Süreklilik Tanımı
Sürekliliği en pratik şekilde bir fonksiyonun grafiğini tanımlı olduğu bir \( x = a \) noktasından geçerken kalemi kaldırmadan çizebilmemiz şeklinde tanımlayabiliriz. Bir diğer ifadeyle, bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir noktadaki değeri anlık bir değişim (sıçrama) içermiyorsa fonksiyon bu noktada süreklidir, aksi durumda süreksizdir.
Bir fonksiyonun sürekliliğini belirli bir nokta, bir aralık ya da fonksiyonun tümü için inceleyebiliriz.
Süreklilik Tipleri
Bir Noktada Süreklilik
Bir \( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında sürekli olması için şu üç koşulun sağlanması gerekir.
- Fonksiyon o noktada tanımlı olmalıdır (\( f(a) \)).
- Fonksiyonun o noktada limiti var olmalıdır ((\( \lim_{x \to a} f(x) \)).
- Fonksiyonun o noktadaki limiti fonksiyon değerine eşit olmalıdır (\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a)) \).
Bu üç koşuldan herhangi birinin sağlanmaması durumunda \( f \) fonksiyonu bu noktada süreksiz olur.
\( f: A \to B \) ve \( a \in A \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \) ise,
\( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında süreklidir.
Aksi takdirde, \( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında süreksizdir.
Süreklilik tanımı ile ilgili vurgulamamız gereken önemli bazı noktalar şunlardır:
- Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olduğunu biliyorsak o noktada tanımlı olduğunu ve limitinin var olduğunu da biliyor oluruz.
- Bunun tersi doğru olmayabilir, yani bir fonksiyonun bir noktada tanımlı olması ya da limitinin var olması tek başına o noktada sürekli olması için yeterli değildir.
- Süreklilik fonksiyonların tanım kümesindeki noktalar için geçerli bir kavramdır, buna göre bir fonksiyonun tanımlı olmadığı bir noktadaki sürekliliğini incelememize gerek yoktur.
Soldan ve Sağdan Süreklilik
Bir noktanın soldan ve sağdan limitini tanımlayabildiğimiz gibi soldan ve sağdan sürekliliğini de tanımlayabiliriz.
Bir fonksiyonun \( x = a \) noktası için soldan limiti bu noktadaki fonksiyon değerine eşitse fonksiyon bu noktada soldan süreklidir.
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \) ise,
\( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında soldan süreklidir.
Aksi takdirde, \( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında soldan sürekli değildir.
Bir fonksiyonun \( x = a \) noktası için sağdan limiti bu noktadaki fonksiyon değerine eşitse fonksiyon bu noktada sağdan süreklidir.
\( \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \) ise,
\( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında sağdan süreklidir.
Aksi takdirde, \( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında sağdan sürekli değildir.
Aşağıda \( x = a \) noktasında soldan sürekli olan ama sağdan sürekli olmayan bir fonksiyonun grafiği verilmiştir.
\( \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) = b \)
\( \lim_{x \to a^+} f(x) \ne f(a) \)
Uç Noktalarda Süreklilik
Yukarıdaki tanıma göre, belirli bir aralıkta tanımlı olan bir fonksiyonun tanım kümesinin uç noktalarındaki süreklilik için bu noktalardaki soldan ve sağdan sürekliliğe bakmamız yeterlidir.
Buna göre \( [a, b] \) aralığında tanımlı aşağıdaki \( f \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında sürekli iken \( x = b \) noktasında süreksizdir.
\( \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \)
\( \lim_{x \to b^-} f(x) \ne f(b) \)
Bir Aralıkta Süreklilik
\( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) açık aralığındaki tüm noktalarda sürekli ise \( (a, b) \) aralığında süreklidir.
\( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) açık aralığındaki tüm noktalarda sürekli ise ve ayrıca \( a \) noktasında sağdan, \( b \) noktasında soldan sürekli ise \( [a, b] \) aralığında süreklidir.
\( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) açık aralığındaki tüm noktalarda sürekli ise ve ayrıca \( a \) noktasında sağdan sürekli ise \( [a, b) \) aralığında süreklidir.
Benzer şekilde, \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) açık aralığındaki tüm noktalarda sürekli ise ve ayrıca \( b \) noktasında soldan sürekli ise \( (a, b] \) aralığında süreklidir.
Bir Fonksiyonun Sürekliliği
Bir \( f \) fonksiyonu tanım kümesindeki tüm noktalarda sürekli ise sürekli bir fonksiyondur.
Tanımsız Noktalar
Matematikte karşımıza çıkan fonksiyonların önemli bir kısmı tüm reel ya da pozitif reel sayılarda tanımlıdır ve süreklidir. Bu fonksiyonlara örnek olarak sabit fonksiyonları, doğrusal fonksiyonları, kuvvet fonksiyonlarını, köklü fonksiyonları, polinom fonksiyonlarını, sinüs/kosinüs fonksiyonlarını, üstel fonksiyonları ve logaritma fonksiyonlarını verebiliriz.
Diğer bazı fonksiyonlar ise belirli noktalarda tanımsızdır. Bu fonksiyonlara örnek olarak tanjant/kotanjant fonksiyonlarını ve paydaları sıfır olabilen rasyonel fonksiyonları verebiliriz.
Örnek olarak tanjant fonksiyonunun tanımı ve grafiği aşağıdaki gibidir. Buna göre tanjant fonksiyonu \( \{ \ldots, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots \} \) noktalarında tanımsız, diğer tüm reel sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
\( f: \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \tan{x} \)
Tanjant fonksiyonunu süreklilik açısından incelediğimizde grafiğindeki tüm kopuklukların fonksiyonun tanımsız olduğu noktalarda gerçekleştiğini görürüz, bir diğer deyişle tanjant fonksiyonunun tanımlı olduğu tüm noktalarda sürekli olduğunu söyleyebiliriz. Bu yüzden her ne kadar fonksiyon grafiği kopukluklar içerse de tanjant fonksiyonunun tanım kümesi içinde sürekli bir fonksiyon olduğunu söyleyebiliriz.