Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de sürekli artıyorsa ya da sabit kalıyorsa (yani azalmıyorsa) fonksiyon bu aralıkta artan ya da azalmayan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta artan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta artabilir ya da sabit kalabilir, ama azalamaz.
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,
\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \le f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında artan (azalmayan) bir fonksiyondur.
Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de sürekli artıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin artan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta kesin artan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta azalamaz ya da sabit kalamaz, sadece artabilir.
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,
\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \lt f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında kesin artan bir fonksiyondur.
Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri sürekli azalıyorsa ya da sabit kalıyorsa (yani artmıyorsa) fonksiyon bu aralıkta azalan ya da artmayan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta azalan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta azalabilir ya da sabit kalabilir, ama artamaz.
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,
\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \ge f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında azalan (artmayan) bir fonksiyondur.
Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri sürekli azalıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin azalan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta kesin azalan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta artamaz ya da sabit kalamaz, sadece azalabilir.
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,
\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \gt f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında kesin azalan bir fonksiyondur.
Yukarıdaki koşullar sağlandığı sürece bir fonksiyonun bir noktada sürekli ya da türevli olmaması artan ya da azalan olmasına engel değildir. Örneğin aşağıdaki fonksiyon \( x = c \) noktasında süreksiz, \( x = d \) noktasında türevsiz olsa da \( (a, b) \) aralığında artandır.
Aşağıda grafiği verilen \( f(x) = x^3 \) fonksiyonu her ne kadar \( x = 0 \) noktasında sabit gözükse de (bu noktadaki teğetinin eğimi sıfır olsa da) tüm tanım aralığında kesin artan bir fonksiyondur. Bunun sebebi (aşağıda ispatını verdiğimiz üzere) fonksiyonun hiçbir iki noktasında aynı değere sahip olmamasıdır.
Yukarıda verdiğimiz terimler bir fonksiyonun tüm tanım kümesinde olduğu gibi belirli bir aralıktaki davranışını tanımlamak için de kullanılabilir. Buna göre bir fonksiyon belirli bir aralıkta artan, diğer bir aralıkta azalan, üçüncü bir aralıkta da sabit olabilir.
Bir fonksiyon tüm tanım kümesinde artan (ya da azalan) ise bu fonksiyona monoton artan (azalan) ya da daima artan (azalan) fonksiyon denir. Benzer şekilde, bir fonksiyon tüm tanım aralığında kesin artan (azalan) ise bu fonksiyona kesin monoton artan (azalan) fonksiyon denir.
Kesin monoton fonksiyonlar herhangi iki \( x \) değerinin görüntüsü aynı olamayacağı için aynı zamanda birebir fonksiyonlardır.
Temel bazı fonksiyonların artan/azalan oldukları aralıklar aşağıda verilmiştir.
Grafik | Fonksiyon |
---|---|
Doğrusal Fonksiyon \( m \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = mx + c \) Tüm reel sayılarda artan |
|
Doğrusal Fonksiyon \( m \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = mx + c \) Tüm reel sayılarda azalan |
|
Parabol \( a \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^2 + bx + c \) \( (-\infty, r) \) için azalan \( (r, +\infty) \) için artan |
|
Parabol \( a \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^2 + bx + c \) \( (-\infty, r) \) için artan \( (r, +\infty) \) için azalan |
|
3. Dereceden Polinom Fonksiyonu \( a \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^3 \) Tüm reel sayılarda artan |
|
3. Dereceden Polinom Fonksiyonu \( a \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^3 \) Tüm reel sayılarda azalan |
|
Sinüs Fonksiyonu \( f(x) = \sin{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \frac{\pi}{2}) \) için artan \( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \) için azalan \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \)için artan |
|
Kosinüs Fonksiyonu \( f(x) = \cos{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \pi) \) için azalan \( (\pi, 2\pi) \) için artan |
|
Tanjant Fonksiyonu \( f(x) = \tan{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \frac{\pi}{2}) \) için artan \( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \) için artan \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \)için artan |
|
Kotanjant Fonksiyonu \( f(x) = \cot{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \pi) \) için azalan \( (\pi, 2\pi) \) için azalan |
|
Üstel Fonksiyon \( a \gt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = a^x \) Tüm reel sayılarda artan |
|
Üstel Fonksiyon \( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = a^x \) Tüm reel sayılarda azalan |
|
Logaritma Fonksiyonu \( a \gt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = \log_a{x} \) Pozitif reel sayılarda artan |
|
Logaritma Fonksiyonu \( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = \log_a{x} \) Pozitif reel sayılarda azalan |
Artan ve azalan fonksiyonlar arasındaki işlemler sonucunda oluşan fonksiyonların artan ya da azalan olma durumları aşağıdaki gibidir.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( (a, b) \) aralığında artan fonksiyonlar olmak üzere,
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının azalan olması durumunda yukarıdaki işlem sonuçları artan yerine azalan, azalan yerine artan olacaktır.
\( f(x) = (k - 1)x^2 + 2x + k + 4 \) fonksiyonunun tüm reel sayılarda daima artan olması için \( k \) kaç olmalıdır?
Çözümü Göster\( f(x) = (k - 4)x + 5 \) fonksiyonunun daima azalan olması için \( k \) yerine yazılabilecek rakamlar toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) kesin azalan bir fonksiyon olmak üzere,
\( f(a + 2) = 4, f(a - 3) = 8, f(2a - 8) = 6 \) veriliyor.
Buna göre \( a \)'nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster\( f \) artan ve \( g \) azalan fonksiyonlar olmak üzere,
\( f(2) = b + f(-1) \) ve
\( g(3) = a + g(0) \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. \( f(a) \lt f(b) \)
II. \( g(a) \gt g(b) \)
III. \( f(g(a)) \gt f(g(b)) \)
Çözümü GösterAşağıdaki fonksiyonların artan oldukları en geniş aralıklara sırasıyla \( A \), \( B \) ve \( C \) dersek bu üç aralık arasındaki kapsama ilişkisi nedir?
I. \( f(x) = x^2 - 4x \)
II. \( g(x) = x^3 \)
III. \( h(x) = \sqrt{x} \)
Çözümü Göster\( n \), \( m \) ve \( t \) reel sayılar olmak üzere, pozitif reel sayılarda tanımlı \( f \), \( g \) ve \( h \) fonksiyonlarıyla ilgili,
\( p: f(x) = n^x \) fonksiyonu azalandır.
\( q: g(x) = \log_t{x} \) fonksiyonu artandır.
\( r: h(x) = mx + n \) fonksiyonu artandır.
önermeleri veriliyor.
\( (p \lor r)' \Rightarrow q \equiv 0 \) olduğuna göre, \( n \), \( m \) ve \( t \) sayılarını büyükten küçüğe sıralayın.
Çözümü Göster\( f(x) = 3^x - 5 \) fonksiyonu verilmiştir. Buna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri tüm tanım aralığında artandır?