Minimum ve Maksimum Noktaları
Yerel Minimum ve Maksimum Noktaları
\( \epsilon \) (epsilon) sıfırdan büyük ve çok küçük bir reel sayı olmak üzere, bir fonksiyon grafiğinde \( x = a \) noktası çevresinde \( I = (a - \epsilon, a + \epsilon) \) şeklinde bir aralık tanımlayalım.
Tüm \( x \in I \) noktaları için \( f(a) \le f(x) \) oluyorsa \( x = a \) noktası bu fonksiyonun bir yerel minimum noktasıdır.
Tüm \( x \in I \) noktaları için \( f(a) \ge f(x) \) oluyorsa \( x = a \) noktası bu fonksiyonun bir yerel maksimum noktasıdır.
Bir diğer ifadeyle, fonksiyon değeri hemen solundaki ve sağındaki noktaların fonksiyon değerinden küçük (büyük) ya da onlara eşit olan noktalara yerel minimum (maksimum) nokta denir.
Bir fonksiyonun yerel minimum ve maksimum noktalarına genel bir terim olarak ekstremum noktalar da denir.
Bir fonksiyonun tanım aralığının kapalı uç noktaları aynı zamanda birer yerel minimum ya da yerel maksimum noktasıdır. Tanım aralığının açık uç noktaları ise birer yerel minimum ya da yerel maksimum noktası değildir. Buna göre \( [a, d) \) aralığında tanımlı aşağıdaki \( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktası bir yerel maksimum noktasıdır, ancak \( x = d \) noktası bir yerel minimum noktası değildir.
Bir fonksiyonun sabit olduğu bir aralıktaki tüm noktalar yukarıdaki tanımı sağladığı için hem yerel minimum hem de yerel maksimum noktalarıdır. Buna göre aşağıdaki \( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktası bir yerel maksimum, \( x = b \) noktası bir yerel minimum, \( (a, b) \) açık aralığındaki tüm noktalar da hem yerel minimum hem de yerel maksimum noktalarıdır.
Ekstremum Noktaların Türevi
Ekstremum noktaların türevlenebilir olma zorunluluğu yoktur. Aşağıda \( (a, d) \) aralığında tanımlı bir fonksiyonun türevlenebilir olmayan iki ekstremum noktası gösterilmiştir.
Bir ekstremum nokta türevlenebilir ise türevi sıfırdır. Ancak bir sonraki bölümde göreceğimiz gibi türevin sıfır olduğu her nokta ekstremum nokta olmak zorunda değildir.
Aşağıda farklı grafiklerin \( x = a \) noktasının yerel minimum olma durumları incelenmiştir. Benzer grafikleri yerel maksimum noktaları için de çizebiliriz.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Fonksiyon \( x = a \) noktasının hemen solundaki ve sağındaki noktalar içindeki en küçük değerini \( x = a \) noktasında almaz, bu yüzden bu nokta bir yerel minimum noktası değildir. |
|
Fonksiyon \( x = a \) noktasının hemen solundaki ve sağındaki noktalar içindeki en küçük değerini \( x = a \) noktasında alır, bu yüzden bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. |
|
Fonksiyon \( x = a \) noktasının hemen solundaki ve sağındaki noktalar içindeki en küçük değerini \( x = a \) noktasında alır, bu yüzden bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. |
Mutlak Minimum ve Maksimum Noktaları
Bir fonksiyonun tanım aralığında aldığı en küçük değere o fonksiyonun mutlak minimum değeri, bu değeri aldığı nokta ya da noktalara da mutlak minimum noktası denir.
Bir fonksiyonun tanım aralığında aldığı en büyük değere o fonksiyonun mutlak maksimum değeri, bu değeri aldığı nokta ya da noktalara da mutlak maksimum noktası denir.
Bir noktanın mutlak minimum ya da mutlak maksimum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktadaki değerinin bir reel sayı olması gerekir. Bunun bir sonucu olarak aşağıdaki yorumları yapabiliriz.
- Fonksiyon değeri negatif sonsuza giden fonksiyonların mutlak minimum, pozitif sonsuza giden fonksiyonların da mutlak maksimum noktaları yoktur.
- Bir fonksiyonun yerel minimum (maksimum) noktalarının olması mutlak minimum (maksimum) noktalarının olmasını gerektirmez.
Uç Değer Teoremi
Uç Değer Teoremi'ne göre, \( [a, b] \) kapalı aralığında tanımlı ve sürekli bir \( f \) fonksiyonu bu aralıkta en az bir kez mutlak minimum ve en az bir kez mutlak maksimum değeri alır.
\( f \) \( [a, b] \) aralığında tanımlı ve sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
Her \( x \in [a, b] \) değeri için,
\( f(c) \le f(x) \le f(d) \)
koşulunu sağlayan en az bir \( c \) ve en az bir \( d \) değeri vardır.
Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyon grafiklerinin mutlak minimum ve maksimum noktaları incelenmiştir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
\( f: (a, b) \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( x = a \) noktası tanım aralığına dahil olmadığı için fonksiyonun mutlak minimumu yoktur. Fonksiyon değeri pozitif tarafta \( +\infty \)'ye gittiği için fonksiyonun mutlak maksimumu yoktur. |
|
\( f: [a, b) \to \mathbb{R} \) olmak üzere, Fonksiyonun \( x = c \) noktasında mutlak minimumu vardır. \( x = b \) noktası tanım aralığına dahil olmadığı için fonksiyonun mutlak maksimumu yoktur. |
|
\( f: \mathbb{R} \to [-1, 1] \) olmak üzere, Fonksiyonun \( x = \{ \ldots, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \ldots \} \) noktalarında mutlak minimumu vardır. Fonksiyonun \( x = \{ \ldots, -\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) noktalarında mutlak maksimumu vardır. |
Bir fonksiyonun extremum noktaları ile ilgili aşağıdaki önermelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
- Her fonksiyonun bir mutlak minimum (maksimum) noktası vardır.
- Bir fonksiyonun birden fazla mutlak minimum (maksimum) noktası olabilir.
- Sabit fonksiyonun tüm noktaları yerel minimum (maksimum) noktadır.
Çözümü Göster
Bir fonksiyonun extremum noktaları ile ilgili aşağıdaki önermelerden hangisi ya da hangileri her zaman doğrudur?
- Bir fonksiyonun mutlak minimumu (maksimumu) yerel minimum değerlerinin en küçüğüne (en büyüğüne) eşittir.
- Yerel minimum (maksimum) nokta bir fonksiyonun azalandan artan (artandan azalan) fonksiyona geçtiği noktadır.
Çözümü Göster