İlişkili Oranlar

Aralarında \( y = f(x) \) şeklinde bir ilişki bulunan \( y \) ve \( x \) değişkenlerinin ikisi de zamana bağlı değişim gösteriyorsa bu eşitliğin her iki tarafının zamana göre türevini alarak değişkenlerin anlık değişim oranları arasındaki ilişkiyi bulabiliriz.

Bu eşitlikteki \( \frac{dy}{dt} \) ifadesi \( y \) değişkeninin zamana bağlı anlık değişim oranını, \( \frac{dx}{dt} \) ifadesi de \( x \) değişkeninin zamana bağlı anlık değişim oranını ifade eder.

İlişkili oran problemlerinin çözümünde aşağıdaki gibi bir yöntem izleyebiliriz:

  • Öncelikle değişkenler arasındaki ilişkiyi bir denklem şeklinde ifade etmemiz gerekir.
  • Bu denklemin iki tarafının zamana bağlı türevini aldığımızda değişkenlerin anlık değişim oranları arasındaki denklemsel ilişkiyi elde etmiş oluruz.
  • Bu denklemde değişkenlerin bir ya da birkaçındaki anlık değişim oranlarını yerine koyarak diğer bir değişkenin anlık değişim oranını hesaplayabiliriz.

SORU:

Yarıçapı sabit bir hızla dakikada 3 cm büyüyen küre şeklinde bir balon düşünelim. Bu balonun yarıçapı 10 cm olduğu andaki aşağıdaki iki değişkenin anlık değişim oranlarını (büyüme hızlarını) hesaplayalım.

  • Balonun alanı
  • Balonun hacmi

Çözümü Göster


SORU:

Bir dikdörtgenin genişliği dakikada 5 cm artmakta, yüksekliği dakikada 2 cm azalmaktadır. Bu dikdörtgenin genişliği 20 cm, yüksekliği 10 cm olduğu andaki aşağıdaki iki değişkenin anlık değişim oranlarını hesaplayalım.

  • Dikdörtgenin çevresi
  • Dikdörtgenin alanı

Çözümü Göster


SORU:
İlişkili oranlar

Bir üçgenin iki kenarının uzunluğu 5 cm ve 8 cm'dir. Bu iki kenar arasındaki açı saniyede \( 2° \) hızla artırılmaktadır.

Kenarlar arasındaki açı \( 60° \) olduğu andaki üçüncü (karşı) kenarın uzunluğunun artış hızı kaç cm/sn olur?

Çözümü Göster


SORU:
İlişkili oranlar

Dakikada 1 km hızla giden bir araç doğu istikametinde, dakikada 2 km hızla giden ikinci bir araç da kuzey istikametinde sabit hızla ilerlemektedir. Birinci araç \( A \) noktasından saat tam 12:04'te ikinci araç ise aynı noktadan 2 dk sonra geçmiştir.

Araçlar saat 12:10 itibariyle sırasıyla \( C \) ve \( B \) noktalarında olduklarına göre, bu an itibariyle aralarındaki mesafenin artış hızı nedir?

Çözümü Göster


« Önceki
Kapalı Fonksiyonların Türevi
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır