Artan ve Azalan Aralıkların Bulunması

Bir fonksiyonun birinci türevi bir noktadaki anlık değişim oranını verdiği için, birinci türevin (teğet doğrunun eğiminin) işareti de fonksiyonun bir aralıkta artan, azalan ya da sabit olması ile ilgili bilgi verir.

Aşağıdaki grafikte bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıklar ve birinci türevi arasındaki ilişki gösterilmiştir. Şekilde ana fonksiyonun grafiği üzerindeki \( + \) ve \( - \) işaretleri fonksiyonun değerinin değil, eğiminin işaretini göstermektedir.

Artan ve azalan aralıklar
Artan ve azalan aralıklar

Buna göre ana fonksiyonun artan olduğu aralıklarda (yeşil zemin rengi) birinci türev pozitif, azalan olduğu aralıklarda (mavi zemin rengi) birinci türev negatif değer almaktadır. Ana fonksiyonun durağan olduğu \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) noktalarında ise birinci türev sıfır olmaktadır.

Dolayısıyla, bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevin pozitif olduğu, azalan olduğu aralıkları bulmak için de negatif olduğu değer aralıkları bulunur.

SORU 1:

Aşağıdaki fonksiyonların artan olduğu aralıkları bulunuz.

(1) \( f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 6 \)

(2) \( g(x) = 2x^3 - 6x + 4 \)

(3) \( h(x) = -x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 30x - 8 \)

Çözümü Göster
SORU 2:

Aşağıdaki fonksiyonların azalan olduğu aralıkları bulunuz.

(1) \( f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 10 \)

(2) \( g(x) = 2 - 5x^2 - 10x^3 \)

(3) \( h(x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x \)

Çözümü Göster
SORU 3:
Soru (artan/azalan fonksiyon)

Yukarıda \( f'(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre \( f \) fonksiyonu hangi aralık ya da aralıklarda artandır?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( f: \mathbb{R} - \{a\} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = \dfrac{x + 8}{x - a} \) fonksiyonu daima artan olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 12x + 6 \) fonksiyonunun azalan olduğu aralık nedir?

Çözümü Göster
SORU 6:

\( f(x) = 2x^3 - 12x^2 - 30x + 11 \)

\( g(x) = 4x^2 - 24x + 17 \)

Yukarıdaki fonksiyonlardan birinin artarken diğerinin azaldığı aralıklar nedir?

Çözümü Göster
SORU 7:

\( P(x) \) polinom fonksiyonunun tüm reel sayılarda azalan olduğu biliniyor.

\( a \lt b \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle doğrudur?

I. \( P(a) \ge P(b) \)

II. \( P'(a) \ge P'(b) \)

III. \( P''(a) \ge P''(b) \)

Çözümü Göster
SORU 8:

\( x^9 + x^7 + x^5 + 1 = 0 \) denkleminin kaç reel kökü vardır?

Çözümü Göster
SORU 9:

\( f(x) = \sin{x} + kx \) fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için \( k \) değer aralığı ne olmalıdır?

Çözümü Göster

« Önceki
Teğet ve Normal Doğru Uygulamaları
Sonraki »
Yerel Minimum ve Maksimum Noktaların Bulunması


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır