Artan ve Azalan Aralıkların Bulunması

Türevin fonksiyon grafikleri üzerindeki uygulamalarından biri grafiğin sabit/artan/azalan olduğu aralıkların bulunmasıdır.

Bir fonksiyonun bir noktadaki birinci türevinin değerinin o noktadaki anlık değişim oranı ve fonksiyona o noktadaki teğet doğrunun eğimini vereceğini biliyoruz. Dolayısıyla, bir fonksiyonun bir aralıktaki türev değeri bize fonksiyonun o aralıkta artan ya da azalan olması ile ilgili de bilgi vermektedir.

Bir önceki bölümde gördüğümüz aşağıdaki grafiği burada da örnek olarak kullanabiliriz.

Grafikte görebileceğimiz gibi, birinci türevin pozitif olduğu (\( x \) ekseninin üstünde kaldığı) aralıklarda ana fonksiyon artmakta, negatif değere sahip olduğu (\( x \) ekseninin altında kaldığı) aralıklarda azalmakta, sıfır olduğu (\( x \) eksenini kestiği) noktalarda yerel minimum/maksimum değerler almaktadır.

Dolayısıyla, bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin pozitif olduğu aralıkları, azalan olduğu aralıkları bulmak için de negatif olduğu aralıkları bulacak şekilde birinci türev denklemini çözmemiz gerekir.

SORU:

Yukarıda \( f'(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre \( f \) fonksiyonu hangi aralık ya da aralıklarda artandır?

Çözümü Göster

Bir fonksiyonun artan olduğu aralıklarda türevi pozitif, azalan olduğu aralıklarda türevi negatiftir.

Verilen türev grafiği \( (-7, -2) \) ve \( (6, +\infty) \) aralıklarında pozitif değer alır, dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu aralıklarda artandır.

Fonksiyonun türevi \( x = -7 \), \( x = -2 \) ve \( x = 6 \) noktalarında sıfırdır ve bu noktalarda artan ya da azalan değil durağandır, dolayısıyla bu noktalar fonksiyonun artan olduğu aralıklara dahil edilmez.