Bileşke Fonksiyon
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) olmak üzere, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarını kullanarak \( A \) kümesinin elemanlarını \( C \) kümesinin elemanlarıyla eşleyen fonksiyona \( f \) ile \( g \)'nin bileşke fonksiyonu denir ve \( g \circ f \) ile gösterilir.
Yukarıdaki şekilde görülebileceği gibi, \( A \) kümesinin \( g \circ f \) bileşke fonksiyonundaki görüntüsü, \( A \) kümesinin birinci fonksiyondaki (\( f \)) görüntüsünün ikinci fonksiyondaki (\( g \)) görüntüsüne eşittir. Buna göre, bileşke fonksiyonu aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.
\( (g \circ f)(x) = g[f(x)] \)
Yukarıdaki örneğe ve tanıma göre, \( A \), \( B \) ve \( C \) küme elemanları arasındaki ilişkiyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz:
\( f(1) = c, \quad g(c) = w \quad \Longrightarrow \) \( (g \circ f)(1) = g(f(1)) = w \)
\( f(2) = a, \quad g(a) = x \quad \Longrightarrow \) \( (g \circ f)(2) = g(f(2)) = x \)
\( f(3) = b, \quad g(b) = z \quad \Longrightarrow \) \( (g \circ f)(3) = g(f(3)) = z \)
\( f(4) = d, \quad g(d) = y \quad \Longrightarrow \) \( (g \circ f)(4) = g(f(4)) = y \)
Daha önce yaptığımız fonksiyon-makine benzetmesini bileşke fonksiyona aşağıdaki şekilde uygulayabiliriz. Buna göre, bir \( x \) değerinin \( f \) fonksiyonundaki görüntüsünün \( g \) kümesindeki görüntüsü, aynı \( x \) değerinin \( (g \circ f) \) bileşke fonksiyonundaki görüntüsüne eşit olur.
Bileşke Fonksiyon İşlem Özellikleri
Bileşke işlemini de toplama, çarpma gibi bir işlem olarak düşünebiliriz, dolayısıyla işlem özelliklerinin (değişme, birleşme, etkisiz eleman, ters eleman vb.) bileşke işleminde olup olmadığını inceleyebiliriz.
Bileşke işleminde değişme özelliği yoktur.
\( f \circ g \ne g \circ f \)
Bileşke fonksiyon işleminde birleşme özelliği vardır.
\( (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) = f \circ g \circ h \)
Bileşke fonksiyon işleminin etkisiz elemanı \( f(x) = x \) birim fonksiyonudur ve \( I \) ile gösterilir.
\( f \circ I = I \circ f = f \)
Bileşke fonksiyon işleminin ters elemanı o fonksiyonun ters fonksiyonudur ve \( f^{-1} \) ile gösterilir. Ters fonksiyonu bir sonraki bölümde inceleyeceğiz.
\( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I \)
\( g \circ f \circ f^{-1} \circ h = g \circ I \circ h = g \circ h \)
\( f(x) = 2x + 1 \)
\( f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2} \)
\( (f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) \)
\( = \dfrac{f(x) - 1}{2} = \dfrac{(2x + 1) - 1}{2} \)
\( = \dfrac{2x}{2} = x = I \)
Bileşke Fonksiyon İşlem Kuralları
İki ya da daha fazla fonksiyonun bileşkesinin ters fonksiyonu, fonksiyonların ters fonksiyonlarının ters sırada bileşkesine eşittir.
\( (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \)
\( (h \circ g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \)
Bileşke Fonksiyonların Örten ve Birebir Olma Durumları
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları birebir ise \( g \circ f: A \to C \) bileşke fonksiyonu da birebirdir.
\( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları örten ise \( g \circ f: A \to C \) bileşke fonksiyonu da örtendir.
\( g \circ f: A \to C \) bileşke fonksiyonu birebir ise \( f \) fonksiyonu da birebirdir, ancak \( g \) fonksiyonu birebir olabilir ya da olmayabilir. Aşağıda \( g \) fonksiyonunun birebir olmadığı duruma bir örnek verilmiştir.
\( g \circ f: A \to C \) bileşke fonksiyonu örten ise \( g \) fonksiyonu da örtendir, ancak \( f \) fonksiyonu örten olabilir ya da olmayabilir. Yukarıdaki örnek, aynı zamanda \( f \) fonksiyonunun örten olmadığı duruma bir örnektir.
\( f: \{ (1, a), (2, b), (3, c), (4, d) \} \)
\( g: \{ (a, 3), (b, 5), (c, 7), (d, 9) \} \) olduğuna göre,
\( (g \circ f)(4) + (g \circ f \circ g)(a) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = x^2 + 2x - 3 \) ve \( g(x) = 5x + 1 \) olduğuna göre \( (f \circ g)(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = 3x + 1 \) ve \( g(x) = x^2 - 3 \) olduğuna göre \( (f \circ g)(3) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = 4x + 5 \) ve \( (f \circ g)(2) = 17 \) olduğuna göre, \( g(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( (f \circ f)(x) = 9x + 4 \) olduğuna göre, \( f(2) \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( (g \circ f)(x) = 3f^2(x) - f(x) + 5 \) olduğuna göre \( g(4) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları pozitif reel sayılarda tanımlıdır.
\( (f \circ g)(x) = f(x) \cdot g(x) \) ve \( f(x) = 3x - 1 \) olduğuna göre, \( g(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x^2 + 2x - 1) = 4x^2 + 8x + 1 \) olduğuna göre, \( f(-3) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = 2x - 2 \), \( g(x) = 3x + 1 \) olduğuna göre,
\( (f \circ g)(a) = (\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_\text{25 tane})(2) \) eşitliğini sağlayan \( a \) değeri nedir?
Çözümü Göster
\( f(x) = x + 2 \), \( g(x) = 3x + 1 \) ve \( h(x) = x^2 - 1 \) olduğuna göre,
\( (f \circ g \circ h)(x) = 12 \) eşitliğini sağlayan \( x \) doğal sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(x) = 5^{x - 2} \) ve \( \dfrac{f(3x - 1)}{f(1 - x)} = 1 \) olduğuna göre \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( (f \circ g)(x) = 5x - 6 \) ve \( f(x) = \dfrac{x + 1}{3} \) olduğuna göre \( g(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( f(\dfrac{3x + 1}{2x - 3}) = \dfrac{2x - 3}{3x + 1} + 2 \) olduğuna göre \( f(\dfrac{1}{14}) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( a \) ve \( b \) farklı sayılar olmak üzere,
\( f(x) = ax + b, \quad g(x) = bx + a \)
\( (f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = a - b \) olduğuna göre \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Göster