Bir fonksiyonun birinci türevi bir noktadaki anlık değişim oranını verdiği için, birinci türevin (teğet doğrunun eğiminin) işareti de fonksiyonun bir aralıkta artan, azalan ya da sabit olması ile ilgili bilgi verir.
Aşağıdaki grafikte bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıklar ve birinci türevi arasındaki ilişki gösterilmiştir. Şekilde ana fonksiyonun grafiği üzerindeki \( + \) ve \( - \) işaretleri fonksiyonun değerinin değil, eğiminin işaretini göstermektedir.
Buna göre ana fonksiyonun artan olduğu aralıklarda (yeşil zemin rengi) birinci türev pozitif, azalan olduğu aralıklarda (mavi zemin rengi) birinci türev negatif değer almaktadır. Ana fonksiyonun durağan olduğu \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) noktalarında ise birinci türev sıfır olmaktadır.
\( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) ve \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere, her \( x \in (a, b) \) değeri için,
\( f'(x) \gt 0 \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında artandır.
\( f'(x) \lt 0 \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında azalandır.
\( f'(x) = 0 \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında sabittir.
Dolayısıyla, bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevin pozitif olduğu, azalan olduğu aralıkları bulmak için de negatif olduğu değer aralıkları bulunur.
\( f \) fonksiyonunun artan olduğu aralıkları bulmak için \( f'(x) \gt 0 \) eşitsizliği çözülür.
\( f \) fonksiyonunun azalan olduğu aralıkları bulmak için \( f'(x) \lt 0 \) eşitsizliği çözülür.
SORU 1:
Aşağıdaki fonksiyonların artan olduğu aralıkları bulunuz.
Bir fonksiyonun artan olduğu aralıklarda türevi pozitif, azalan olduğu aralıklarda türevi negatiftir.
Verilen türev grafiği \( (-7, -2) \) ve \( (6, +\infty) \) aralıklarında pozitif değer alır, dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu aralıklarda artandır.
Fonksiyonun türevi \( x = -7 \), \( x = -2 \) ve \( x = 6 \) noktalarında sıfırdır ve bu noktalarda artan ya da azalan değil durağandır, dolayısıyla bu noktalar fonksiyonun artan olduğu aralıklara dahil edilmez.
Bir fonksiyonun hangi aralıkta azalıp arttığını o fonksiyonun birinci türevinin işareti belirler. Bir fonksiyon birinci türevinin pozitif olduğu aralıklarda artar, negatif olduğu aralıklarda azalır.
Fonksiyonların birinci türevini alalım.
\( f'(x) = 6x^2 - 24x - 30 \)
\( = 6(x^2 - 4x - 5) \)
\( = 6(x + 1)(x - 5) \)
\( f \) fonksiyonu birinci türevini sıfır yapan \( x = -1 \) ve \( x = 5 \) noktalarının arasında kalan \( (-1, 5) \) aralığında azalandır, dışında kalan aralıkta artandır.
\( g'(x) = 8x - 24 \)
\( = 8(x - 3) \)
\( g \) fonksiyonu birinci türevini sıfır yapan \( x = 3 \) noktasının sağında kalan \( (3, +\infty) \) aralığında artandır, solunda kalan \( (-\infty, 3) \) azalandır.
İki fonksiyonun türevinin farklı aralıklardaki işaretleri için bir işaret tablosu hazırlayalım.
Buna göre \( (-\infty, -1) \) aralığında \( f \) fonksiyonu artarken \( g \) fonksiyonu azalmaktadır. \( (3, 5) \) aralığında ise \( f \) fonksiyonu azalırken \( g \) fonksiyonu artmaktadır.
Cevap \( (-\infty, -1) \) ve \( (3, 5) \) aralıkları olarak bulunur.
Bir fonksiyonun bir aralıkta azalan olabilmesi için fonksiyon değeri o aralıkta azalabilir ya da sabit kalabilir, ama artamaz.
Fonksiyon azalan ise \( P(b) \) değeri \( P(a) \) değerine eşit ya da ondan küçük olmalıdır. Buna göre I. öncül her zaman doğrudur.
Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkta birinci türevi sıfır ya da negatif olur, dolayısıyla \( P'(a) \le 0 \) ve \( P'(b) \le 0 \) olduğunu söyleyebiliriz, ancak bu iki noktadaki birinci türev değerleri arasında bir karşılaştırma yapamayız.
Bir fonksiyon azalan olduğu bir aralıkta eğimi artıyor (\( P''(x) \gt 0 \)), azalıyor (\( P''(x) \lt 0 \)) ya da sabit kalıyor (\( P''(x) = 0 \)) olabilir. Bu yüzden bu iki noktadaki ikinci türev değerleri arasında bir karşılaştırma yapamayız.
Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi bir polinom fonksiyonu şeklinde tanımlayalım.
\( f(x) = x^9 + x^7 + x^5 + 1 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun grafiğinin \( x \) eksenini kaç noktada kestiği sorulmaktadır.
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 9x^8 + 7x^6 + 5x^4 \)
Türev fonksiyonundaki terimlerin tümü çift dereceli olduğu için türev hiçbir zaman negatif değer almaz, dolayısıyla \( f \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artandır.
Tek dereceli polinom fonksiyonlarının en az bir reel kökü vardır. Tüm reel sayılarda artan olan fonksiyon bu kök değerinden sonra ikinci bir kök için azalan olamayacağı için fonksiyonun tek bir reel sayı kökü vardır.
Bir fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanımlı olması için fonksiyon birebir olmalıdır.
Bir fonksiyonun birebir olması için grafiği kesin artan ya da kesin azalan olmalıdır, aksi takdirde fonksiyon belirli bir \( y \) değerini birden fazla \( x \) değerinde alır.
Verilen fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \cos{x} + k \)
Fonksiyonun kesin artan olması için birinci türevi tüm reel sayılarda pozitif, kesin azalan olması için tüm reel sayılarda negatif olmalıdır.
Durum 1: Kesin artan
\( f'(x) = \cos{x} + k \gt 0 \)
Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alır.
Bu eşitsizliğin her \( x \) değeri için sağlanması için \( k \gt 1 \) olmalıdır.
Durum 2: Kesin azalan
\( f'(x) = \cos{x} + k \lt 0 \)
Bu eşitsizliğin her \( x \) değeri için sağlanması için \( k \lt -1 \) olmalıdır.
Bu iki durumdan birinin sağlandığı durumda fonksiyon birebir olacağı için \( k \) değer aralığı bulduğumuz iki aralığın birleşim kümesi olur.