Ortalama Değişim Oranı

Bir doğru için değişim oranının tüm doğru boyunca sabit ve doğrunun eğimine eşit olduğundan bahsettik, ancak elimizdeki fonksiyon bir eğri ise değişim oranı fonksiyonun farklı bölümlerinde farklı değerlere sahip olacaktır.

Bir eğri için değişim oranı
Bir eğri için değişim oranı

Örnek olarak yukarıda verilen fonksiyonun üç farklı noktasında üç farklı değişim oranı oluşmaktadır, grafikte sağa doğru ilerledikçe \( x \)'teki aynı birim değişim için \( y \)'de artan düzeyde bir değişim olmaktadır. Dolayısıyla doğrusal olmayan bir fonksiyonda değişim oranını hangi iki nokta arasında hesapladığımız önem taşımaktadır.

Bir fonksiyonun grafiği üzerinde seçeceğimiz iki farklı nokta arasında hesaplayacağız değişim oranına ortalama değişim oranı denir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.

Ortalama değişim oranı
Ortalama değişim oranı

İki nokta arasındaki ortalama değişim oranı sadece bu iki noktanın ordinat ve apsis değerleri arasındaki net değişime bakar, fonksiyonun bu iki nokta arasındaki davranışını dikkate almaz. Örneğin aşağıdaki grafikteki dört fonksiyon \( a \) ve \( b \) arasında çok farklı davranışlar gösterse de, bu iki nokta arasındaki ortalama değişim oranları birbirine eşittir.

Ortalama değişim oranı
Ortalama değişim oranı

Ortalama değişim oranına aşağıdaki örnekleri verebiliriz:

  • Bir aracın iki şehir arasındaki ortalama saatlik hızı (gidilen toplam mesafe bölü toplam süre)
  • Bir ülkenin nüfusundaki yıllık ortalama artış oranı (nüfustaki artış bölü yıl sayısı)
  • Son 5 yıldaki ortalama enflasyon (bu süredeki toplam fiyat artışı bölü yıl sayısı)
  • Bir ağacın boyunun büyüme hızı (ağacın boyundaki toplam artış bölü yıl sayısı)
  • Bir makinenin saatlik üretim hızı (belirli bir süredeki üretim adedi bölü saat olarak toplam süre)
SORU:

Hareketli bir aracın \( t \). dakika itibariyle konumu \( f(t) \) fonksiyonu ile verilmiştir.

\( f(t) = t^2 + 4t + 9 \)

Buna göre aracın 1. ve 3. dakikalar arasındaki ortalama hızını bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = x + e^{x + 1} \) olduğuna göre,

\( f \) fonksiyonunun \( [-1, +1] \) aralığındaki ortalama değişim oranını bulunuz.

Çözümü Göster


SORU:

\( g(x) = \sin{x} - \cos{x} \) olduğuna göre,

\( g \) fonksiyonunun \( [-\frac{\pi}{2}, \pi] \) aralığındaki ortalama değişim oranını bulunuz.

Çözümü Göster


« Önceki
Değişim Oranı
Sonraki »
Anlık Değişim Oranı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır