 - 2) + (2^2 + m(2))}{(3 - 2)^2} \)
\( = (4 + m) + (4 + 2m) \)
\( = 3m + 8 \)
Bulduğumuz değerleri verilen eşitlikte yerine yazalım.
\( f(1) + f'(2) = \dfrac{3}{2} \)
\( \dfrac{1 + m}{2} + 3m + 8 = \dfrac{3}{2} \)
\( 1 + m + 6m + 16 = 3 \)
\( 7m = -14 \)
\( m = -2 \) bulunur.
SORU 28:
\( f(x) = \dfrac{x^2}{g(x) + 1} \)
\( g(2) = 3, \quad g'(2) = 2 \)
olduğuna göre, \( f'(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bölme kuralını kullanarak \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(x^2)' \cdot (g(x) + 1) - x^2 \cdot (g(x) + 1)'}{(g(x) + 1)^2} \)
\( = \dfrac{2x \cdot (g(x) + 1) - x^2 \cdot g'(x)}{(g(x) + 1)^2} \)
\( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(2) = \dfrac{2(2) \cdot (g(2) + 1) - 2^2 \cdot g'(2)}{(g(2) + 1)^2} \)
Soruda verilen değerleri yerine koyalım.
\( = \dfrac{4 \cdot (3 + 1) - 4 \cdot 2}{(3 + 1)^2} \)
\( = \dfrac{16 - 8}{16} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.
SORU 29:
\( f \) ve \( g \) türevlenebilir fonksiyonlardır.
\( f(2) = 3, \quad g(2) = 2 \),
\( f'(2) = -1, \quad g'(2) = 4 \) olduğuna göre,
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})'(2) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Bölme kuralını kullanarak \( \frac{f + g}{f \cdot g} \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})' = \dfrac{(f + g)' \cdot (f \cdot g) - (f + g) \cdot (f \cdot g)'}{(f \cdot g)^2} \)
Türev toplama ve çarpma kurallarını kullanarak türevi parantez içine dağıtalım.
\( = \dfrac{(f' + g') \cdot (f \cdot g) - (f + g) \cdot (f' \cdot g + f \cdot g')}{(f \cdot g)^2} \)
Soruda verilen değerleri yerine koyalım.
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})'(2) = \dfrac{(f'(2) + g'(2)) \cdot f(2) \cdot g(2) - (f(2) + g(2)) \cdot (f'(2) \cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2))}{(f(2) \cdot g(2))^2} \)
\( = \dfrac{(-1 + 4) \cdot 3 \cdot 2 - (3 + 2) \cdot (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 4)}{(3 \cdot 2)^2} \)
\( = \dfrac{18 - 50}{36} = -\dfrac{8}{9} \) bulunur.
SORU 30:
\( f(x) = \sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[3]{x^2} \) ise,
\( \dfrac{dy}{dx}|_{x=64} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \frac{dy}{dx} \) ifadesi fonksiyonun \( x \)'e göre birinci türevidir.
Fonksiyondaki köklü ifadeleri üslü ifadeye çevirelim.
\( f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}} + 3x^{\frac{2}{3}} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} - 2 \cdot \dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} + 3 \cdot \dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} \)
\( = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}} + 2x^{-\frac{1}{3}} \)
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{2}{\sqrt[3]{x}} \)
\( f'(64) \) değerini bulmak için \( x = 64 \) koyalım.
\( f'(64) = \dfrac{1}{2\sqrt{64}} - \dfrac{2}{3\sqrt[3]{64^2}} + \dfrac{2}{\sqrt[3]{64}} \)
\( = \dfrac{1}{16} - \dfrac{2}{48} + \dfrac{2}{4} \)
\( = \dfrac{25}{48} \) bulunur.
SORU 31:
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( f(x) + f'(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) olduğuna göre, \( f(0) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olduğu için \( f'(x) \) fonksiyonunun derecesi \( f(x) \) fonksiyonunun derecesinden 1 eksik olur.
Buna göre \( f(x) + f'(x) \) fonksiyonu 2. dereceden ise \( f(x) \) de \( 2. \) dereceden olmalıdır.
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( f'(x) = 2ax + b \)
\( f(x) + f'(x) = 2x^2 + 8x + 6 \)
\( ax^2 + bx + c + 2ax + b = 2x^2 + 8x + 6 \)
\( ax^2 + (2a + b)x + b + c = 2x^2 + 8x + 6 \)
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( a = 2 \)
\( 2a + b = 8 \Longrightarrow b = 4 \)
\( b + c = 6 \Longrightarrow c = 2 \)
\( f(x) = 2x^2 + 4x + 2 \)
\( f(0) \) değerini bulmak için \( x = 0 \) koyalım.
\( f(0) = 2(0)^2 + 4(0) + 2 = 2 \) bulunur.
SORU 32:
\( f(x) \) 5. dereceden bir polinom fonksiyonudur.
\( f(-2) = f(-1) = f(1) = f(2) = f(3) = 14 \)
\( f'(3) = 80 \) olduğuna göre, \( f(0) \) kaçtır?
Çözümü Göster
5. dereceden \( f(x) \) polinom fonksiyonunun 5 farklı noktadaki değeri aynı ve 14 olduğu için, fonksiyonu kökleri bu 5 nokta olan bir fonksiyonun 14 birim yukarı ötelenmiş hali olarak düşünebiliriz.
\( f(x) = a(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3) + 14 \)
Fonksiyonun türevini çarpma kuralını kullanarak alırken ilk terimde \( (x - 3) \) çarpanının türevini alalım. Bu durumda kalan 4 terimde bu çarpanın türevi alınmayacağı için \( (x - 3) \) şeklinde bulunacaktır.
\( f'(x) = a(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3)' + \ldots \)
\( = a(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2) + \ldots \)
\( f'(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım. İlk terimden sonraki 4 terim \( (x - 3) \) çarpanını içerdiği için bu terimler 0 olacaktır.
\( f'(3) = a(3 + 2)(3 + 1)(3 - 1)(3 - 2) + 0 = 80 \)
\( = a(5)(4)(2)(1) = 80 \)
\( a = 2 \)
\( f \) fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 2(x + 2)(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3) + 14 \)
\( f(0) \) değerini bulmak için \( x = 0 \) koyalım.
\( f(0) = 2(0 + 2)(0 + 1)(0 - 1)(0 - 2)(0 - 3) + 14 \)
\( = -10 \) bulunur.
SORU 33:
\( f(x) = x^2 \)
\( g(x) = x^4 + 1 \)
\( h(x) = x^3 + 1 \) olduğuna göre,
\( (f \cdot g \cdot h)(-1) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Türev çarpma kuralı üç fonksiyonun çarpımına aşağıdaki şekilde uygulanabilir.
\( (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh' \)
Türev değeri istenen nokta (\( x = -1 \)) bu fonksiyonlardan birini (örneğin \( h \) fonksiyonu) sıfır yapıyorsa (\( h(-1) = 0 \)) çarpım kuralında bu fonksiyonun türevinin alındığı terim hariç diğer terimler sıfır olur, dolayısıyla çarpma kuralı formülünü sadece bu fonksiyonun türevinin alındığı terimi içerecek şekilde aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (fgh)' = f'g(0) + fg'(0) + fgh' \)
\( (fgh)' = fgh' \)
Sorudaki fonksiyonları incelediğimizde \( x = -1 \) noktasının \( h \) fonksiyonunu sıfır yaptığını görüyoruz.
\( h(-1) = (-1)^3 + 1 = 0 \)
Bu kısa çözümü üç fonksiyonunun çarpımının türevine uygulayalım.
\( (f \cdot g \cdot h)'(x) = x^2(x^4 + 1) (x^3 + 1)' + \ldots \)
\( = x^2(x^4 + 1)3x^2 + \ldots \)
\( (f \cdot g \cdot h)'(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) koyalım.
\( (f \cdot g \cdot h)'(-1) = (-1)^2((-1)^4 + 1)3(-1)^2 + 0 \)
\( = 1(2)(3) = 6 \) bulunur.