Teğet Problemi

Önceki bölümde gördüğümüz üzere; bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranı fonksiyona o noktada çizilen teğet doğrunun eğimine eşittir, dolayısıyla bir noktadaki anlık değişim oranı için bu noktadaki teğet doğrunun eğimini bulmamız gerekmektedir.

Doğrunun eğimi formülünü kullanabilmek için doğrunun geçtiği iki noktanın bilinmesi gerekir. \( d \) doğrusu için sadece \( A \) noktası bilindiği için farklı bir yönteme ihtiyaç duyulacaktır.

\( A \) noktası dışında ikinci bir nokta olarak eğri üzerinde herhangi bir \( B_1 \) noktası seçtiğimizi ve \( [AB_1] \) kesen doğrusunun eğimini hesapladığımızı varsayalım. \( B_1 \) noktasını \( A \) noktasının uzağında seçersek bulacağımız eğim değeri \( d \) doğrusunun eğiminden oldukça farklı olacaktır. Bu ikinci noktayı sırayla \( B_2 \), \( B_3 \) ve \( B_4 \) noktaları olarak gitgide \( A \) noktasına yakın seçtiğimizde, elde edeceğimiz eğim değeri de \( d \) doğrusunun eğimine gitgide yaklaşacaktır.

Dolayısıyla \( d \) doğrusunun eğimine en yakın değeri bulabilmek için, ikinci \( B \) noktasını \( A \) noktasına gitgide yaklaştırarak kesen doğrunun eğimini hesaplamamız gerekir. "Gitgide yaklaşan" noktalardan bahsettiğimiz için de bu eğim denklemini bir limit ifadesi şeklinde yazabiliriz.

Yukarıdaki limit ifadesi \( x \) değeri \( a \)'ya yaklaşırken \( [AB] \) kesen doğrusunun eğimini verir ve bu değer \( x \) \( a \)'ya sınırsız yaklaştığında \( d \) doğrusunun eğimine, dolayısıyla \( A \) noktasındaki anlık değişim oranına eşit olur.