Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Artan Fonksiyon

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de sürekli artıyorsa ya da sabit kalıyorsa (yani azalmıyorsa) fonksiyon bu aralıkta artan ya da azalmayan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta artan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta artabilir ya da sabit kalabilir, ama azalamaz.

Artan fonksiyon
Artan fonksiyon

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de sürekli artıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin artan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta kesin artan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta azalamaz ya da sabit kalamaz, sadece artabilir.

Azalan Fonksiyon

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri sürekli azalıyorsa ya da sabit kalıyorsa (yani artmıyorsa) fonksiyon bu aralıkta azalan ya da artmayan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta azalan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta azalabilir ya da sabit kalabilir, ama artamaz.

Azalan fonksiyon
Azalan fonksiyon

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri sürekli azalıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin azalan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta kesin azalan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta artamaz ya da sabit kalamaz, sadece azalabilir.

Yukarıdaki koşullar sağlandığı sürece bir fonksiyonun bir noktada sürekli ya da türevli olmaması artan ya da azalan olmasına engel değildir. Örneğin aşağıdaki fonksiyon \( x = c \) noktasında süreksiz, \( x = d \) noktasında türevsiz olsa da \( (a, b) \) aralığında artandır.

Artan/azalan olma, süreklilik ve türevlilik
Artan/azalan olma, süreklilik ve türevlilik

Aşağıda grafiği verilen \( f(x) = x^3 \) fonksiyonu her ne kadar \( x = 0 \) noktasında sabit gözükse de (bu noktadaki teğetinin eğimi sıfır olsa da) tüm tanım aralığında kesin artan bir fonksiyondur. Bunun sebebi (aşağıda ispatını verdiğimiz üzere) fonksiyonun hiçbir iki noktasında aynı değere sahip olmamasıdır.

Küp fonksiyonu
Küp fonksiyonu

Monoton Fonksiyon

Yukarıda verdiğimiz terimler bir fonksiyonun tüm tanım kümesinde olduğu gibi belirli bir aralıktaki davranışını tanımlamak için de kullanılabilir. Buna göre bir fonksiyon belirli bir aralıkta artan, diğer bir aralıkta azalan, üçüncü bir aralıkta da sabit olabilir.

Bir fonksiyon tüm tanım kümesinde artan (ya da azalan) ise bu fonksiyona monoton artan (azalan) ya da daima artan (azalan) fonksiyon denir. Benzer şekilde, bir fonksiyon tüm tanım aralığında kesin artan (azalan) ise bu fonksiyona kesin monoton artan (azalan) fonksiyon denir.

Kesin monoton fonksiyonlar herhangi iki \( x \) değerinin görüntüsü aynı olamayacağı için aynı zamanda birebir fonksiyonlardır.

Temel Fonksiyonlarda Artan/Azalan Aralıklar

Temel bazı fonksiyonların artan/azalan oldukları aralıklar aşağıda verilmiştir.

Grafik Fonksiyon
Artan/azalan fonksiyon (doğru)

Doğrusal Fonksiyon

\( m \gt 0 \) olmak üzere,

\( f(x) = mx + c \)

Tüm reel sayılarda artan

Artan/azalan fonksiyon (doğru)

Doğrusal Fonksiyon

\( m \lt 0 \) olmak üzere,

\( f(x) = mx + c \)

Tüm reel sayılarda azalan

Artan/azalan fonksiyon (parabol)

Parabol

\( a \gt 0 \) olmak üzere,

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

\( (-\infty, r) \) için azalan

\( (r, +\infty) \) için artan

Artan/azalan fonksiyon (parabol)

Parabol

\( a \lt 0 \) olmak üzere,

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

\( (-\infty, r) \) için artan

\( (r, +\infty) \) için azalan

Artan/azalan fonksiyon (kübik)

3. Dereceden Polinom Fonksiyonu

\( a \gt 0 \) olmak üzere,

\( f(x) = ax^3 \)

Tüm reel sayılarda artan

Artan/azalan fonksiyon (kübik)

3. Dereceden Polinom Fonksiyonu

\( a \lt 0 \) olmak üzere,

\( f(x) = ax^3 \)

Tüm reel sayılarda azalan

Artan/azalan fonksiyon (sinüs)

Sinüs Fonksiyonu

\( f(x) = \sin{x} \)

\( (0, 2\pi) \) aralığında:

\( (0, \frac{\pi}{2}) \) için artan

\( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \) için azalan

\( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \)için artan

Artan/azalan fonksiyon (kosinüs)

Kosinüs Fonksiyonu

\( f(x) = \cos{x} \)

\( (0, 2\pi) \) aralığında:

