Yerel Minimum ve Maksimum Noktalarının Bulunması

Aşağıdaki tabloda önceki bölümde gördüğümüz türevlenebilir ekstremum noktaların, büküm noktalarının ve durağan noktaların bir özeti verilmiştir.

Bu tabloda görebileceğimiz gibi, yerel minimum ve maksimum noktalarını bulmak için sadece fonksiyonun birinci türevini sıfıra eşitlediğimizde sonuç bize yatay (durağan) büküm noktalarını da verecektir. Bu sebeple yerel minimum ve maksimum noktaları bulabilmek için ek bir kontrole ihtiyaç duyulacaktır, bu da birinci türevi sıfır olan, ama büküm noktası olmayan noktaları bulmaktır.

Bir noktanın ekstremum nokta olup olmadığını anlayabilmek için aşağıdaki iki testten birini uygulayabiliriz.

Birinci Türev Testi

Bir \( x = a \) noktası \( f \) fonksiyonunun durağan bir noktası olmak üzere (\( f'(a) = 0 \)),

Fonksiyonun birinci türevi \( x = a \) noktasında negatiften pozitife işaret değiştiriyorsa, \( x = a \) noktası bir yerel minimum noktasıdır.
Fonksiyonun birinci türevi \( x = a \) noktasında pozitiften negatife işaret değiştiriyorsa, \( x = a \) noktası bir yerel maksimum noktasıdır.
Aksi durumda \( x = a \) noktası bir yatay (durağan) büküm noktasıdır.

Eğer fonksiyonun birinci türevinin \( x = a \) noktasında çift katlı bir kökü varsa, birinci türevin bu noktada işaret değiştirmediğinden emin olabiliriz, dolayısıyla bu durumda bu noktada bir yerel minimum ya da maksimum yoktur.

İkinci Türev Testi

Bir \( x = a \) noktası \( f \) fonksiyonunun durağan bir noktası olmak üzere (\( f'(a) = 0 \)),

\( f''(a) \gt 0 \) ise \( x = a \) noktası bir yerel minimum noktasıdır.
\( f''(a) \lt 0 \) ise \( x = a \) noktası bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(a) = 0 \) ya da \( f''(a) \) tanımlı değilse, \( x = a \) noktası bir yerel minimum noktası olabilir, bir yerel maksimum noktası olabilir ya da ikisi de olmayabilir.