Bileşke Fonksiyon
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarını \( f \)'nin girdi değerlerini \( g \)'nin çıktı değerleri ile eşleyerek tek bir fonksiyonda birleştiren fonksiyona bileşke fonksiyon denir ve \( g \circ f \) şeklinde gösterilir.
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesindeki bir elemanın \( g \circ f \) bileşke fonksiyonuna göre görüntüsü, elemanın \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsünün tekrar \( g \) fonksiyonuna göre alınan görüntüsüdür.
Buna göre bileşke fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( f(a) = 3, \quad g(3) = w \) ise,
\( (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(3) = w \)
Dikkat edilirse bileşke fonksiyonlarda fonksiyonların yazılış sırası işlem sırasının tersidir. \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunda \( x \) değerinin önce \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü bulunur, daha sonra elde edilen \( f(x) \) değerinin \( g \) fonksiyonuna göre görüntüsü bulunur.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) bileşke fonksiyonunda \( f \) fonksiyonuna "içteki fonksiyon", \( g \) fonksiyonuna "dıştaki fonksiyon" da denir.
Fonksiyon - Makine Benzetmesi
Daha önce yaptığımız fonksiyon - makine benzetmesini bileşke fonksiyona aşağıdaki şekildeki gibi uyarlayabiliriz.
Bu benzetmeyi kullanarak \( f \) fonksiyonunu bir çamaşır makinesi, \( g \) fonksiyonunu da bir kurutma makinesi olarak tanımlarsak \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunu yıkama ve kurutma fonksiyonlarını birleştiren tek bir makine olarak düşünebiliriz.
Bileşke Fonksiyonun Bulunması
Tanımları küme liste yöntemi ile verilmiş \( f \) ve \( g \) fonksiyonları arasındaki \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu, \( f \)'nin tanım kümesindeki her elemanın \( f \)'ye göre görüntülerinin tekrar \( g \)'ye göre görüntüleri alınarak bulunur.
\( f \): Bir sınıftaki öğrencilerin burçlarını veren fonksiyon
\( f = \) {(Ece, Boğa), (Eda, Yengeç), (Ela, Koç), (Efe, İkizler), ...}
\( g \): Burçların elementlerini veren fonksiyon
\( g = \) {(Koç, Ateş), (Boğa, Toprak), (İkizler, Hava), (Yengeç, Su), (Aslan, Ateş), ...}
\( g \circ f \): Öğrencilerin burçlarının elementlerini veren bileşke fonksiyon
\( g \circ f = \) {(Ece, Toprak), (Eda, Su), (Ela, Ateş), (Efe, Hava), ...}
\( (g \circ f)(\text{Eda}) = g(f(\text{Eda})) = g(\text{Yengeç}) = \text{Su} \)
Tanımları birer formül olarak verilmiş \( f \) ve \( g \) fonksiyonları arasındaki \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu aşağıdaki yöntemle bulunur.
- \( (g \circ f)(x) \) fonksiyonu \( g(f(x)) \) şeklinde yazılır.
- \( f(x) \) yerine temsil ettiği fonksiyon tanımı yazılır.
- \( g(x) \) fonksiyonunda her \( x \) yerine \( f(x) \) tanımı yazılır.
\( f(x) = 3x - 1 \)
\( g(x) = 2x^2 + 4x - 5 \) olmak üzere,
\( (g \circ f)(x) = g(\textcolor{red}{f(x)}) = g(\textcolor{red}{3x - 1}) \)
\( = 2(\textcolor{red}{3x - 1})^2 + 4(\textcolor{red}{3x - 1}) - 5 \)
\( f(x) = 5x \)
\( g(x) = x^2 + 2\sqrt{x} - 2^x \)
olduğuna göre, \( (g \circ f)(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 4x \)
\( g(x) = x^2 \)
\( h(x) = \sqrt{3x} \)
fonksiyonları arasındaki tüm ikili bileşke fonksiyonlarını bulunuz.
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x + 2) + 1 \)
\( g(x) = e^{2(x - 1)} - 2 \)
olduğuna göre, \( (f \circ g)(x) \) bileşke fonksiyonunun en sade biçimini bulunuz.
Çözümü GösterBileşke Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi
Tanım kümesi \( A \) olan bir \( f \) fonksiyonu ile tanım kümesi \( B \) olan bir \( g \) fonksiyonu arasında \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu tanımlayalım.
Bir \( x \) değerinin \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olabilmesi için değer aşağıdaki iki koşulu sağlamalıdır.
- \( A \) kümesinin elemanı olmalıdır (\( x \in A \)).
- \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır (\( f(x) \in B \)).
Yukarıdaki şekildeki \( A \) kümesinin yeşil ile işaretlenmiş üç elemanı \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini oluştururlar. \( B \) kümesinde kırmızı ile işaretli eleman birinci koşulu, \( A \) kümesinde kırmızı ile işaretli eleman da ikinci koşulu sağlamadığı için \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesine dahil olmazlar.
Buna göre \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesi her zaman \( f \) fonksiyonunun tanım kümesine eşittir ya da onun bir alt kümesidir.
\( f(x) = 3x + 1, \quad x \in (-\infty, 3] \)
\( g(x) = x^2 - 1, \quad x \in [1, \infty) \)
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesindeki elemanlar aşağıdaki iki koşulu sağlamalıdır.
(1) \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( x \le 3 \)
(2) \( f \) fonksiyonuna göre görüntüleri \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( f(x) \ge 1 \)
\( 3x + 1 \ge 1 \)
\( x \ge 0 \)
Bu iki aralığın kesişim kümesi \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( 0 \le x \le 3 \)
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 9}, \quad x \in [3, \infty) \)
\( g(x) = 5x + 3, \quad x \in (-\infty, 4) \)
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesindeki elemanlar aşağıdaki iki koşulu sağlamalıdır.
(1) \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( x \ge 3 \)
(2) \( f \) fonksiyonuna göre görüntüleri \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( f(x) \lt 4 \)
\( \sqrt{x^2 - 9} \lt 4 \)
\( x^2 - 9 \lt 16 \)
\( x^2 \lt 25 \)
\( -5 \lt x \lt 5 \)
Bu iki aralığın kesişim kümesi \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( 3 \le x \lt 5 \)
Bir bileşke fonksiyonun tanım kümesini bulduktan sonra görüntü kümesi tanım ve görüntü kümesi bölümünde "Görüntü Kümesinin Bulunması" başlığı altında bahsettiğimiz yöntemlerle bulunabilir.
Tanım kümesine benzer şekilde, \( g \circ f \) fonksiyonunun görüntü kümesi her zaman \( g \) fonksiyonunun görüntü kümesine eşittir ya da onun bir alt kümesidir.
Yukarıda tanım kümesini bulduğumuz bileşke fonksiyonun görüntü kümesini bulalım.
\( f \circ g \) bileşke fonksiyonunu ve tanım kümesini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( (f \circ g)(x) = 3x^2 - 2 \)
Tanım kümesi: \( 1 \le x \le 2 \)
Bu fonksiyon tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde olan bir paraboldür ve başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür.
Tepe noktası \( T(0, k) \) noktasında ve tanım aralığının dışında olduğu için fonksiyonun görüntü kümesi \( f(1) \) ve \( f(2) \) değer aralığı olur.
\( (f \circ g)(1) = 3(1)^2 - 2 = 1 \)
\( (f \circ g)(2) = 3(2)^2 - 2 = 10 \)
Buna göre bileşke fonksiyonun görüntü kümelesi aşağıdaki gibi olur.
Görüntü kümesi: \( 1\le (f \circ g)(x) \le 10 \)
Bileşke Fonksiyonun Grafiği
Bir bileşke fonksiyonun grafiği de bileşke fonksiyon tanımına uygun şekilde bileşeni olan fonksiyonların görüntülerinin bileşkesini verir.
\( f(x) = x - 3 \)
\( g(x) = 2x^2 + 4x \)
fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki gibidir.
Bu iki fonksiyonun bileşkesi olan \( g \circ f \) fonksiyonunun grafiği de aşağıdaki gibidir.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = 2x^2 - 8x + 6 \)
Bu grafikler üzerinde işaretli 4 nokta aşağıdaki tabloda verilmiştir. 2. ve 3. sütunlarda fonksiyonları ayrı ayrı kullanarak iki adımda elde edebildiğimiz görüntü değerlerini 4. sütunda bileşke fonksiyon grafiği ile tek adımda elde edebildiğimizi görebiliriz.
| \( x \) | \( f(x) \) | \( g(f(x)) \) | \( (g \circ f)(x) \) |
|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( f(0) = -3 \) | \( g(f(0)) = g(-3) = 6 \) | \( (g \circ f)(0) = 6 \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = -2 \) | \( g(f(1)) = g(-2) = 0 \) | \( (g \circ f)(1) = 0 \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = -1 \) | \( g(f(2)) = g(-1) = -2 \) | \( (g \circ f)(2) = -2 \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = 0 \) | \( g(f(3)) = g(0) = 0 \) | \( (g \circ f)(3) = 0 \) |
Üç Fonksiyonun Bileşkesi
Üç fonksiyon arasında bileşke işlemi aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.
\( (h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x))) \)
\( f = \{ (a, 3), (b, 1), (c, 2), (d, 4) \} \)
\( g = \{ (1, x), (2, z), (3, x), (4, w) \} \)
\( h = \{ (x, m), (y, m), (z, k), (w, n) \} \)
\( h \circ g \circ f = \{ (a, m), (b, m), (c, k), (d, n) \} \)
İki fonksiyonlu durumda olduğu gibi, bileşke fonksiyonlarda fonksiyonların yazılış sırası işlem sırasının tersidir. Dolayısıyla \( h \circ g \circ f \) şeklindeki bir bileşke fonksiyonda işlem sırası \( f \to g \to h \) şeklinde olur.
Fonksiyon - makine benzetmesini üç fonksiyonun bileşke fonksiyonuna aşağıdaki şekilde uyarlayabiliriz.
\( f(x) = x + 2 \)
\( g(x) = 3x + 1 \)
\( h(x) = x^2 - 1 \) olduğuna göre,
\( (f \circ g \circ h)(x) = 12 \) eşitliğini sağlayan \( x \) doğal sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) pozitif eğimli doğrusal bir fonksiyondur.
\( (f \circ f \circ f \circ f)(x) = 16x + 75 \) olduğuna göre, \( f(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 2x^2 \)
\( g(x) = 4^x \)
olduğuna göre, \( (f \circ f \circ f \circ f \circ g \circ g)(-1) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü GösterParçalı Fonksiyonların Bileşkesi
\( m \) aralıktan oluşan bir parçalı fonksiyonla \( n \) aralıktan oluşan bir parçalı fonksiyonun bileşkesi \( m \cdot n \)'ye kadar aralıktan oluşabilir. Parçalı fonksiyonların bileşkesini bulurken bu aralıkların her birinin geçerli birer aralık olup olmadığı kontrol edilmelidir.
Parçalı fonksiyonun belirli bir aralığının geçerliliğini yukarıda bileşke fonksiyonların tanım kümesini bulma bölümünde kullandığımız iki koşul ile kontrol edebiliriz.
Bir örnek üzerinden parçalı fonksiyonların bileşke fonksiyonunu nasıl bulabileceğimizi gösterelim.
\( f(x) = \begin{cases} x + 4 & -3 \le x \lt -1 \\ -x + 3 & -1 \le x \le 5 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} -2x + 1 & -2 \le x \lt 0 \\ x - 1 & 0 \le x \le 3 \end{cases} \)
\( (g \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulalım.
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( g(x) \) fonksiyon tanımında \( x \) gördüğümüz yerlere \( f(x) \) yazalım.
\( g(f(x)) = \begin{cases} -2f(x) + 1 & -2 \le f(x) \lt 0 \\ f(x) - 1 & 0 \le f(x) \le 3 \end{cases} \)
\( f(x) \) de parçalı bir fonksiyon olduğu için \( g(f(x)) \) tanımındaki her aralık birden fazla \( f(x) \) aralığına karşılık gelebilir. Bu yüzden bu iki aralığın her birini iki \( f(x) \) aralığına bölelim, her aralık için bileşke fonksiyonu bulalım ve aralığın geçerli bir tanım aralığına sahip olup olmadığını kontrol edelim.
Kontrol edeceğimiz her aralıktaki \( x \) değerleri o aralıktaki \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin, \( f(x) \) değerleri de o aralıktaki \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
| \( f(x) \) | \( g(f(x)) \) | \( x \) Tanım Aralığı | \( f(x) \) Tanım Aralığı | Kesişim Kümesi |
|---|---|---|---|---|
|
\( x + 4 \) |
\( -2f(x) + 1 \) \( = -2(x + 4) + 1 \) \( = -2x - 7 \) |
\( \textcolor{red}{-3 \le x \lt -1} \) |
\( -2 \le f(x) \lt 0 \) \( -2 \le x + 4 \lt 0 \) \( \textcolor{red}{-6 \le x \lt -4} \) |
\( \textcolor{red}{\emptyset} \) |
|
\( x + 4 \) |
\( f(x) - 1 \) \( = (x + 4) - 1 \) \( = x + 3 \) |
\( \textcolor{red}{-3 \le x \lt -1} \) |
\( 0 \le f(x) \le 3 \) \( 0 \le x + 4 \le 3 \) \( \textcolor{red}{-4 \le x \le -1} \) |
\( \textcolor{red}{-3 \le x \lt -1} \) |
|
\( -x + 3 \) |
\( -2f(x) + 1 \) \( = -2(-x + 3) + 1 \) \( = 2x - 5 \) |
\( \textcolor{red}{-1 \le x \le 5} \) |
\( -2 \le f(x) \lt 0 \) \( -2 \le -x + 3 \lt 0 \) \( \textcolor{red}{3 \lt x \le 5} \) |
\( \textcolor{red}{3 \lt x \le 5} \) |
|
\( -x + 3 \) |
\( f(x) - 1 \) \( = (-x + 3) - 1 \) \( = -x + 2 \) |
\( \textcolor{red}{-1 \le x \le 5} \) |
\( 0 \le f(x) \le 3 \) \( 0 \le -x + 3 \le 3 \) \( \textcolor{red}{0 \le x \le 3} \) |
\( \textcolor{red}{0 \le x \le 3} \) |
Buna göre kontrol ettiğimiz dört aralıktan üçü geçerli birer aralıktır. Bu üç aralıktaki tanımlardan oluşan bileşke fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
\( g(f(x)) = \begin{cases} x + 3 & -3 \le x \lt -1 \\ -x + 2 & 0 \le x \le 3 \\ 2x - 5 & 3 \lt x \le 5 \end{cases} \)
Dikkat edilirse bileşke fonksiyonun \( -1 \le x \lt 0 \) aralığında bir tanımı bulunmamaktadır.
Bulduğumuz bileşke fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
Bileşke Fonksiyon İşlem Özellikleri
Bazı durumlarda aynı sonucu verebilse de, genel kural olarak bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. Makine benzetmesini kullanırsak çamaşırları önce yıkayıp sonra kurutmak ile önce kurutup sonra yıkamak farklı sonuçlar verecektir.
\( g \circ f \ne f \circ g \)
\( f(x) = x^2 - 3x \)
\( g(x) = 2x + 1 \) fonksiyonları veriliyor.
\( (f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x) \) olduğunu gösterelim.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) \)
\( = (2x + 1)^2 - 3(2x + 1) \)
\( = 4x^2 - 2x - 2 \)
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 - 3x) \)
\( = 2(x^2 - 3x) + 1 \)
\( = 2x^2 - 6x + 1 \)
Bulduğumuz iki bileşke fonksiyon birbirine eşit değildir.
\( (f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x) \)
Bileşke fonksiyon işleminin birleşme özelliği vardır. Buna göre bir bileşke işleminin yazılışında fonksiyonların sırasını değiştirmeden parantezlerin yerini değiştirerek işlemler herhangi bir sırada gerçekleştirilebilir.
\( (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f) = h \circ g \circ f \)
\( f(x) = 3x + 1 \)
\( g(x) = 2\sqrt{x + 2} \)
\( h(x) = x^2 - 2 \)
\( ((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x) \) olduğunu gösterelim.
İhtiyacımız olacak ikili bileşke fonksiyonları bulalım.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2\sqrt{x + 2}) \)
\( = 3(2\sqrt{x + 2}) + 1 = 6\sqrt{x + 2} + 1 \)
\( (g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(x^2 - 2) \)
\( = 2\sqrt{x^2 - 2 + 2} = 2x \)
Bu iki bileşke fonksiyonu eşitliğini göstereceğimiz ifadelerde yerlerine koyalım.
\( ((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) \)
\( = (f \circ g)(x^2 - 2) = 6\sqrt{x^2 - 2 + 2} + 1 \)
\( = 6x + 1 \)
\( (f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) \)
\( = f(2x) = 3(2x) + 1 \)
\( = 6x + 1 \)
Her iki durumda da \( 6x + 1 \) ifadesini elde etmiş olduk.
İSPATI GÖSTER
Birleşme özelliğini makine benzetmesine uyarlarsak üç makine sıraları aynı kalmak koşuluyla herhangi bir şekilde ikili ya da üçlü birleştirilebilir.
Bileşke işleminin etkisiz elemanı \( f(x) = x \) birim fonksiyonudur ve \( I \) ile gösterilir. Yukarıda kullandığımız çamaşır/kurutma makinesi benzetmesine çamaşırlara hiçbir işlem uygulamayan ve çamaşırların girdiği şekliyle çıktığı bir makine daha eklediğimizi varsayalım (\( h(x) = I = x \)). Çamaşırları böyle bir makineye çamaşır ya da kurutma makinesinden önce ya da sonra atmamızın işlem sonucuna bir etkisi olmayacaktır.
\( f \circ I = I \circ f = f \)
\( f \circ g \circ I = f \circ I \circ g \) \( = I \circ f \circ g \) \( = f \circ g \)
İSPATI GÖSTER
Bileşke Fonksiyonların Örten ve Birebir Olma Durumları
Aşağıda \( f: A \to B \) ve \( g: B \to C \) fonksiyonları ve bileşkelerinin birebir ve örten olma durumları arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları birebir ise \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu da birebirdir.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları örten ise \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu da örtendir.
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonu birebir ise \( f \) fonksiyonu da birebirdir.
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonu birebir ise \( g \) fonksiyonu birebir olabilir ya da olmayabilir. Aşağıda \( g \circ f \) birebir iken \( g \)'nin birebir olmadığı duruma bir örnek verilmiştir.
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonu örten ise \( g \) fonksiyonu da örtendir.
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonu örten ise \( f \) fonksiyonu örten olabilir ya da olmayabilir. Yukarıdaki şekil \( g \circ f \) örten iken \( f \) fonksiyonunun örten olmadığı duruma da bir örnektir.
\( f: \{ (1, a), (2, b), (3, c), (4, d) \} \)
\( g: \{ (a, 3), (b, 5), (c, 7), (d, 9) \} \) olduğuna göre,
\( (g \circ f)(4) + (g \circ f \circ g)(a) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = \dfrac{7x + 6}{4x - 3} \)
\( g(x) = 13(2x + 1) \) olduğuna göre,
\( \sqrt{g(f(f(2)))} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 3x + 1 \) ve \( g(x) = x^2 - 3 \) olduğuna göre, \( (f \circ g)(3) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 4x + 5 \) ve \( (f \circ g)(2) = 17 \) olduğuna göre, \( g(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) bir polinom fonksiyonudur.
\( (f \circ f)(x) = 9x + 4 \) olduğuna göre,
\( f(2) \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) bir polinom fonksiyonudur.
\( (f \circ f)(x) = 9x - 8 \) olduğuna göre,
\( f \) fonksiyonunun sabit teriminin alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( (g \circ f)(x) = 3f^2(x) - f(x) + 5 \) olduğuna göre, \( g(4) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) ve \( g \) fonksiyonları pozitif reel sayılarda tanımlıdır.
\( (f \circ g)(x) = f(x) \cdot g(x) \) ve \( f(x) = 3x - 1 \) olduğuna göre, \( g(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 2x - 5 \)
\( (f \circ g)(x) = 3g(x) + 2x - 2 \)
olduğuna göre, \( g(2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = 5x - 6 \) ve \( f(x) = \dfrac{x + 1}{3} \) olduğuna göre, \( g(x) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = x^3 + 6 \)
\( f(x + 4) = g(x - 2) \)
olduğuna göre, \( (f \circ g)(-7) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 2x - 1 \) ve \( g(x) = ax + b \) olarak veriliyor.
\( (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) \) olduğuna göre, \( g(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a \in \mathbb{R}, a \ne 0 \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - a \)
\( g(x) = a(x - 2) \)
\( (f \circ g)(-1) = (g \circ f)(2) \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = x^2 + 4 \)
\( g(x) = 3x + 2 \)
\( (f \circ g)(x) = 3(g \circ f)(x) - 2 \)
eşitliğini sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 2x - 2 \)
\( g(x) = 3x + 1 \) olduğuna göre,
\( (f \circ g)(a) = (\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_\text{25 tane})(2) \) eşitliğini sağlayan \( a \) değeri nedir?
Çözümü Göster\( f(x) = 5^{x - 2} \) ve \( f(3a - 1) = f(1 - a) \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = x^2 - 10x \)
\( g(x) = e^x + 5 \) fonksiyonları veriliyor.
\( g(2x) - (f \circ g)(x) = k \)
olduğuna göre, \( k \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x^2 + 2x - 1) = 4x^2 + 8x + 1 \) olduğuna göre, \( f(-3) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(\dfrac{3x + 1}{2x - 3}) = \dfrac{2x - 3}{3x + 1} + 2 \) olduğuna göre, \( f(\frac{1}{14}) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) + f(2x + 1) = x^2 \) olduğuna göre, \( f(1) + f(15) \) kaça eşittir?
Çözümü Göster\( g(x) = x + 1 \)
\( f(g(x)) = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + x \)
olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( f(x) = 3x + 7 \)
\( (g \circ f)(x) = 9x^2 - 27x + 88 \)
olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) farklı sayılar olmak üzere,
\( f(x) = ax + b, \quad g(x) = bx + a \)
\( (f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = a - b \) olduğuna göre \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = 4x^2 + 6x + 1 \)
\( (f \circ g)(x) = 4x^4 + 16x^3 + 14x^2 - 4x - 1 \)
\( g(x) = x^2 + bx + c \)
olduğuna göre, \( b + c \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x + 1) = 4x - 2 \)
\( g(x + a) = 6x + 3 \)
\( (f \circ g)(3) = 54 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \mathbb{Q} \) rasyonel sayılar kümesi olmak üzere,
\( f(x)= \begin{cases} 3x - 2 & x \in \mathbb{Q} \\ x^2 - 1 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases} \)
Buna göre \( (f \circ f)(\frac{\sqrt{3}}{3}) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (f \circ g)(x) = f(x) \cdot g(x) \)
\( f(x) = 2x + 3 \)
olduğuna göre, \( g(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Yukarıda \( y = f(x + 2) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre \( \dfrac{f(0) + f^{-1}(-1)}{f(2)} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( A = \{1, 2, 3, 4\} \)
\( f: A \to A \) olmak üzere,
\( (f \circ f)(x) = x \) koşulunu sağlayan kaç fonksiyon yazılabilir?
Çözümü Göster\( f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( f \) girdi değerinin rakamları toplamını veren bir fonksiyondur.
Örnek: \( f(75) = 7 + 5 = 12 \)
\( (ab) \) iki basamaklı bir sayı olmak üzere,
\( (f \circ f)(ab) = 4 \) eşitliğini sağlayan kaç \( (ab) \) sayısı vardır?
Çözümü Göster\( f(x) = \sin{x} \)
\( g(x) = x^2 \)
Aşağıdaki her seçenekteki \( h \) fonksiyonunu elde etmek için, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarını kullanan bileşke fonksiyon ne olmalıdır?
(a) \( h(x) = \sin{x^2} \)
(b) \( h(x) = \sin{x^4} \)
(c) \( h(x) = \sin(\sin^2{x}) \)
(d) \( h(x) = \sin^4{x^2} \)
Çözümü Göster