Maksimum - Minimum Problemleri

Maksimum - minimum (optimizasyon) problemleri pek çok olası seçenek içinde belirli kriterlere uygun en iyi çözümü bulmaya çalıştığımız problemlerdir. Bu "en iyi çözüm" bazı problemlerde fonksiyonun alabileceği en büyük, bazılarında ise en küçük değeri olabilmektedir.

Maksimum - minimum problemlerinde uygulayabileceğimiz yöntem aşağıdaki gibidir.

  • En büyük ya da en küçük değerini bulmak istediğimiz değişkeni ve bu değişkenin bağlı olduğu diğer değişkenleri belirleriz.
  • Bu değişkenler arasındaki ilişkiyi tanımlayan fonksiyonu yazarız ve problemin amacının bu fonksiyonun en küçük değerini mi en büyük değerini mi bulmak olduğunu tanımlarız.
  • Değişkenler arasındaki ilişkileri ve soruda verilen kısıtlamaları tanımlarız ve bu değişkenleri birbiri cinsiden yazarak fonksiyonu tek bir değişkene bağlı olacak şekilde \( y = f(x) \) formuna getiririz.
  • Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını belirleyip fonksiyonun tanım ve değer kümelerini tanımlarız. Bu aralıkların sınır değerlerinin tanım kümesine dahil olup olmadığı bu aşamada önem taşımaktadır.
  • Fonksiyonun birinci türevini alarak sıfıra eşitleriz. Bu denklemin kökleri bize ana fonksiyonun yerel minimum ve maksimum noktalarını (dolayısıyla en küçük ve en büyük değerlerini) verir.
  • Elde ettiğimiz köklerden tanım aralığının dışında kalan değerleri çözümün dışında bırakırız.
  • Tanım aralığı içinde kalan köklerden hangilerinin (soru tipine göre) yerel minimum ya da maksimum noktası olduğunu ek türev testleri ile belirleriz.
  • Eğer tanım aralığı içinde bir yerel minimum ya da maksimum değer yoksa, tanım aralığının sınır değerlerinin minimum maksimum değerlerine bakarız.
SORU:
Optimizasyon problemi

Bir kenarında duvar örülü olan bir arsanın bir bölümü tel ile çevrilerek dikdörtgen şeklinde bir bahçe oluşturulmak isteniyor.

Toplam 300 m tel bulunduğuna ve duvar boyunca tel çekilmesine gerek olmadığına göre, oluşturulabilecek en büyük alanlı bahçe kaç m2 olur?

Çözümü Göster


SORU:
Optimizasyon problemi

Kenar uzunlukları 36 cm ve 96 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun köşelerinden kenarları \( a \) cm uzunluğunda kareler kesilip geriye kalan kartonun yan yüzleri katlanarak dikdörtgen prizma şeklinde üstü açık bir kutu yapılacaktır.

En büyük hacimli kutu oluşturulmak istendiğine göre \( a \) uzunluğu kaç cm olmalıdır?

Çözümü Göster


SORU:
Optimizasyon problemi

Yarıçapı 1 br olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik silindirin hacmi nedir?

Çözümü Göster


« Önceki
Yerel Minimum ve Maksimum Noktaların Bulunması
Sonraki »
Kısmi Türev


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır