Bileşke Fonksiyon
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarını \( f \)'nin girdi değerlerini \( g \)'nin çıktı değerleri ile eşleyerek tek bir fonksiyonda birleştiren fonksiyona bileşke fonksiyon denir ve \( g \circ f \) şeklinde gösterilir.
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesindeki bir elemanın \( g \circ f \) bileşke fonksiyonuna göre görüntüsü, elemanın \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsünün tekrar \( g \) fonksiyonuna göre alınan görüntüsüdür.
Buna göre bileşke fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( f(a) = 3, \quad g(3) = w \) ise,
\( (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(3) = w \)
Dikkat edilirse bileşke fonksiyonlarda fonksiyonların yazılış sırası işlem sırasının tersidir. \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunda \( x \) değerinin önce \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü bulunur, daha sonra elde edilen \( f(x) \) değerinin \( g \) fonksiyonuna göre görüntüsü bulunur.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) bileşke fonksiyonunda \( f \) fonksiyonuna "içteki fonksiyon", \( g \) fonksiyonuna "dıştaki fonksiyon" da denir.
Fonksiyon - Makine Benzetmesi
Daha önce yaptığımız fonksiyon - makine benzetmesini bileşke fonksiyona aşağıdaki şekildeki gibi uyarlayabiliriz.
Bu benzetmeyi kullanarak \( f \) fonksiyonunu bir çamaşır makinesi, \( g \) fonksiyonunu da bir kurutma makinesi olarak tanımlarsak \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunu yıkama ve kurutma fonksiyonlarını birleştiren tek bir makine olarak düşünebiliriz.
Bileşke Fonksiyonun Bulunması
Tanımları küme liste yöntemi ile verilmiş \( f \) ve \( g \) fonksiyonları arasındaki \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu, \( f \)'nin tanım kümesindeki her elemanın \( f \)'ye göre görüntülerinin tekrar \( g \)'ye göre görüntüleri alınarak bulunur.
\( f \): Bir sınıftaki öğrencilerin burçlarını veren fonksiyon
\( f = \) {(Ece, Boğa), (Eda, Yengeç), (Ela, Koç), (Efe, İkizler), ...}
\( g \): Burçların elementlerini veren fonksiyon
\( g = \) {(Koç, Ateş), (Boğa, Toprak), (İkizler, Hava), (Yengeç, Su), (Aslan, Ateş), ...}
\( g \circ f \): Öğrencilerin burçlarının elementlerini veren bileşke fonksiyon
\( g \circ f = \) {(Ece, Toprak), (Eda, Su), (Ela, Ateş), (Efe, Hava), ...}
\( (g \circ f)(\text{Eda}) = g(f(\text{Eda})) = g(\text{Yengeç}) = \text{Su} \)
Tanımları birer formül olarak verilmiş \( f \) ve \( g \) fonksiyonları arasındaki \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu aşağıdaki yöntemle bulunur.
- \( (g \circ f)(x) \) fonksiyonu \( g(f(x)) \) şeklinde yazılır.
- \( f(x) \) yerine temsil ettiği fonksiyon tanımı yazılır.
- \( g(x) \) fonksiyonunda her \( x \) yerine \( f(x) \) tanımı yazılır.
\( f(x) = 3x - 1 \)
\( g(x) = 2x^2 + 4x - 5 \) olmak üzere,
\( (g \circ f)(x) = g(\textcolor{red}{f(x)}) = g(\textcolor{red}{3x - 1}) \)
\( = 2(\textcolor{red}{3x - 1})^2 + 4(\textcolor{red}{3x - 1}) - 5 \)
\( f(x) = 4x \)
\( g(x) = x^2 \)
\( h(x) = \sqrt{3x} \)
fonksiyonları arasındaki tüm ikili bileşke fonksiyonları bulunuz.
Çözümü Göster\( f \circ g \) fonksiyonu:
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) \)
\( = 4x^2 \)
\( g \circ f \) fonksiyonu:
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(4x) \)
\( = (4x)^2 = 16x^2 \)
\( f \circ h \) fonksiyonu:
\( (f \circ h)(x) = f(h(x)) = f(\sqrt{3x}) \)
\( = 4\sqrt{3x} \)
\( h \circ f \) fonksiyonu:
\( (h \circ f)(x) = h(f(x)) = h(4x) \)
\( = \sqrt{3(4x)} = \sqrt{12x} \)
\( g \circ h \) fonksiyonu:
\( (g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\sqrt{3x}) \)
\( = (\sqrt{3x})^2 = 3x \)
\( h \circ g \) fonksiyonu:
\( (h \circ g)(x) = h(g(x)) = h(x^2) \)
\( = \sqrt{3x^2} = \sqrt{3}\abs{x} \)
\( f(-4) = 7, \quad g(-4) = -6 \)
\( f(3) = 1, \quad g(3) = 7 \)
\( f(7) = -2, \quad g(7) = 3 \)
olduğuna göre, \( (f \circ g)(3) + (g \circ f)(-4) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(3) + (g \circ f)(-4) = f(g(3)) + g(f(-4)) \)
\( = f(7) + g(7) \)
\( = -2 + 3 = 1 \) bulunur.
\( f(x) = 2x \)
\( g(x) = x^3 + 4\sqrt{x} - 2^x \)
olduğuna göre, \( (g \circ f)(2) \) kaçtır?
Çözümü GösterBu soruyu iki yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
\( (g \circ f)(2) = g(f(2)) \)
\( f(2) \) değerini bulmak için \( f \) fonksiyonunda \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2) = 2(2) = 4 \)
Bu değeri yukarıdaki ifadede yerine koyalım.
\( (g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(4) \)
\( g(4) \) değerini bulmak için \( g \) fonksiyonunda \( x = 4 \) yazalım.
\( g(4) = 4^3 + 4\sqrt{4} - 2^4 \)
\( = 64 + 8 - 16 = 56 \)
2. yöntem:
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = g(2x) \)
\( g \) fonksiyon tanımında her \( x \) yerine \( 2x \) yazalım.
\( = (2x)^3 + 4\sqrt{2x} - 2^{2x} \)
\( = 8x^3 + 4\sqrt{2x} - 2^{2x} \)
\( (g \circ f)(2) \) değerini bulmak için \( g \circ f \) fonksiyonunda \( x = 2 \) yazalım.
\( (g \circ f)(2) = 8(2)^3 + 4\sqrt{2(2)} - 2^{2(2)} \)
\( = 64 + 8 - 16 = 56 \)
Yukarıda \( f, g, h \) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
\( a = (f \circ g)(2) \)
\( b = (h \circ f)(1) \)
\( c = (g \circ f)(2) \)
\( d = (f \circ h)(0) \)
\( e = (h \circ g)(4) \)
olduğuna göre, \( a, b, c, d, e \) değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözümü GösterGrafiği inceleyerek istenen değerleri sırasıyla bulalım.
\( a = (f \circ g)(2) = f(g(2)) \)
\( = f(1) = 3 \)
\( b = (h \circ f)(1) = h(f(1)) \)
\( = h(3) = 4 \)
\( c = (g \circ f)(2) = g(f(2)) \)
\( = g(4) = 1 \)
\( d = (f \circ h)(0) = f(h(0)) \)
\( = f(1) = 3 \)
\( e = (h \circ g)(4) = h(g(4)) \)
\( = h(1) = 2 \)
Bulduğumuz değerleri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
\( c \lt e \lt a = d \lt b \)
Bileşke Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi
Tanım kümesi \( A \) olan bir \( f \) fonksiyonu ile tanım kümesi \( B \) olan bir \( g \) fonksiyonu arasında \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu tanımlayalım.
Bir \( x \) değerinin \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olabilmesi için değer aşağıdaki iki koşulu sağlamalıdır.
- \( A \) kümesinin elemanı olmalıdır (\( x \in A \)).
- \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır (\( f(x) \in B \)).
Yukarıdaki şekildeki \( A \) kümesinin yeşil ile işaretlenmiş üç elemanı \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini oluştururlar. \( B \) kümesinde kırmızı ile işaretli eleman birinci koşulu, \( A \) kümesinde kırmızı ile işaretli eleman da ikinci koşulu sağlamadığı için \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesine dahil olmazlar.
Buna göre \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesi her zaman \( f \) fonksiyonunun tanım kümesine eşittir ya da onun bir alt kümesidir.
\( f(x) = 3x + 1, \quad x \in (-\infty, 3] \)
\( g(x) = x^2 - 1, \quad x \in [1, \infty) \)
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesindeki elemanlar aşağıdaki iki koşulu sağlamalıdır.
(1) \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( x \le 3 \)
(2) \( f \) fonksiyonuna göre görüntüleri \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( f(x) \ge 1 \)
\( 3x + 1 \ge 1 \)
\( x \ge 0 \)
Bu iki aralığın kesişim kümesi \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( 0 \le x \le 3 \)
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 9}, \quad x \in [3, \infty) \)
\( g(x) = 5x + 3, \quad x \in (-\infty, 4) \)
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesindeki elemanlar aşağıdaki iki koşulu sağlamalıdır.
(1) \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( x \ge 3 \)
(2) \( f \) fonksiyonuna göre görüntüleri \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( f(x) \lt 4 \)
\( \sqrt{x^2 - 9} \lt 4 \)
\( x^2 - 9 \lt 16 \)
\( x^2 \lt 25 \)
\( -5 \lt x \lt 5 \)
Bu iki aralığın kesişim kümesi \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( 3 \le x \lt 5 \)
Bir bileşke fonksiyonun tanım kümesini bulduktan sonra görüntü kümesi tanım ve görüntü kümesi bölümünde "Görüntü Kümesinin Bulunması" başlığı altında bahsettiğimiz yöntemlerle bulunabilir.
Tanım kümesine benzer şekilde, \( g \circ f \) fonksiyonunun görüntü kümesi her zaman \( g \) fonksiyonunun görüntü kümesine eşittir ya da onun bir alt kümesidir.
Yukarıda tanım kümesini bulduğumuz bileşke fonksiyonun görüntü kümesini bulalım.
\( f \circ g \) bileşke fonksiyonunu ve tanım kümesini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( (f \circ g)(x) = 3x^2 - 2 \)
Tanım kümesi: \( 1 \le x \le 2 \)
Bu fonksiyon tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde olan bir paraboldür ve başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür.
Tepe noktası \( T(0, k) \) noktasında ve tanım aralığının dışında olduğu için fonksiyonun görüntü kümesi \( f(1) \) ve \( f(2) \) değer aralığı olur.
\( (f \circ g)(1) = 3(1)^2 - 2 = 1 \)
\( (f \circ g)(2) = 3(2)^2 - 2 = 10 \)
Buna göre bileşke fonksiyonun görüntü kümelesi aşağıdaki gibi olur.
Görüntü kümesi: \( 1\le (f \circ g)(x) \le 10 \)
Bileşke Fonksiyonun Grafiği
Bir bileşke fonksiyonun grafiği de bileşke fonksiyon tanımına uygun şekilde bileşeni olan fonksiyonların görüntülerinin bileşkesini verir.
\( f(x) = x - 3 \)
\( g(x) = 2x^2 + 4x \)
fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki gibidir.
Bu iki fonksiyonun bileşkesi olan \( g \circ f \) fonksiyonunun grafiği de aşağıdaki gibidir.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = 2x^2 - 8x + 6 \)
Bu grafikler üzerinde işaretli 4 nokta aşağıdaki tabloda verilmiştir. 2. ve 3. sütunlarda fonksiyonları ayrı ayrı kullanarak iki adımda elde edebildiğimiz görüntü değerlerini 4. sütunda bileşke fonksiyon grafiği ile tek adımda elde edebildiğimizi görebiliriz.
| \( x \) | \( f(x) \) | \( g(f(x)) \) | \( (g \circ f)(x) \) |
|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(0) = -3 \) | \( g(f(0)) = g(-3) = 6 \) | \( (g \circ f)(0) = 6 \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = -2 \) | \( g(f(1)) = g(-2) = 0 \) | \( (g \circ f)(1) = 0 \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = -1 \) | \( g(f(2)) = g(-1) = -2 \) | \( (g \circ f)(2) = -2 \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = 0 \) | \( g(f(3)) = g(0) = 0 \) | \( (g \circ f)(3) = 0 \) |
Üç Fonksiyonun Bileşkesi
Üç fonksiyon arasında bileşke işlemi aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.
\( (h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x))) \)
\( f = \{ (a, 3), (b, 1), (c, 2), (d, 4) \} \)
\( g = \{ (1, x), (2, z), (3, x), (4, w) \} \)
\( h = \{ (x, m), (y, m), (z, k), (w, n) \} \)
\( h \circ g \circ f = \{ (a, m), (b, m), (c, k), (d, n) \} \)
İki fonksiyonlu durumda olduğu gibi, bileşke fonksiyonlarda fonksiyonların yazılış sırası işlem sırasının tersidir. Dolayısıyla \( h \circ g \circ f \) şeklindeki bir bileşke fonksiyonda işlem sırası \( f \to g \to h \) şeklinde olur.
Fonksiyon - makine benzetmesini üç fonksiyonun bileşke fonksiyonuna aşağıdaki şekilde uyarlayabiliriz.
\( f(x) = x + 2 \)
\( g(x) = 3x + 1 \)
\( h(x) = x^2 - 1 \) olduğuna göre,
\( (f \circ g \circ h)(x) = 12 \) eşitliğini sağlayan \( x \) doğal sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) = 12 \)
Dıştan içe doğru fonksiyon değerlerini bulalım.
\( f \) fonksiyonunda görüntüsü 12 olan \( x \) değerini bulalım.
\( f(x) = x + 2 = 12 \Longrightarrow x = 10 \)
Buna göre \( g(h(x)) = 10 \) olur.
\( g \) fonksiyonunda görüntüsü 10 olan \( x \) değerini bulalım.
\( g(x) = 3x + 1 = 10 \Longrightarrow x = 3 \)
Buna göre \( h(x) = 3 \) olur.
\( h \) fonksiyonunda görüntüsü 3 olan \( x \) değerini bulalım.
\( h(x) = x^2 - 1 = 3 \Longrightarrow x = \pm 2 \)
Doğal sayı \( x \) değeri 2 olarak bulunur.
\( f(x) = 2x^2 \)
\( g(x) = 4^x \)
olduğuna göre, \( (f \circ f \circ f \circ g \circ g)(-1) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü GösterSorudaki ifadeyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (f \circ f \circ f \circ g \circ g)(-1) = f(f(f(g(g(-1))))) \)
Önce \( g(-1) \) değerini bulalım.
\( g(-1) = 4^{-1} = \dfrac{1}{4} \)
\( g(g(-1)) = g(\frac{1}{4}) \) değerini bulalım.
\( g(\frac{1}{4}) = 4^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \)
\( f(g(g(-1))) = f(\sqrt{2}) \) değerini bulalım.
\( f(\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2})^2 = 4 \)
\( f(f(g(g(-1)))) = f(4) \) değerini bulalım.
\( f(4) = 2(4)^2 = 32 \)
\( f(f(f(g(g(-1))))) = f(32) \) değerini bulalım.
\( f(32) = 2(32)^2 = 2048 \) bulunur.
\( f \) pozitif eğimli doğrusal bir fonksiyondur.
\( (f \circ f \circ f \circ f)(x) = 16x + 75 \) olduğuna göre, \( f(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) pozitif eğimli doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( m \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) = mx + c \)
\( (f \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (f \circ f)(x) = f(f(x)) \)
\( = m(mx + c) + c \)
\( = m^2x + mc + c \)
\( (f \circ f \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f)(f(x)) \)
\( = m^2(mx + c) + mc + c \)
\( = m^3x + m^2c + mc + c \)
\( (f \circ f \circ f \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (f \circ f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f \circ f)(f(x)) \)
\( = m^3(mx + c) + m^2c + mc + c \)
\( = m^4x + m^3c + m^2c + mc + c \)
Bu ifadeyi soruda verilen ifadeye eşitleyelim.
\( m^4x + m^3c + m^2c + mc + c = 16x + 75 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( 16 = m^4 \)
\( m \) pozitif olduğundan \( m = 2 \) olur.
\( m \) değerini yerine yazalım ve sabit terimlerin eşitliğinden \( c \) değerini bulalım.
\( m^3c + m^2c + mc + c = 75 \)
\( 8c + 4c + 2c + c = 75 \)
\( 15c = 75 \)
\( c = 5 \)
Buna göre \( f \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = mx + c = 2x + 5 \)
\( f(1) = 2(1) + 5 = 7 \) bulunur.
Parçalı Fonksiyonların Bileşkesi
\( m \) aralıktan oluşan bir parçalı fonksiyonla \( n \) aralıktan oluşan bir parçalı fonksiyonun bileşkesi \( m \cdot n \)'ye kadar aralıktan oluşabilir. Parçalı fonksiyonların bileşkesini bulurken bu aralıkların her birinin geçerli birer aralık olup olmadığı kontrol edilmelidir.
Parçalı fonksiyonun belirli bir aralığının geçerliliğini yukarıda bileşke fonksiyonların tanım kümesini bulma bölümünde kullandığımız iki koşul ile kontrol edebiliriz.
Bir örnek üzerinden parçalı fonksiyonların bileşke fonksiyonunu nasıl bulabileceğimizi gösterelim.
\( f(x) = \begin{cases} x + 4 & -3 \le x \lt -1 \\ -x + 3 & -1 \le x \le 5 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} -2x + 1 & -2 \le x \lt 0 \\ x - 1 & 0 \le x \le 3 \end{cases} \)
\( (g \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( g(x) \) fonksiyon tanımında \( x \) gördüğümüz yerlere \( f(x) \) yazalım.
\( g(f(x)) = \begin{cases} -2f(x) + 1 & -2 \le f(x) \lt 0 \\ f(x) - 1 & 0 \le f(x) \le 3 \end{cases} \)
\( f(x) \) de parçalı bir fonksiyon olduğu için \( g(f(x)) \) tanımındaki her aralık birden fazla \( f(x) \) aralığına karşılık gelebilir. Bu yüzden bu iki aralığın her birini iki \( f(x) \) aralığına bölelim, her aralık için bileşke fonksiyonu bulalım ve aralığın geçerli bir tanım aralığına sahip olup olmadığını kontrol edelim.
Kontrol edeceğimiz her aralıktaki \( x \) değerleri o aralıktaki \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin, \( f(x) \) değerleri de o aralıktaki \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
| \( f(x) \) | \( g(f(x)) \) | \( x \) Tanım Aralığı | \( f(x) \) Tanım Aralığı | Kesişim Kümesi |
|---|---|---|---|---|
|
\( x + 4 \) |
\( -2f(x) + 1 \) \( = -2(x + 4) + 1 \) \( = -2x - 7 \) |
\( \textcolor{red}{-3 \le x \lt -1} \) |
\( -2 \le f(x) \lt 0 \) \( -2 \le x + 4 \lt 0 \) \( \textcolor{red}{-6 \le x \lt -4} \) |
\( \textcolor{red}{\emptyset} \) |
|
\( x + 4 \) |
\( f(x) - 1 \) \( = (x + 4) - 1 \) \( = x + 3 \) |
\( \textcolor{red}{-3 \le x \lt -1} \) |
\( 0 \le f(x) \le 3 \) \( 0 \le x + 4 \le 3 \) \( \textcolor{red}{-4 \le x \le -1} \) |
\( \textcolor{red}{-3 \le x \lt -1} \) |
|
\( -x + 3 \) |
\( -2f(x) + 1 \) \( = -2(-x + 3) + 1 \) \( = 2x - 5 \) |
\( \textcolor{red}{-1 \le x \le 5} \) |
\( -2 \le f(x) \lt 0 \) \( -2 \le -x + 3 \lt 0 \) \( \textcolor{red}{3 \lt x \le 5} \) |
\( \textcolor{red}{3 \lt x \le 5} \) |
|
\( -x + 3 \) |
\( f(x) - 1 \) \( = (-x + 3) - 1 \) \( = -x + 2 \) |
\( \textcolor{red}{-1 \le x \le 5} \) |
\( 0 \le f(x) \le 3 \) \( 0 \le -x + 3 \le 3 \) \( \textcolor{red}{0 \le x \le 3} \) |
\( \textcolor{red}{0 \le x \le 3} \) |
Buna göre kontrol ettiğimiz dört aralıktan üçü geçerli birer aralıktır. Bu üç aralıktaki tanımlardan oluşan bileşke fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
\( g(f(x)) = \begin{cases} x + 3 & -3 \le x \lt -1 \\ -x + 2 & 0 \le x \le 3 \\ 2x - 5 & 3 \lt x \le 5 \end{cases} \)
Dikkat edilirse bileşke fonksiyonun \( -1 \le x \lt 0 \) aralığında bir tanımı bulunmamaktadır.
Bulduğumuz bileşke fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
Bileşke Fonksiyon İşlem Özellikleri
Bazı durumlarda aynı sonucu verebilse de, genel kural olarak bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. Makine benzetmesini kullanırsak çamaşırları önce yıkayıp sonra kurutmak ile önce kurutup sonra yıkamak farklı sonuçlar verecektir.
\( g \circ f \ne f \circ g \)
\( f(x) = x^2 - 3x \)
\( g(x) = 2x + 1 \) fonksiyonları veriliyor.
\( (f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x) \) olduğunu gösterelim.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) \)
\( = (2x + 1)^2 - 3(2x + 1) \)
\( = 4x^2 - 2x - 2 \)
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 - 3x) \)
\( = 2(x^2 - 3x) + 1 \)
\( = 2x^2 - 6x + 1 \)
Bulduğumuz iki bileşke fonksiyon birbirine eşit değildir.
\( (f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x) \)
Bileşke fonksiyon işleminin birleşme özelliği vardır. Buna göre bir bileşke işleminin yazılışında fonksiyonların sırasını değiştirmeden parantezlerin yerini değiştirerek işlemler herhangi bir sırada gerçekleştirilebilir.
\( (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f) = h \circ g \circ f \)
\( f(x) = 3x + 1 \)
\( g(x) = 2\sqrt{x + 2} \)
\( h(x) = x^2 - 2 \)
\( ((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x) \) olduğunu gösterelim.
İhtiyacımız olacak ikili bileşke fonksiyonları bulalım.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2\sqrt{x + 2}) \)
\( = 3(2\sqrt{x + 2}) + 1 = 6\sqrt{x + 2} + 1 \)
\( (g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(x^2 - 2) \)
\( = 2\sqrt{x^2 - 2 + 2} = 2x \)
Bu iki bileşke fonksiyonu eşitliğini göstereceğimiz ifadelerde yerlerine koyalım.
\( ((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) \)
\( = (f \circ g)(x^2 - 2) = 6\sqrt{x^2 - 2 + 2} + 1 \)
\( = 6x + 1 \)
\( (f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) \)
\( = f(2x) = 3(2x) + 1 \)
\( = 6x + 1 \)
Her iki durumda da \( 6x + 1 \) ifadesini elde etmiş olduk.
İSPATI GÖSTER
\( ((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ (g \circ f))(x) \) eşitliğini gösterelim.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) tanımını aşağıdaki adımlarda kullanalım.
\( ((h \circ g) \circ f)(x) \) ifadesi \( h \circ g \) ve \( f \) fonksiyonları arasında bileşke işlemidir.
\( ((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ g)(f(x)) \)
Bu işlem \( h \) ve \( g \) fonksiyonları arasında bileşke işlemidir.
\( = h(g(f(x))) \)
\( g(f(x)) \) ifadesi \( g \) ve \( f \) fonksiyonları arasında bileşke işlemidir.
\( = h((g \circ f)(x)) \)
\( h((g \circ f)(x)) \) ifadesi \( h \) ve \( g \circ f \) fonksiyonları arasında bileşke işlemidir.
\( = (h \circ (g \circ f))(x) \)
Birleşme özelliğini makine benzetmesine uyarlarsak üç makine sıraları aynı kalmak koşuluyla herhangi bir şekilde ikili ya da üçlü birleştirilebilir.
Bileşke işleminin etkisiz elemanı \( f(x) = x \) birim fonksiyonudur ve \( I \) ile gösterilir. Yukarıda kullandığımız çamaşır/kurutma makinesi benzetmesine çamaşırlara hiçbir işlem uygulamayan ve çamaşırların girdiği şekliyle çıktığı bir makine daha eklediğimizi varsayalım (\( h(x) = I = x \)). Çamaşırları böyle bir makineye çamaşır ya da kurutma makinesinden önce ya da sonra atmamızın işlem sonucuna bir etkisi olmayacaktır.
\( f \circ I = I \circ f = f \)
\( f \circ g \circ I = f \circ I \circ g = I \circ f \circ g = f \circ g \)
İSPATI GÖSTER
\( g(x) = I = x \)
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( g(x) = x \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( f(x) \) koyarsak \( f(x) \) elde ederiz.
\( = f(x) \)
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) = x \) koyarsak yine \( f(x) \) elde ederiz.
\( = f(x) \)
Her iki bileşke işleminde de sonuç olarak \( f(x) \) elde ederiz.
Bileşke Fonksiyonların Örten ve Birebir Olma Durumları
Aşağıda \( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları ve bileşkelerinin birebir ve örten olma durumları arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları birebir ise \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu da birebirdir.
Birebir fonksiyon tanımı kullanılarak bir \( f \) fonksiyonunun birebir olduğu aşağıdaki şekilde gösterilir.
- Tanım kümesinin elemanı olan herhangi iki \( x_1, x_2 \) elemanı seçilir.
- \( f(x_1) = f(x_2) \) olduğu varsayılır.
- \( x_1 = x_2 \) olduğu gösterilmeye çalışılır.
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları verilmiş olsun.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının birebir olduğunu varsayalım.
\( g \circ f \) fonksiyonunun birebir olduğunu göstermeye çalışalım.
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olan herhangi iki eleman seçelim.
\( x_1, x_2 \in A \)
\( (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) \) olduğunu varsayalım.
Bu eşitliği aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
\( g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \)
\( g \) fonksiyonu birebir olduğu için görüntüsü aynı olan iki elaman aynı eleman olmak zorundadır, dolayısıyla parantez içleri eşit olur.
\( f(x_1) = f(x_2) \)
Benzer şekilde \( f \) fonksiyonu da birebir olduğu için görüntüsü aynı olan iki elaman aynı eleman olmak zorundadır, dolayısıyla parantez içleri eşit olur.
\( x_1 = x_2 \)
Buna göre \( g \circ f \) fonksiyonu birebirdir.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları örten ise \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu da örtendir.
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları verilmiş olsun.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının örten olduğunu varsayalım.
\( g \circ f \) fonksiyonunun örten olduğunu göstermeye çalışalım.
\( g \) fonksiyonunun değer kümesinin elemanı olan herhangi bir eleman seçelim.
\( c \in C \)
\( g \) fonksiyonu örten olduğu için, görüntüsü \( c \) olan bir \( b \in B \) elemanı mutlaka vardır.
\( g(b) = c \)
\( f \) fonksiyonu örten olduğu için, görüntüsü \( b \) olan bir \( a \in A \) elemanı mutlaka vardır.
\( f(a) = b \)
Bu ikinci eşitlikteki \( b \) değerini birinci eşitlikte yerine koyalım.
\( g(f(a)) = c \)
\( (g \circ f)(a)) = c \)
Bu eşitlik, seçilecek her \( c \in C \) elemanı için \( g \circ f \) bileşke fonksiyonundaki görüntüsü \( c \) olan bir \( a \in A \) elemanının bulunduğunu gösterir.
Buna göre \( g \circ f \) fonksiyonu örtendir.
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonu birebir ise \( f \) fonksiyonu da birebirdir.
Birebir fonksiyon tanımı kullanılarak bir \( f \) fonksiyonunun birebir olduğu aşağıdaki şekilde gösterilir.
- Tanım kümesinin elemanı olan herhangi iki \( x_1, x_2 \) elemanı seçilir.
- \( f(x_1) = f(x_2) \) olduğu varsayılır.
- \( x_1 = x_2 \) olduğu gösterilmeye çalışılır.
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları verilmiş olsun.
\( g \circ f \) fonksiyonunun birebir olduğunu varsayalım.
\( f \) fonksiyonunun birebir olduğunu göstermeye çalışalım.
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olan herhangi iki eleman seçelim.
\( x_1, x_2 \in A \)
\( f(x_1) = f(x_2) \) olduğunu varsayalım.
Eşitliğin iki tarafının \( g \) fonksiyonu ile bileşkesini alalım.
\( g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \)
Bu eşitliği aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
\( (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) \)
\( g \circ f \) fonksiyonu birebir olduğu için görüntüsü aynı olan iki eleman aynı eleman olmak zorundadır, dolayısıyla parantez içleri eşit olur.
\( x_1 = x_2 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonu birebirdir.
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonu birebir ise \( g \) fonksiyonu birebir olabilir ya da olmayabilir. Aşağıda \( g \circ f \) birebir iken \( g \)'nin birebir olmadığı duruma bir örnek verilmiştir.
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonu örten ise \( g \) fonksiyonu da örtendir.
Örten fonksiyon tanımı kullanılarak bir \( f \) fonksiyonunun örten olduğu aşağıdaki şekilde gösterilir.
- Değer kümesinin elemanı olan herhangi bir \( b \) elemanı seçilir.
- \( f(a) = b \) fonksiyon tanımı kullanılarak \( b \) değerini üreten \( a \) değeri \( b \) cinsinden yazılır.
- Birinci olarak \( a \)'nın tanım kümesinin bir elemanı olduğu gösterilir (\( a \in A \)).
- İkinci olarak \( a \)'nın \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsünün \( b \) olduğu gösterilir (\( f(a) = b \)).
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları verilmiş olsun.
\( g \circ f \) fonksiyonunun örten olduğunu varsayalım.
\( g \) fonksiyonunun örten olduğunu göstermeye çalışalım.
\( g \) fonksiyonunun değer kümesinin elemanı olan herhangi bir eleman seçelim.
\( c \in C \)
\( g \circ f \) fonksiyonu örten olduğu için, görüntüsü \( c \) olan bir \( a \in A \) elemanı mutlaka vardır.
\( (g \circ f)(a) = c \)
Bu eşitliği aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
\( g(f(a)) = c \)
Bu eşitlik, seçilecek her \( c \in C \) elemanı için \( g \) fonksiyonundaki görüntüsü \( c \) olan bir \( f(a) \in B \) elemanının bulunduğunu gösterir.
Buna göre \( g \) fonksiyonu örtendir.
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonu örten ise \( f \) fonksiyonu örten olabilir ya da olmayabilir. Yukarıdaki şekil \( g \circ f \) örten iken \( f \) fonksiyonunun örten olmadığı duruma da bir örnektir.
\( f: \{ (1, a), (2, b), (3, c), (4, d) \} \)
\( g: \{ (a, 3), (b, 5), (c, 7), (d, 9) \} \) olduğuna göre,
\( (g \circ f)(4) + (g \circ f \circ g)(a) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSorudaki ifadeyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( g(f(4)) + g(f(g(a))) \)
Birinci terimin sonucunu bulalım.
\( f(4) = d \)
\( g(f(4)) = g(d) = 9 \)
İkinci terimin sonucunu bulalım.
\( g(a) = 3 \)
\( f(g(a)) = f(3) = c \)
\( g(f(g(a))) = g(c) = 7 \)
İşlemin sonucunu bulalım.
\( 9 + 7 = 16 \) bulunur.
\( f(x) = 4x + 5 \) ve \( (f \circ g)(2) = 17 \) olduğuna göre, \( g(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(2) = f(g(2)) = 17 \)
\( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(2) \) yazalım.
\( 4g(2) + 5 = 17 \)
\( g(2) = 3 \) bulunur.
\( f(x) = 2x + 5 \) ve \( (f \circ g)(x) = 6x - 7 \) olduğuna göre, \( g(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = 6x - 7 \)
\( f(g(x)) = 6x - 7 \)
\( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) \) yazalım.
\( 2g(x) + 5 = 6x - 7 \)
\( g(x) = 3x - 6 \) bulunur.
\( \mathbb{Q} \) rasyonel sayılar kümesi olmak üzere,
\( f(x)= \begin{cases} 3x - 2 & x \in \mathbb{Q} \\ x^2 - 1 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (f \circ f)(\frac{\sqrt{3}}{3}) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ f)(\frac{\sqrt{3}}{3}) = f(f(\frac{\sqrt{3}}{3})) \)
\( \frac{\sqrt{3}}{3} \) sayısı rasyonel olmadığı için parçalı fonksiyonun ikinci tanımı kullanılır.
\( f(\frac{\sqrt{3}}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 - 1 \)
\( = -\dfrac{2}{3} \)
\( f(f(\frac{\sqrt{3}}{3})) = f(-\frac{2}{3}) \)
\( -\frac{2}{3} \) sayısı rasyonel olduğu için parçalı fonksiyonun ilk tanımı kullanılır.
\( f(-\frac{2}{3}) = 3(-\frac{2}{3}) - 2 \)
\( = -4 \) bulunur.
\( f(x) = 2x - 5 \)
\( (f \circ g)(x) = 3g(x) + 2x - 2 \)
olduğuna göre, \( g(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = 3g(x) + 2x - 2 \)
\( f(g(x)) = 3g(x) + 2x - 2 \)
\( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) \) yazalım.
\( 2g(x) - 5 = 3g(x) + 2x - 2 \)
\( g(x) = -2x - 3 \)
\( g(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( g(2) = -2(2) - 3 = -7 \) bulunur.
\( f(x) = x^2 + 4 \)
\( g(x) = 3x + 2 \)
\( (f \circ g)(x) = 3(g \circ f)(x) - 2 \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = 3(g \circ f)(x) - 2 \)
\( f(g(x)) = 3g(f(x)) - 2 \)
\( f(3x + 2) = 3g(x^2 + 4) - 2 \)
\( (3x + 2)^2 + 4 = 3(3(x^2 + 4) + 2) - 2 \)
\( 9x^2 + 12x + 4 + 4 = 3(3x^2 + 12 + 2) - 2 \)
\( 9x^2 + 12x + 8 = 9x^2 + 40 \)
\( 12x = 32 \)
\( x = \dfrac{8}{3} \) bulunur.
\( f \) bir polinom fonksiyonudur.
\( (f \circ f)(x) = 9x + 4 \) olduğuna göre,
\( f(2) \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir.
Buna göre sabit bir polinom fonksiyonunun kendisiyle bileşkesinin derecesi sıfır, birinci dereceden bir polinom fonksiyonunun kendisiyle bileşkesinin derecesi 1, ikinci dereceden bir polinom fonksiyonunun kendisiyle bileşkesinin derecesi 4 olur.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun derecesi 1 olur.
\( f(x) = ax + b \)
\( (f \circ f)(x) = f(f(x)) = 9x + 4 \)
\( a(ax + b) + b = 9x + 4 \)
\( a^2x + ab + b = 9x + 4 \)
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( a^2 = 9 \)
\( a = 3 \) ya da \( a = -3 \)
\( ab + b = 4 \)
\( a = 3 \) için:
\( 3b + b = 4 \Longrightarrow b = 1 \)
\( a = -3 \) için:
\( -3b + b = 4 \Longrightarrow b = -2 \)
Buna göre \( (a, b) \) ikilisinin alabileceği değerler \( (3, 1) \) ve \( (-3, -2) \) olur.
Bu iki farklı fonksiyon tanımı için \( f(2) \) değerlerini bulalım.
\( f(x) = 3x + 1 \) için:
\( f(2) = 3(2) + 1 = 7 \)
\( f(x) = -3x - 2 \) için:
\( f(x) = -3(2) - 2 = -8 \)
\( f(2) \)'nin alabileceği değerler toplamı \( 7 + (-8) = -1 \) olarak bulunur.
\( (g \circ f)(x) = 3f^2(x) - f(x) + 5 \) olduğuna göre, \( g(4) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3f^2(x) - f(x) + 5 \)
Bu eşitlik \( (g \circ f)(x) \) fonksiyonunu bulmak için \( g(x) \) fonksiyonunda tüm \( x \) değişkenleri yerine \( f(x) \) yazılmış fonksiyondur, dolayısıyla \( f(x) \) gördüğümüz yere \( x \) yazarak \( g(x) \) tanımını bulabiliriz.
\( g(x) = 3x^2 - x + 5 \)
\( g(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.
\( g(4) = 3(4)^2 - 4 + 5 = 49 \) bulunur.
\( f(x) = x^3 + 6 \)
\( f(x + 4) = g(x - 2) \)
olduğuna göre, \( (f \circ g)(-7) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x + 4) \) fonksiyonunu elde etmek için \( f(x) \) fonksiyonu tanımında \( x \) yerine \( x + 4 \) yazalım.
\( f(x + 4) = (x + 4)^3 + 6 \)
\( f(x + 4) = g(x - 2) \) eşitliği veriliyor.
\( g(x - 2) = (x + 4)^3 + 6 \)
\( g(x) \) fonksiyonunu elde etmek için \( g(x - 2) \) fonksiyonu tanımında \( x \) yerine \( x + 2 \) yazalım.
\( g(x + 2 - 2) = (x + 2 + 4)^3 + 6 \)
\( g(x) = (x + 6)^3 + 6 \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( (f \circ g)(-7) = f(g(-7)) \)
\( g(-7) = (-7 + 6)^3 + 6 = 5 \)
\( (f \circ g)(-7) = f(g(-7)) = f(5) \)
\( = 5^3 + 6 = 131 \) bulunur.
\( f(x) = 2x - 2 \)
\( g(x) = 3x + 1 \) olduğuna göre,
\( (f \circ g)(a) = (\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_\text{25 tane})(2) \) eşitliğini sağlayan \( a \) değeri nedir?
Çözümü Göster\( f(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2 \)
\( f(2) = 2 \) olduğu için aynı işlem 25 kez yapıldığında da sonuç 2 olur.
\( f(2) = f(f(2)) = f(f(f(2))) = \ldots = 2 \)
\( (f \circ g)(a) = 2 \)
\( f(g(a)) = 2 \)
\( f \) fonksiyonunda görüntüsü 2 olan \( x \) değeri 2 olduğu için \( g(a) = 2 \) olur.
\( g(a) = 3a + 1 = 2 \)
\( a = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
\( f(x + 1) = 4x - 2 \)
\( g(x + a) = 6x + 3 \)
\( (f \circ g)(3) = 54 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunu bulmak için \( f(x + 1) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( x - 1 \) yazalım.
\( f((x - 1) + 1) = 4(x - 1) - 2 \)
\( f(x) = 4x - 6 \)
\( g(x) \) fonksiyonunu bulmak için \( g(x + a) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( x - a \) yazalım.
\( g((x - a) + a) = 6(x - a) + 3 \)
\( g(x) = 6x - 6a + 3 \)
\( f \circ g \) fonksiyonunu bulalım.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( = 4(6x - 6a + 3) - 6 \)
\( (f \circ g)(3) = 54 \)
\( 4(6(3) - 6a + 3) - 6 = 54 \)
\( a = 1 \) bulunur.
\( f(x) = 2x - 1 \) ve \( g(x) = ax + b \) fonksiyonları veriliyor.
\( (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) \) olduğuna göre, \( g(1) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyonların bileşkelerini bulalım.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( = 2g(x) - 1 = 2(ax + b) - 1 \)
\( = 2ax + 2b - 1 \)
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = af(x) + b = a(2x - 1) + b \)
\( = 2ax - a + b \)
İki bileşke fonksiyon birbirine eşit olarak veriliyor.
\( 2ax + 2b - 1 = 2ax - a + b \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimleri katsayıları birbirine eşittir.
\( 2b - 1 = -a + b \)
\( a + b = 1 \)
\( g(1) \) değerini bulalım.
\( g(1) = a(1) + b \)
\( = a + b = 1 \) bulunur.
\( f\left( \dfrac{3x + 1}{2x - 3} \right) = \dfrac{2x - 3}{3x + 1} + 2 \) olduğuna göre, \( f\left( \dfrac{1}{14} \right) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyonu düzenleyelim.
\( f\left( \dfrac{3x + 1}{2x - 3} \right) = \dfrac{1}{\frac{3x + 1}{2x - 3}} + 2 \)
\( \dfrac{3x + 1}{2x - 3} = g(x) \) diyelim.
\( f(g(x)) = \dfrac{1}{g(x)} + 2 \)
Bu fonksiyon \( f(x) \) fonksiyonunda tüm \( x \) değişkenleri yerine \( g(x) \) yazılmış \( f(g(x)) \) bileşke fonksiyonudur, dolayısıyla \( g(x) \) gördüğümüz yere \( x \) yazarak \( f(x) \) fonksiyon tanımını bulabiliriz.
\( f(x) = \dfrac{1}{x} + 2 \)
\( f\left( \dfrac{1}{14} \right) \) değerini bulalım.
\( f\left( \dfrac{1}{14} \right) = \dfrac{1}{\frac{1}{14}} + 2 \)
\( = 14 + 2 = 16 \) bulunur.
\( a \ne b \) olmak üzere,
\( f(x) = ax + b, \quad g(x) = bx + a \)
\( (f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = a - b \) olduğuna göre \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki fonksiyon arasındaki bileşke fonksiyonları bulalım.
\( (f \circ g)(x) = a(bx + a) + b = abx + a^2 + b \)
\( (g \circ f)(x) = b(ax + b) + a = abx + b^2 + a \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerlerine yazalım.
\( (abx + a^2 + b) - (abx + b^2 + a) = a - b \)
\( a^2 - b^2 + 2b - 2a = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (a - b)(a + b) - 2(a - b) = 0 \)
\( (a - b)(a + b - 2) = 0 \)
\( a \) ve \( b \) farklı sayılar oldukları için \( a - b = 0 \) denklemin bir çözümü değildir.
\( a + b = 2 \) bulunur.
\( f(x) = 4x^2 + 6x + 1 \)
\( g(x) = x^2 + bx + c \)
\( (f \circ g)(x) = 4x^4 + 16x^3 + 14x^2 - 4x - 1 \)
olduğuna göre, \( b + c \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( = 4(x^2 + bx + c)^2 + 6(x^2 + bx + c) + 1 \)
Üç terimli parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.
\( = 4(x^4 + b^2x^2 + c^2 + 2(bx^3 + cx^2 + bcx)) + 6(x^2 + bx + c) + 1 \)
\( = 4x^4 + 4b^2x^2 + 4c^2 + 8bx^3 + 8cx^2 + 8bcx + 6x^2 + 6bx + 6c + 1 \)
\( = 4x^4 + 8bx^3 + (4b^2 + 8c + 6)x^2 + (6b + 8bc)x + 4c^2 + 6c + 1 \)
Bu ifade soruda verilen \( f \circ g \) fonksiyonuna eşittir.
\( = 4x^4 + 16x^3 + 14x^2 - 4x - 1 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( 8b = 16 \Longrightarrow b = 2 \)
\( 4b^2 + 8c + 6 = 14 \)
\( 4(2)^2 + 8c + 6 = 14 \)
\( c = -1 \)
\( b + c = 2 + (-1) = 1 \) olarak bulunur.
\( f(x) + f(2x + 1) = x^2 \) olduğuna göre, \( f(1) + f(15) \) kaça eşittir?
Çözümü Göster\( f(1) + f(15) \) toplamını bulabilmek için birinci eşitlikte \( x \)'e farklı değerler verelim.
\( x = 1 \) verelim.
\( f(1) + f(3) = 1^2 = 1 \)
\( x = 7 \) verelim.
\( f(7) + f(15) = 7^2 = 49 \)
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( f(1) + f(3) + f(7) + f(15) = 50 \)
\( f(3) \) ve \( f(7) \) ifadelerinden kurtulmak için bu iki ifadenin bulunduğu bir eşitlik daha yazalım.
\( x = 3 \) verelim.
\( f(3) + f(7) = 3^2 = 9 \)
Bu eşitliği bir önceki eşitlikten çıkaralım.
\( f(1) + f(15) = 50 - 9 = 41 \) bulunur.
\( f(x^2 + 2x - 1) = 4x^2 + 8x + 1 \) olduğuna göre, \( f(-3) \) kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafındaki ifadeleri birbirine benzetmek için eşitliğin sağ tarafını \( x^2 + 2x - 1 \) cinsinden yazalım.
\( f(x^2 + 2x - 1) = 4x^2 + 8x - 4 + 5 \)
\( f(x^2 + 2x - 1) = 4(x^2 + 2x - 1) + 5 \)
\( x^2 + 2x - 1 = g(x) \) diyelim.
\( f(g(x)) = 4g(x) + 5 \)
Bu eşitlik \( (f \circ g)(x) \) fonksiyonunu bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunda tüm \( x \) değişkenleri yerine \( g(x) \) yazılmış fonksiyondur, dolayısıyla \( g(x) \) gördüğümüz yere \( x \) yazarak \( f(x) \) tanımını bulabiliriz.
\( f(x) = 4x + 5 \)
\( f(-3) \) değeri için \( x = -3 \) yazalım.
\( f(-3) = 4(-3) + 5 = -7 \) bulunur.
\( f \) bir polinom fonksiyonudur.
\( f(x^2 + 2) = x^4 + 3x^2 + 2 \)
olduğuna göre, \( f(x^2 - 3) \) ifadesini bulunuz.
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x^2 + 2 = u \)
\( \Longrightarrow x^2 = u - 2 \)
Verilen eşitlikte \( x^2 \) yerine \( u - 2 \) yazalım.
\( f(x^2 + 2) = x^4 + 3x^2 + 2 \)
\( f(u) = (u - 2)^2 + 3(u - 2) + 2 \)
\( = u^2 - 4u + 4 + 3u - 6 + 2 \)
\( = u^2 - u \)
\( f(u) \) fonksiyonunda \( u = x^2 - 3 \) yazalım.
\( f(x^2 - 3) = (x^2 - 3)^2 - (x^2 - 3) \)
\( = x^4 - 6x^2 + 9 - x^2 + 3 \)
\( = x^4 - 7x^2 + 12 \) bulunur.
Yukarıda \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, \( (\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_\text{103 tane})(0) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun kendisiyle ilk beş bileşkesini grafiği kullanarak bulalım.
\( f(0) = -3 \)
\( f(-3) = -5 \)
\( f(-5) = 3 \)
\( f(3) = 0 \)
\( f(0) = -3 \)
Buna göre bileşke fonksiyonun değeri \( x = 0 \) için her dört işlemde bir kendini tekrar etmektedir.
103 sayısının 4'e bölümünden kalanı bulalım.
\( 103 = 4 \cdot 25 + 3 \)
\( (\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_\text{103 tane})(0) = (f \circ f \circ f)(0) \)
\( = f(f(f(0))) = f(f(-3)) = f(-5) = 3 \) bulunur.
\( f(x) = \ln{x} \)
\( g(x) = \dfrac{2x}{x - 2} \)
olduğuna göre, \( (g \circ f)(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir \( x \) değerinin \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olabilmesi için iki koşul sağlanmalıdır.
Koşul 1: \( x \) değeri \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( f \) fonksiyonu \( x \le 0 \) olduğunda logaritma içi sıfır ya da negatif olduğu için tanımsız olur.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi pozitif reel sayılardır.
\( x \gt 0 \)
Koşul 2: \( x \) değerinin \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
\( g \) fonksiyonu \( x = 2 \) olduğunda paydası sıfır olduğu için tanımsız olur.
Buna göre \( g \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bu değer dışındaki tüm reel sayılardır.
\( x \in \mathbb{R} - \{ 2 \} \)
\( x \) değerinin \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
\( f(x) = \ln{x} \ne 2 \)
\( x \ne e^2 \)
İki koşul için bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( g \circ f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R^+} - \{ e^2 \} \)
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 9} \)
\( g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \)
olduğuna göre, \( (f \circ g)(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir \( x \) değerinin \( f \circ g \) bileşke fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olabilmesi için iki koşul sağlanmalıdır.
Koşul 1: \( x \) değeri \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( g \) fonksiyonu \( x \lt 0 \) olduğunda kök içi negatif olduğu için, \( x = 0 \) olduğunda payda sıfır olduğu için tanımsız olur.
Buna göre \( g \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi pozitif reel sayılardır.
\( x \gt 0 \)
Koşul 2: \( x \) değerinin \( g \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
\( f(x) = \sqrt{(x + 3)(x - 3)} \)
\( f \) fonksiyonu \( -3 \lt x \lt 3 \) aralığında kök içi negatif olduğu için tanımsız olur.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bu aralık dışındaki tüm reel sayılardır.
\( x \le -3 \) ya da \( x \ge 3 \)
\( x \) değerinin \( g \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
Durum 1:
\( g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \le -3 \)
Bir karekök ifadesi hiçbir zaman negatif olamayacağı için bu durumun reel çözümü yoktur.
\( x \in \emptyset \)
Durum 2:
\( g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \ge 3 \)
\( 0 \lt \sqrt{x} \le \dfrac{1}{3} \)
\( 0 \lt x \le \dfrac{1}{9} \)
İki durumun birleşim kümesi ikinci koşulu sağlayan \( x \) aralığını verir.
\( 0 \lt x \le \dfrac{1}{9} \)
İki koşul için bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( f \circ g \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( x \in (0, \frac{1}{9}] \)
\( f(x) = \sin{x} \)
\( g(x) = x^2 \)
Aşağıdaki her seçenekteki \( h \) fonksiyonunu elde etmek için, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarından oluşan bileşke fonksiyon ne olmalıdır?
(a) \( h(x) = \sin{x^2} \)
(b) \( h(x) = \sin{x^4} \)
(c) \( h(x) = \sin(\sin^2{x}) \)
(d) \( h(x) = \sin^4{x^2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( h(x) = \sin{x^2} \)
\( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) = x^2 \) yazıldığında \( f(g(x)) = \sin{x^2} \) elde edilir.
\( h(x) = f(g(x)) = (f \circ g)(x) \)
(b) seçeneği:
\( h(x) = \sin{x^4} \)
\( g \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) = x^2 \) yazıldığında \( g(g(x)) = x^4 \) elde edilir.
Daha sonra \( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(g(x)) = x^4 \) yazıldığında \( f(g(g(x))) = \sin{x^4} \) elde edilir.
\( h(x) = f(g(g(x))) = (f \circ g \circ g)(x) \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = \sin(\sin^2{x}) \)
\( g \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( f(x) = \sin{x} \) yazıldığında \( g(f(x)) = \sin^2{x} \) elde edilir.
Daha sonra \( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(f(x)) = \sin^2{x} \) yazıldığında \( f(g(f(x))) = \sin(\sin^2{x}) \) elde edilir.
\( h(x) = f(g(f(x))) = (f \circ g \circ f)(x) \)
(d) seçeneği:
\( h(x) = \sin^4{x^2} \)
\( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) = x^2 \) yazıldığında \( f(g(x)) = \sin{x^2} \) elde edilir.
\( g \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( f(g(x)) = \sin{x^2} \) yazıldığında \( g(f(g(x))) = \sin^2{x^2} \) elde edilir.
\( g \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(f(g(x))) = \sin^2{x^2} \) yazıldığında \( g(g(f(g(x)))) = \sin^4{x^2} \) elde edilir.
\( h(x) = g(g(f(g(x)))) = (g \circ g \circ f \circ g)(x) \)
\( A = \{1, 2, 3, 4\} \)
\( f: A \to A \) olmak üzere,
\( (f \circ f)(x) = x \) koşulunu sağlayan kaç fonksiyon yazılabilir?
Çözümü Gösterİstenen durum 3 farklı şekilde sağlanabilir.
Durum 1:
Bu durumda her eleman kendisiyle eşlenir.
\( f_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\} \)
Bu şekilde tek bir fonksiyon yazılabilir.
Durum 2:
Bu durumda elemanlar ikişerli şekilde birbiriyle eşlenir.
\( f_2 = \{(1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 3)\} \)
\( f_3 = \{(1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)\} \)
\( \vdots \)
Bu şekilde 4 eleman içinden 2 elemanın farklı seçim sayısı kadar (\( C(4, 2) = 6 \)) fonksiyon yazılabilir.
Durum 3:
Bu durumda iki eleman ikişerli şekilde birbiriyle eşlenirken diğer iki eleman kendisiyle eşlenir.
\( f_8 = \{(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)\} \)
\( f_9 = \{(1, 3), (3, 1), (2, 2), (4, 4)\} \)
\( \vdots \)
Bu şekilde 4 eleman içinden 2 elemanın farklı seçim sayısı kadar (\( C(4, 2) = 6 \)) fonksiyon yazılabilir.
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 1 + 6 + 6 = 13 \) fonksiyon yazılabilir.
\( f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( f \) girdi olarak aldığı sayının rakamları toplamını veren bir fonksiyondur.
Örnek: \( f(175) = 1 + 7 + 5 = 13 \)
\( a \) iki basamaklı bir sayı olmak üzere,
\( (f \circ f)(a) = 4 \) eşitliğini sağlayan kaç \( a \) sayısı vardır?
Çözümü Göster\( (f \circ f)(a) = f(f(a)) = 4 \)
\( f(a) = b \) diyelim.
\( f(b) = 4 \) sonucunu veren \( b \) sayılarını bulalım.
\( a \) iki basamaklı olduğu için rakamları toplamı en az 1 (10), en çok 18 (99) olabilir.
\( 1 \le b \le 18 \)
\( f(b) = 4 \) ve \( 1 \le b \le 18 \) koşullarını sağlayan \( b \) değerlerini bulalım.
\( b \in \{4, 13\} \)
\( f(a) = b = 4 \) koşulunu sağlayan iki basamaklı \( a \) sayılarını bulalım.
\( a \in \{13, 22, 31, 40\} \)
\( f(a) = b = 13 \) koşulunu sağlayan iki basamaklı \( a \) sayılarını bulalım.
\( a \in \{49, 58, 67, 76, 85, 94\} \)
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 4 + 6 = 10 \) tane \( a \) sayısı vardır.