\( (0, \pi) \) için azalan

\( (\pi, 2\pi) \) için artan

Artan/azalan fonksiyon (tanjant)

Tanjant Fonksiyonu

\( f(x) = \tan{x} \)

\( (0, 2\pi) \) aralığında:

\( (0, \frac{\pi}{2}) \) için artan

\( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \) için artan

\( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \)için artan

Artan/azalan fonksiyon (kotanjant)

Kotanjant Fonksiyonu

\( f(x) = \cot{x} \)

\( (0, 2\pi) \) aralığında:

\( (0, \pi) \) için azalan

\( (\pi, 2\pi) \) için azalan

Artan/azalan fonksiyon (üstel)

Üstel Fonksiyon

\( a \gt 1 \) olmak üzere,

\( f(x) = a^x \)

Tüm reel sayılarda artan

Artan/azalan fonksiyon (üstel)

Üstel Fonksiyon

\( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere,

\( f(x) = a^x \)

Tüm reel sayılarda azalan

Artan/azalan fonksiyon (logaritma)

Logaritma Fonksiyonu

\( a \gt 1 \) olmak üzere,

\( f(x) = \log_a{x} \)

Pozitif reel sayılarda artan

Artan/azalan fonksiyon (logaritma)

Logaritma Fonksiyonu

\( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere,

\( f(x) = \log_a{x} \)

Pozitif reel sayılarda azalan

Artan ve Azalan Fonksiyonlar Arası İşlemler

Artan ve azalan fonksiyonlar arasındaki işlemler sonucunda oluşan fonksiyonların artan ya da azalan olma durumları aşağıdaki gibidir.

\( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( (a, b) \) aralığında artan fonksiyonlar olmak üzere,

  • \( f + g \) fonksiyonu da aynı aralıkta artan fonksiyondur.
  • \( -f \) fonksiyonu aynı aralıkta azalan fonksiyondur.
  • \( \frac{1}{f} \) fonksiyonu aynı aralıkta azalan fonksiyondur.
  • Belirtilen aralıkta \( f(x) \gt 0 \) ve \( g(x) \gt 0 \) olmak koşuluyla, \( f \cdot g \) fonksiyonu aynı aralıkta artan fonksiyondur.

\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının azalan olması durumunda yukarıdaki işlem sonuçları artan yerine azalan, azalan yerine artan olacaktır.

SORU 1:

\( f(x) = (k - 1)x^2 + 2x + k + 4 \) fonksiyonunun tüm reel sayılarda daima artan olması için \( k \) kaç olmalıdır?

Çözümü Göster
SORU 2:

\( f(x) = (k - 4)x + 5 \) fonksiyonunun daima azalan olması için \( k \) yerine yazılabilecek rakamlar toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:

\( f \) kesin azalan bir fonksiyon olmak üzere,

\( f(a + 2) = 4, f(a - 3) = 8, f(2a - 8) = 6 \) veriliyor.

Buna göre \( a \)'nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( f \) artan ve \( g \) azalan fonksiyonlar olmak üzere,

\( f(2) = b + f(-1) \) ve

\( g(3) = a + g(0) \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

I. \( f(a) \lt f(b) \)

II. \( g(a) \gt g(b) \)

III. \( f(g(a)) \gt f(g(b)) \)

Çözümü Göster
SORU 5:

Aşağıdaki fonksiyonların artan oldukları en geniş aralıklara sırasıyla \( A \), \( B \) ve \( C \) dersek bu üç aralık arasındaki kapsama ilişkisi nedir?

I. \( f(x) = x^2 - 4x \)

II. \( g(x) = x^3 \)

III. \( h(x) = \sqrt{x} \)

Çözümü Göster
SORU 6:

\( n \), \( m \) ve \( t \) reel sayılar olmak üzere, pozitif reel sayılarda tanımlı \( f \), \( g \) ve \( h \) fonksiyonlarıyla ilgili,

\( p: f(x) = n^x \) fonksiyonu azalandır.

\( q: g(x) = \log_t{x} \) fonksiyonu artandır.

\( r: h(x) = mx + n \) fonksiyonu artandır.

önermeleri veriliyor.

\( (p \lor r)' \Rightarrow q \equiv 0 \) olduğuna göre, \( n \), \( m \) ve \( t \) sayılarını büyükten küçüğe sıralayın.

Çözümü Göster
SORU 7:

\( f(x) = 3^x - 5 \) fonksiyonu verilmiştir. Buna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri tüm tanım aralığında artandır?

  • \( -f(x) \)
  • \( f(-x) \)
  • \( -f(-x) \)
Çözümü Göster

« Önceki
Fonksiyon Grafiklerine Giriş
Sonraki »
Tek ve Çift Fonksiyonlar


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır