Anlık Değişim Oranı

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim oranı faydalı bir bilgi olsa da fonksiyonun belirli bir noktadaki davranışını açıklamaz. Örneğin bir otomobilin iki şehir arasındaki ortalama hızını 90 km/s olarak hesaplayabiliriz, ancak araç tüm yolu sabit bir hızla mı gitti yoksa yolun farklı bölümlerinde hızlanıp yavaşladı mı bilemeyiz. Bu sebeple ortalama değişim oranına ek olarak herhangi bir andaki değişim oranı da ihtiyaç duyacağımız bir veri olarak karşımıza çıkmaktadır. Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim oranına o noktadaki anlık değişim oranı denir.

Bir doğrunun sabit değişim hızını bulmak için o doğrunun eğimini hesapladığımız gibi, bir fonksiyonun belirli bir noktasındaki anlık değişim oranını bulmak için fonksiyona o noktada teğet olan doğrunun eğimini bulmamız gerekir. Örneğin aşağıdaki şekildeki fonksiyonun \( A \) noktasındaki anlık değişim oranı fonksiyona o noktada teğet olan \( d \) doğrusunun eğimine eşittir.

Anlık değişim oranı
Anlık değişim oranı

Şu ana kadar eğimi iki nokta kullanarak hesapladık, ancak burada anlık değişim oranı için elimizde tek bir \( A \) noktası olduğunu görüyoruz. İkinci bir nokta olarak ilk önce eğri üzerinde \( B_1 \) noktasını seçerek \( [AB_1] \) doğru parçasının eğimini hesaplamaya çalışabiliriz. \( B_1 \) noktasını \( A \) noktasının uzağında seçersek bulacağımız eğim değeri \( d \) doğrusunun eğiminden oldukça farklı olacaktır. Bu ikinci noktayı \( B_2 \), \( B_3 \) ve \( B_4 \) noktaları olacak şekilde gitgide \( A \) noktasına daha yakın bir nokta olarak seçersek elde edeceğimiz eğim değeri de \( d \) doğrusunun eğimine gitgide yaklaşacaktır.

İki nokta ile anlık değişim oranı hesaplama
İki nokta ile anlık değişim oranı hesaplama

Dolayısıyla bir fonksiyonun \( A \) noktasındaki anlık değişim oranını bulmak için \( A \) noktasına gitgide yaklaşan noktalar seçerek bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının eğimini hesaplamamız gerekir. "Gitgide yaklaşan" noktalardan bahsettiğimiz için de bu eğim denklemini bir limit ifadesi olarak yazabiliriz.

Anlık değişim oranının limit tanımı
Anlık değişim oranının limit tanımı

Yukarıdaki limit ifadesi \( x \) noktası \( a \) noktasına yaklaşırken \( A \) noktasına teğet olan doğrunun eğimini vermektedir ki bu değer fonksiyonun \( A \) noktasındaki anlık değişim oranına eşittir.

SORU:

Bir hareketlinin konum (km) - zaman (saat) fonksiyonu \( x(t) = 4t^2 \) ile ifade edilmektedir.

Buna göre, bu hareketlinin \( t = 2 \) anındaki hızı saatte kaç km'dir?

Çözümü Göster


SORU:

Anlık değişim hızı her noktasında 0 olan bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = 5 \) için değerinin 10 olduğu biliniyor.

Buna göre \( f(22) - f(8) \) kaçtır?

Çözümü Göster


« Önceki
Ortalama Değişim Oranı
Sonraki »
Türevin Tanımı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır