Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Konu tekrarı için: 3 Boyutlu Koordinat Sistemi
Çok değişkenli fonksiyonlar girdi olarak birden fazla değişken kabul eden fonksiyonlardır.
Tek Değişkenli Fonksiyonlar
Şu ana kadar tanımladığımız tek değişkenli fonksiyonlar bir \( A \) kümesinin her elemanını diğer bir \( B \) kümesinin tek bir elemanı ile eşleyen fonksiyonlardı. Bu fonksiyonlar girdi olarak bir \( x \) değeri alırlar ve çıktı olarak \( y = f(x) \) değeri üretirler.
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( y = f(x) \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y = f(x) = 3x^2 \)
\( f(5) = 3 \cdot 5^2 = 75 \)
Buna göre fonksiyonun \( x = 5 \) için değeri \( y = f(5) = 75 \) olur.
\( f = \{ \ldots, (5, 75), \ldots \} \)
Tek değişkenli bir fonksiyonun grafiği, fonksiyonun tanım kümesindeki her \( x \) değeri için hesaplanan \( (x, y) \) sıralı ikililerinin iki boyutlu koordinat sisteminde işaretlenmesi ile oluşur.
İki Değişkenli Fonksiyonlar
Girdi olarak iki değişken kabul eden ve tanım kümesindeki her \( (x, y) \) sıralı ikilisini değer kümesinde tek bir değer ile eşleyen fonksiyonlara iki değişkenli fonksiyon denir. Bu fonksiyonlar girdi olarak \( x \) ve \( y \) gibi iki değişken değeri alırlar ve çıktı olarak \( z = f(x, y) \) değeri üretirler.
\( x \in A, y \in B, D \subseteq A \times B \)
\( f: D \to C \) olmak üzere,
\( z = f(x, y) \)
İki değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesi \( (x, y) \) sıralı ikililerinden oluşur ve \( A \times B \) kartezyen çarpımının bir alt kümesidir. \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin farklı tanım kümeleri için iki değişkenli fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdaki şekillerde olabilir.
| \( x \) Tanım Kümesi | \( y \) Tanım Kümesi | \( f \) Tanım Kümesi |
|---|---|---|
| \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 \) |
| \( \mathbb{Z} \) | \( \mathbb{Z} \) | \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) |
| \( A \) | \( A \) | \( A \times A = A^2 \) |
| \( A \) | \( B \) | \( A \times B \) |
| \( \{a, b\} \) | \( \{1, 2\} \) | \( \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)\}\) |
\( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = f(x, y) = 3x^2 + 4y \)
\( f(5, 2) = 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 2 = 83 \)
Buna göre fonksiyonun \( (x, y) = (5, 2) \) için değeri \( z = f(5, 2) = 83 \) olur.
\( f = \{ \ldots, ((5, 2), 83), \ldots \} \)
İki değişkenli bir fonksiyonun grafiği, tanım kümesindeki her \( (x, y) \) sıralı ikilisi için hesaplanan \( (x, y, z = f(x, y)) \) sıralı üçlülerinin üç boyutlu koordinat sisteminde işaretlenmesiyle oluşur.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Benzer bir yaklaşımla daha fazla sayıda değişkenden oluşan fonksiyonlar da tanımlanabilir. Genel bir tanım olarak bu fonksiyonlar girdi olarak \( (x_1, x_2, \ldots, x_n) \) şeklinde \( n \) bileşenli bir sıralı \( n \)'li alırlar ve çıktı olarak \( y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) değeri üretirler.
\( x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, \ldots, x_n \in A_n \)
\( D \subseteq A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n \)
\( f: D \to C \) olmak üzere,
\( y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \)
\( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y = f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_2x_3 \)
\( f(5, 2, 3) = 5^2 - 2 \cdot 3 = 19 \)
Buna göre fonksiyonun \( (x_1, x_2, x_3) = (5, 2, 3) \) için değeri \( y = f(5, 2, 3) = 19 \) olur.
\( f = \{ \ldots, ((5, 2, 3), 19), \ldots \} \)
\( f: \mathbb{R^2} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x, y) = 3x - 2y + 1 \) olduğuna göre, \( f(f(1, 3), 2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) iki değişkenli bir fonksiyondur.
\( f(1, 3) = 3(1) - 2(3) + 1 = -2 \)
\( f(f(1, 3), 2) = f(-2, 2) \)
\( = 3(-2) - 2(2) + 1 = -9 \) bulunur.
\( f(x, y) = \begin{cases} x^2 - 2y + 7 & x + y \text{ tek ise} \\ 4x + y^2 & x + y \text{ çift ise} \end{cases} \)
olduğuna göre, \( f(7, 4) - f(2, 6) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 7 + 4 \) tek sayı olduğu için \( f(7, 4) \) değerini bulmak için parçalı fonksiyonun birinci tanımı kullanılır.
\( f(7, 4) = 7^2 - 2(4) + 7 = 48 \)
\( 2 + 6 \) çift sayı olduğu için \( f(2, 6) \) değerini bulmak için parçalı fonksiyonun ikinci tanımı kullanılır.
\( f(2, 6) = 4(2) + 6^2 = 44 \)
\( f(7, 4) - f(2, 6) = 48 - 44 = 4 \) bulunur.
\( f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2 - y^2} \)
iki değişkenli fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterFonksiyonun tanımlı olması için birinci karekök ifadesinin içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( x^2 + y^2 - 1 \ge 0 \)
\( x^2 + y^2 \ge 1 \)
Fonksiyonun tanımlı olması için ikinci karekök ifadesinin de içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( 1 - x^2 - y^2 \ge 0 \)
\( x^2 + y^2 \le 1 \)
\( x^2 + y^2 \) için iki eşitsizliğin kesişim kümesini alalım.
\( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \)
\( x^2 + y^2 = 1 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonu birim çember üzerinde tanımlı bir fonksiyondur.
\( A = \{(-2, 1), (3, 0), (4, 5), (8, -2)\} \)
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x, y) = 4x + 2y + 1 \) olduğuna göre, \( f(A) \) görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster\( A \) kümesindeki her elemanın görüntüsünü bulalım.
\( f(-2, 1) = 4(-2) + 2(1) + 1 = -5 \)
\( f(3, 0) = 4(3) + 2(0) + 1 = 13 \)
\( f(4, 5) = 4(4) + 2(5) + 1 = 27 \)
\( f(8, -2) = 4(8) + 2(-2) + 1 = 29 \)
\( f(A) = \{-5, 13, 27, 29\} \) bulunur.
Aşağıdaki çok değişkenli fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
(a) \( f(x, y, z) = \sqrt{3 - x^2 - y^2 - z^2} \)
(b) \( g(x, y, z, t) = \log{\dfrac{1 + x^2}{y - z - t}} \)
(c) \( h(x, y, z, t) = \dfrac{x^2 + y^2}{z^2 + t^2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x, y, z) = \sqrt{3 - x^2 - y^2 - z^2} \)
\( f \) fonksiyonunda karekök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( 3 - x^2 - y^2 - z^2 \ge 0 \)
\( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \)
\( x^2 + y^2 + z^2 \le 3 \)
(b) seçeneği:
\( g(x, y, z, t) = \log{\dfrac{1 + x^2}{y - z - t}} \)
\( g \) fonksiyonunda logaritma içi pozitif olmalıdır.
Pay her zaman pozitif olduğuna göre paydanın pozitif olma koşulunu yazalım.
\( (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \)
\( y - z - t \gt 0 \)
(c) seçeneği:
\( h(x, y, z, t) = \dfrac{x^2 + y^2}{z^2 + t^2} \)
\( h \) fonksiyonunda payda sıfırdan farklı olmalıdır.
\( (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \)
\( (z, t) \ne (0, 0) \)