Artan ve Azalan Aralıkların Bulunması

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.

(a) seçeneği:

\( f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 6 \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( f'(x) = x^2 - 4x + 3 \)

Birinci türevin pozitif olduğu aralıkları bulalım.

\( f'(x) = x^2 - 4x + 3 \gt 0 \)

\( (x - 1)(x - 3) \gt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta artandır.

\( x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = 2x^3 - 6x + 4 \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( g'(x) = 6x^2 - 6 \)

Birinci türevin pozitif olduğu aralıkları bulalım.

\( g'(x) = 6x^2 - 6 \gt 0 \)

\( 6(x - 1)(x + 1) \gt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta artandır.

\( x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = -x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 30x - 8 \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( h'(x) = -3x^2 - 9x + 30 \)

Birinci türevin pozitif olduğu aralıkları bulalım.

\( h'(x) = -3x^2 - 9x + 30 \gt 0 \)

\( -3(x + 5)(x - 2) \gt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta artandır.

\( x \in (-5, 2) \)

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.

(a) seçeneği:

\( f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 10 \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( f'(x) = 6x^2 - 8x \)

Birinci türevin negatif olduğu aralıkları bulalım.

\( f'(x) = 6x^2 - 8x \lt 0 \)

\( 2x(3x - 4) \lt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta azalandır.

\( x \in (0, \frac{4}{3}) \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = 2 - 5x^2 - 10x^3 \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( g'(x) = -10x - 30x^2 \)

Birinci türevin negatif olduğu aralıkları bulalım.

\( g'(x) = -10x - 30x^2 \lt 0 \)

\( -10x(1 + 3x) \lt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta azalandır.

\( x \in (-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (0, \infty) \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( h'(x) = 12x^2 + 6x - 6 \)

Birinci türevin negatif olduğu aralıkları bulalım.

\( h'(x) = 12x^2 + 6x - 6 \lt 0 \)

\( 6(2x - 1)(x + 1) \lt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta azalandır.

\( x \in (-1, \frac{1}{2}) \)

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıkta artandır.

Buna göre fonksiyon daima artan ise tüm tanım aralığında \( f'(x) \gt 0 \) olmalıdır.

Fonksiyonun türevini almak için bölme kuralını uygulayalım.

\( f'(x) = \dfrac{(x + 8)'(x - a) - (x + 8)(x - a)'}{(x - a)^2} \)

\( = \dfrac{-a - 8}{(x - a)^2} \)

Paydadaki ifade fonksiyonun tanım kümesi içinde her zaman pozitiftir. Buna göre paydaki ifade pozitif olduğunda birinci türev pozitif olur.

\( f'(x) \gt 0 \)

\( -a - 8 \gt 0 \)

\( a \lt -8 \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -9 \) olur.

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artandır.

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 2xe^x + x^2e^x \)

Birinci türevin pozitif olduğu aralığı bulalım.

\( 2xe^x + x^2e^x \gt 0 \)

\( xe^x(x + 2) \gt 0 \)

Birinci türev fonksiyonu için bir işaret tablosu oluşturalım.

\( e^x \) ifadesi tüm reel sayılarda pozitiftir.

Buna göre, \( f' \) fonksiyonu \( (-\infty, -2) \) ve \( (0, \infty) \) aralıklarında pozitiftir, dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu iki aralıkta artandır.

Fonksiyon karekök içini negatif yapan \( x \) değerleri hariç tüm reel sayılarda tanımlıdır.

\( x + 1 \ge 0 \)

\( x \ge -1 \)

\( f: [-1, \infty) \to \mathbb{R} \)

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artandır.

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 2\sqrt{x + 1} + \dfrac{2x}{2\sqrt{x + 1}} \)

\( = \dfrac{3x + 2}{\sqrt{x + 1}} \)

\( f'(x) \gt 0 \)

Paydadaki ifade her \( x \gt -1 \) için pozitiftir. Buna göre paydaki ifade pozitif olduğunda birinci türev pozitif olur.

\( 3x + 2 \gt 0 \)

\( x \gt -\dfrac{2}{3} \)

Buna göre fonksiyon en geniş tanım kümesi içindeki aşağıdaki aralıkta artandır.

\( x \in \left( -\dfrac{2}{3}, \infty \right) \)

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) negatif olduğu aralıklarda azalandır.

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = \dfrac{12x^5}{2x^6 + 13} \)

\( f'(x) \lt 0 \)

Paydadaki ifade tüm reel sayılarda pozitiftir. Buna göre paydaki ifade negatif olduğunda birinci türev negatif olur.

\( 12x^5 \lt 0 \)

\( x \lt 0 \)

Buna göre fonksiyon tanım kümesi içindeki aşağıdaki aralıkta azalandır.

\( x \in (-\infty, 0) \)

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artar, negatif olduğu aralıklarda azalır.

Fonksiyonların birinci türevini alalım.

\( f'(x) = 6x^2 - 24x - 30 \)

\( = 6(x + 1)(x - 5) \)

\( f' \) fonksiyonu \( x = -1 \) ve \( x = 5 \) noktaları arasında kalan \( (-1, 5) \) aralığında negatiftir, dışında kalan aralıkta pozitiftir. Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu iki aralıkta sırasıyla azalan ve artandır.

\( g'(x) = 8x - 24 \)

\( = 8(x - 3) \)

\( g' \) fonksiyonu \( x = 3 \) noktasının solunda kalan \( (-\infty, 3) \) aralığında negatiftir, sağında kalan \( (3, \infty) \) aralığında pozitiftir. Dolayısıyla \( g \) fonksiyonu bu iki aralıkta sırasıyla azalan ve artandır.

İki fonksiyonun türevinin farklı aralıklardaki işaretleri için bir işaret tablosu hazırlayalım.

Buna göre \( (-\infty, -1) \) aralığında \( f \) fonksiyonu artarken \( g \) fonksiyonu azalır. \( (3, 5) \) aralığında ise \( f \) fonksiyonu azalırken \( g \) fonksiyonu artar.

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artandır.

Fonksiyonun türevini almak için bölme kuralını uygulayalım.

\( f'(x) = \dfrac{(\ln(2x))'(2\sqrt{x}) - \ln(2x)(2\sqrt{x})'}{(2\sqrt{x})^2} \)

\( = \dfrac{2 - \ln(2x)}{4x\sqrt{x}} \)

\( f'(x) \gt 0 \)

Paydadaki ifade fonksiyonun tanım kümesi içinde her zaman pozitiftir. Buna göre paydaki ifade pozitif olduğunda birinci türev pozitif olur.

\( 2 - \ln(2x) \gt 0 \)

\( \ln(2x) \lt 2 \)

\( x \lt \dfrac{e^2}{2} \)

Buna göre fonksiyon tanım kümesi içindeki aşağıdaki aralıkta artandır.

\( x \in \left( 0, \dfrac{e^2}{2} \right) \)

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 2\sin{x}\cos{x} - 2\sin{x} \)

\( = 2\sin{x}(\cos{x} - 1) \)

Birinci türevin işaretini inceleyelim.

İfadeyi 0 yapan noktaları bulalım.

\( 2\sin{x}(\cos{x} - 1) = 0 \)

Bu eşitlik her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinde sağlanır.

\( \sin{x} = 0 \)

Sinüs fonksiyonu 0 değerini verilen tanım aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.

\( x \in \{ 0, \pi, 2\pi \} \)

Sinüs fonksiyonu \( (0, \pi) \) aralığında pozitif, \( (\pi, 2\pi) \) aralığında negatiftir.

\( \cos{x} - 1 = 0 \)

\( \cos{x} = 1 \)

Kosinüs fonksiyonu 1 değerini verilen tanım aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.

\( x \in \{ 0, 2\pi \} \)

Kosinüs fonksiyonunun 1 değerini aldığı noktaları çıkardığımızda, \( \cos{x} - 1 \) ifadesi \( (0, 2\pi) \) aralığında negatif olur.

Bu noktalar reel sayı doğrusunda, fonksiyonun tanım kümesi içinde \( (0, \pi) \) ve \( (\pi, 2\pi) \) aralıklarını oluşturur.

Bir işaret tablosu hazırlayalım.

Buna göre, \( f' \) fonksiyonu \( (0, \pi) \) aralığında negatif, \( (\pi, 2\pi) \) aralığında pozitiftir. Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu iki aralıkta sırasıyla azalan ve artandır.

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.

Zincir kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = e^{\frac{2}{x + 4}} \left( \dfrac{2}{x + 4} \right)' \)

\( = \dfrac{-2e^{\frac{2}{x + 4}}}{(x + 4)^2} \)

Türev fonksiyonunun işaretini inceleyelim.

Paydadaki ifade fonksiyonun tanım kümesi içinde her zaman pozitiftir.

\( (x + 4)^2 \gt 0 \)

Üstel ifade her zaman pozitiftir.

\( e^{\frac{2}{x + 4}} \gt 0 \)

Buna göre türev fonksiyonu tanım kümesi içinde her zaman negatiftir.

\( f'(x) \lt 0 \)

Dolayısıyla fonksiyon tüm tanım kümesi içinde azalandır.

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.

Parçalı fonksiyonun birinci türevini alalım.

Fonksiyonun \( x = 0 \) noktasındaki türevlenebilirliğini inceleyelim.

Önce bu noktadaki sürekliliği kontrol edelim.

\( \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (1 - 2x) \)

\( = 1 - 2(0) = 1 \)

\( \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x^2 - 2x) \)

\( = 0^2 - 2(0) = 0 \)

\( x = 0 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olmadığı için fonksiyon bu noktada süreksizdir, dolayısıyla bu noktada türev tanımsızdır.

\( f'(x) = \begin{cases} -2 & x \lt 0 \\ \text{Tanımsız} & x = 0 \\ 2x - 2 & x \gt 0 \end{cases} \)

Türev fonksiyonunun işaretini inceleyelim.

\( x \lt 0 \) için:

\( f'(x) = -2 \lt 0 \)

Dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta azalandır.

\( x \gt 0 \) için:

\( f'(x) = 2x - 2 \)

\( = 2(x - 1) \)

\( f'(x) \) fonksiyonu \( x = 1 \) noktasının solunda kalan \( (0, 1) \) aralığında negatiftir, sağında kalan \( (1, \infty) \) aralığında pozitiftir, dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu iki aralıkta sırasıyla azalan ve artandır.

Azalan aralık: \( (-\infty, 0) \cup (0, 1) \)

Artan aralık: \( (1, \infty) \)

Bir fonksiyonun bir aralıkta azalan olabilmesi için fonksiyon değeri o aralıkta azalabilir ya da sabit kalabilir, ama artamaz.

Fonksiyon azalan ise \( P(b) \) değeri \( P(a) \) değerine eşit ya da ondan küçük olmalıdır. Buna göre I. öncül her zaman doğrudur.

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkta birinci türevi sıfır ya da negatif olur, dolayısıyla \( P'(a) \le 0 \) ve \( P'(b) \le 0 \) olduğunu söyleyebiliriz, ancak bu iki noktadaki birinci türev değerleri arasında bir karşılaştırma yapamayız.

Bir fonksiyon azalan olduğu bir aralıkta eğimi artıyor (\( P''(x) \gt 0 \)), azalıyor (\( P''(x) \lt 0 \)) ya da sabit kalıyor (\( P''(x) = 0 \)) olabilir. Bu yüzden bu iki noktadaki ikinci türev değerleri arasında bir karşılaştırma yapamayız.

Sadece I. öncül kesinlikle doğrudur.

\( h(t) \) fonksiyonu ağacın zamana bağlı olarak boyunu, \( h'(t) \) fonksiyonu ağacın boyunun anlık değişim hızını vermektedir.

Ağacın büyüme hızını bulmak için fonksiyonun türevini alalım.

\( h'(t) = -0,3t^2 + 6t \)

Büyüme hızı fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevin türevini alalım.

\( h''(t) = -0,6t + 6 \)

Ağacın büyüme hızı fonksiyonun ikinci türevinin pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.

\( h''(t) = -0,6t + 6 = 0 \)

\( t = 10 \)

Buna göre, \( h'' \) fonksiyonu \( t = 10 \) noktasının solunda kalan \( (0, 10) \) aralığında pozitif, sağında kalan \( (10, 20) \) aralığında negatiftir.

Dolayısıyla \( h' \) fonksiyonu yani ağacın büyüme hızı bu iki aralıkta sırasıyla artar ve azalır.

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artandır.

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = \sec{x}\tan{x} - \cot{x}\csc{x} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{1}{\cos{x}} \cdot \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} - \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \cdot \dfrac{1}{\sin{x}} \)

\( = \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}} - \dfrac{\cos{x}}{\sin^2{x}} \)

\( = \dfrac{\sin^3{x} - \cos^3{x}}{\cos^2{x}\sin^2{x}} \)

Küp farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = \dfrac{(\sin{x} - \cos{x})(\sin^2{x} + \sin{x}\cos{x} + \cos^2{x})}{\cos^2{x}\sin^2{x}} \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( = \dfrac{(\sin{x} - \cos{x})(1 + \sin{x}\cos{x})}{\cos^2{x}\sin^2{x}} \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = \dfrac{(\sin{x} - \cos{x})(1 + \frac{1}{2}\sin(2x))}{\cos^2{x}\sin^2{x}} \)

Paydadaki ifadeyi fonksiyonun tanım kümesi içinde her zaman pozitiftir.

Paydaki ifadeyi inceleyelim.

Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer aldığı için paydaki ikinci çarpan her zaman pozitiftir.

Dolayısıyla paydaki birinci çarpan pozitif olduğunda birinci türev pozitif olur.

\( \sin{x} - \cos{x} \gt 0 \)

Sinüs ve kosinüs grafiklerini düşündüğümüzde sinüs değeri kosinüs değerinden \( (0, 2\pi) \) aralığında aşağıdaki aralıkta daha büyüktür.

\( x \in \left( \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4} \right) \)

Bu aralıkta fonksiyonun tanımsız olduğu değerleri çıkardığımızda \( f \) fonksiyonunun artan olduğu aralık aşağıdaki gibi bulunur.

\( x \in \left( \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4} \right) - \left\{ \dfrac{\pi}{2}, \pi \right\} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( f(x) = \abs{(x + 5)(x + 1)} \)

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.

Fonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( (x + 5)(x + 1) \) ifadesi \( -5 \lt x \lt -1 \) aralığında negatif olduğu için mutlak değerden negatif işaretli, diğer aralıklarda sıfır ya da pozitif olduğu için olduğu gibi çıkar.

\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 6x + 5 & x \le -5 \\ -x^2 - 6x - 5 & -5 \lt x \lt -1 \\ x^2 + 6x + 5 & x \ge -1 \end{cases} \)

Parçalı fonksiyonun birinci türevini alalım.

Fonksiyonun \( x = -5 \) noktasındaki türevlenebilirliğini inceleyelim.

Önce bu noktadaki sürekliliği kontrol edelim.

\( \lim\limits_{x \to -5^-} f(x) = \lim\limits_{x \to -5^-} (x^2 + 6x + 5) \)

\( = (-5)^2 + 6(-5) + 5 = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to -5^+} f(x) = \lim\limits_{x \to -5^+} (-x^2 - 6x - 5) \)

\( = -(-5)^2 - 6(-5) - 5 = 0 \)

\( f(-5) = (-5)^2 + 6(-5) + 5 = 0 \)

\( x = -5 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitler ve bu noktadaki fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşit olduğu için fonksiyon bu noktada süreklidir.

Sürekliliğini gösterdiğimiz bu noktadaki türevlenebilirliği kontrol edelim.

\( x = -5 \) noktasındaki soldan türev:

\( f'(x) = 2x + 6 \)

\( f'(-5^-) = 2(-5) + 6 = -4 \)

\( x = -5 \) noktasındaki sağdan türev:

\( f'(x) = -2x - 6 \)

\( f'(-5^+) = -2(-5) - 6 = 4 \)

\( x = -5 \) noktasındaki soldan ve sağdan türevler tanımlı olsa da birbirine eşit olmadığı için fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.

Fonksiyonun \( x = -1 \) noktasındaki türevlenebilirliğini inceleyelim.

Önce bu noktadaki sürekliliği kontrol edelim.

\( \lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^-} (-x^2 - 6x - 5) \)

\( = -(-1)^2 - 6(-1) - 5 = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^+} (x^2 + 6x + 5) \)

\( = (-1)^2 + 6(-1) + 5 = 0 \)

\( f(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 5 = 0 \)

\( x = -1 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitler ve bu noktadaki fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşit olduğu için fonksiyon bu noktada süreklidir.

Sürekliliğini gösterdiğimiz bu noktadaki türevlenebilirliği kontrol edelim.

\( x = -1 \) noktasındaki soldan türev:

\( f'(x) = -2x - 6 \)

\( f'(1^-) = -2(-1) - 6 = -4 \)

\( x = -1 \) noktasındaki sağdan türev:

\( f'(x) = 2x + 6 \)

\( f'(1^+) = 2(-1) + 6 = 4 \)

\( x = -1 \) noktasındaki soldan ve sağdan türevler tanımlı olsa da birbirine eşit olmadığı için fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.

\( f'(x) = \begin{cases} 2x + 6 & x \lt -5 \\ \text{Tanımsız} & x = -5 \\ -2x - 6 & -5 \lt x \lt -1 \\ \text{Tanımsız} & x = -1 \\ 2x + 6 & x \gt -1 \end{cases} \)

Türev fonksiyonunun işaretini inceleyelim.

\( x \lt -5 \) için:

\( f'(x) = 2x + 6 \)

\( f' \) fonksiyonu \( x = -3 \) noktasının solunda kalan \( (-\infty, -5) \) aralığında negatiftir. Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu aralıkta azalandır.

\( -5 \lt x \lt -1 \) için:

\( f'(x) = -2x - 6 \)

\( f' \) fonksiyonu \( x = -3 \) noktasının solunda kalan \( (-5, -3) \) aralığında pozitiftir, sağında kalan \( (-3, -1) \) aralığında negatiftir. Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu iki aralıkta sırasıyla artan ve azalandır.

\( x \gt -1 \) için:

\( f'(x) = 2x + 6 \)

\( f' \) fonksiyonu \( x = -3 \) noktasının sağında kalan \( (-1, \infty) \) aralığında pozitiftir. Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu aralıkta artandır.

Azalan aralık: \( (-\infty, -5) \cup (-3, -1) \)

Artan aralık: \( (-5, -3) \cup (-1, \infty) \)

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.

\( f(\abs{x}) \) fonksiyonunu bulmak için \( f(x) \) tanımında \( x \) yerine \( \abs{x} \) yazalım.

\( f(\abs{x}) = 4\abs{x} - 2\abs{x}^2 \)

\( = 4\abs{x} - 2x^2 \)

Fonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( f(x) = \begin{cases} -4x - 2x^2 & x \lt 0 \\ 4x - 2x^2 & x \ge 0 \end{cases} \)

Parçalı fonksiyonun birinci türevini alalım.

Fonksiyonun \( x = 0 \) noktasındaki türevlenebilirliğini inceleyelim.

Önce bu noktadaki sürekliliği kontrol edelim.

\( \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (-4x - 2x^2) \)

\( = -4(0) - 2(0)^2 = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (4x - 2x^2) \)

\( = 4(0) - 2(0)^2 = 0 \)

\( f(0) = 4(0) - 2(0)^2 = 0 \)

\( x = 0 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitler ve bu noktadaki fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşit olduğu için fonksiyon bu noktada süreklidir.

Sürekliliğini gösterdiğimiz bu noktadaki türevlenebilirliği kontrol edelim.

\( x = 0 \) noktasındaki soldan türev:

\( f'(x) = -4 - 4x \)

\( f'(0^-) = -4 - 4(0) = -4 \)

\( x = 0 \) noktasındaki sağdan türev:

\( f'(x) = 4 - 4x^2 \)

\( f'(0^+) = 4 - 4(0)^2 = 4 \)

\( x = 0 \) noktasındaki soldan ve sağdan türevler tanımlı olsa da birbirine eşit olmadığı için fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.

\( f'(\abs{x}) = \begin{cases} -4 - 4x^2 & x \lt 0 \\ \text{Tanımsız} & x = 0 \\ 4 - 4x^2 & x \gt 0 \end{cases} \)

Türev fonksiyonunun işaretini inceleyelim.

\( x \lt 0 \) için:

\( f'(x) = -4 - 4x \)

\( f' \) fonksiyonu \( x = -1 \) noktasının sağında kalan \( (-1, 0) \) aralığında negatif, solunda kalan \( (-\infty, -1) \) aralığında pozitiftir. Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu iki aralıkta sırasıyla azalan ve artandır.

\( x \gt 0 \) için:

\( f'(x) = 4 - 4x \)

\( f' \) fonksiyonu \( x = 1 \) noktasının sağında kalan \( (1, \infty) \) aralığında negatif, solunda kalan \( (0, 1) \) aralığında pozitiftir. Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu iki aralıkta sırasıyla azalan ve artandır.

Azalan aralık: \( (-1, 0) \cup (1, \infty) \)

Artan aralık: \( (-\infty, -1) \cup (0, 1) \)

Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi bir polinom fonksiyonu şeklinde tanımlayalım.

\( f(x) = x^9 + x^7 + x^5 + 1 \)

Buna göre \( f \) fonksiyonunun grafiğinin \( x \) eksenini kaç noktada kestiği sorulmaktadır.

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 9x^8 + 7x^6 + 5x^4 \)

Türev fonksiyonundaki terimlerin tümü çift dereceli olduğu için türev hiçbir zaman negatif değer almaz, dolayısıyla \( f \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artandır.

Tek dereceli polinom fonksiyonlarının en az bir reel kökü vardır. Tüm reel sayılarda artan olan fonksiyon bu kök değerinden sonra ikinci bir kök için azalan olamayacağı için fonksiyonun tek bir reel sayı kökü vardır.

Bir fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanımlı olması için fonksiyon birebir olmalıdır.

Bir fonksiyonun birebir olması için grafiği kesin artan ya da kesin azalan olmalıdır, aksi takdirde fonksiyon belirli bir \( y \) değerini birden fazla \( x \) değerinde alır.

Verilen fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = \cos{x} + k \)

Fonksiyonun kesin artan olması için birinci türevi tüm reel sayılarda pozitif, kesin azalan olması için tüm reel sayılarda negatif olmalıdır.

Durum 1: Kesin artan

\( f'(x) = \cos{x} + k \gt 0 \)

Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alır.

Bu eşitsizliğin her \( x \) değeri için sağlanması için \( k \gt 1 \) olmalıdır.

Durum 2: Kesin azalan

\( f'(x) = \cos{x} + k \lt 0 \)

Bu eşitsizliğin her \( x \) değeri için sağlanması için \( k \lt -1 \) olmalıdır.

Bu iki durumdan birinin sağlandığı durumda fonksiyon birebir olacağı için \( k \) değer aralığı bulduğumuz iki aralığın birleşim kümesi olur.

\( k \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \)