Durağan ve Kritik Noktalar
Bir fonksiyon grafiğinde incelenmesi gereken önemli noktalardan ikisi durağan ve kritik noktalardır.
Durağan Noktalar
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.
\( f'(a) = 0 \) ise,
\( x = a \) noktası \( f \) fonksiyonunun bir durağan noktasıdır.
İki tip durağan nokta vardır:
- Türevlenebilir ekstremum noktalar (şekildeki \( A \) ve \( B \) noktaları): Bu noktalarda fonksiyonun grafiğinde bir yerel minimum ya da maksimum oluşur, fonksiyonun artış/azalış yönü değişir ve fonksiyonun birinci türevi (eğimi) işaret değiştirir.
- Yatay (durağan) büküm noktası (şekildeki \( C \) noktası): Bu noktalarda fonksiyonun grafiğinde bir yerel minimum ya da maksimum oluşmaz, fonksiyonun artış/azalış yönü ve birinci türevinin işareti değişmez.
\( f(x) = 4x^3 + 6mx^2 + 3x + 7 \) fonksiyonunun durağan noktasının olmaması için \( m \) değer aralığı ne olmalıdır?
Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalar fonksiyonun durağan noktalarıdır.
Bir fonksiyonun durağan noktasının olmaması için fonksiyonun türevini sıfır yapan bir reel sayı \( x \) değeri bulunmamalıdır.
\( f'(x) = 12x^2 + 12mx + 3 \)
Bu ikinci dereceden fonksiyonun sıfır değerini almaması için grafiği \( x \) eksenini kesmemelidir, dolayısıyla deltası sıfırdan küçük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)
\( (12m)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 3 \lt 0 \)
\( 144(m - 1)(m + 1) \lt 0 \)
\( -1 \lt m \lt 1 \) bulunur.
Kritik Noktalar
Bir fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevi sıfır ya da tanımsız olan noktalara kritik nokta denir. Bu tanıma göre her durağan nokta aynı zamanda bir kritik noktadır, ancak her kritik nokta bir durağan nokta değildir.
\( f(a) \) tanımlı ve
\( f'(a) = 0 \) ya da \( f'(a) \) tanımsız ise,
\( x = a \) noktası \( f \) fonksiyonunun bir kritik noktasıdır.
Yukarıdaki şekilde farklı tipteki kritik noktalar gösterilmiştir.
- \( A \) ve \( B \) noktaları birinci türevleri sıfır olduğu için birer kritik (ve aynı zamanda durağan) noktadır.
- \( C \) noktası bu noktadaki teğet doğrunun dikey olmasından dolayı bu noktada birinci türev tanımsız olduğu için bir kritik noktadır.
- \( D \) noktası soldan ve sağdan türevlerin birbirine eşit olmamasından dolayı bu noktada birinci türev tanımsız olduğu için bir kritik noktadır.