Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi

\( \abs{ax + b} \) şeklindeki bir mutlak değer fonksiyonun grafiği süreklidir, dolayısıyla fonksiyonun herhangi bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

Buna göre verilen limit değerlerini direkt yerine koyma yöntemi ile bulabiliriz.

\( \abs{a - 4} + \abs{7 - a} = 3 \)

Bu denklemin kritik noktaları \( a = 4 \) ve \( a = 7 \)'dir. Buna göre bu kritik noktaların oluşturduğu üç aralık için ayrı denklemler yazalım.

Durum 1: \( a \lt 4 \) için:

\( -(a - 4) + (7 - a) = 3 \)

\( -a + 4 + 7 - a = 3 \)

\( a = 4 \)

\( a = 4 \) ilgili aralıkta olmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2: \( 4 \le a \lt 7 \) için:

\( (a - 4) + (7 - a) = 3 \)

\( 3 = 3 \)

Her durumda geçerli bir eşitlik elde ettiğimiz için bu aralıktaki tüm \( a \) tam sayı değerleri geçerli birer çözümdür.

\( a \in \{4, 5, 6\} \)

Durum 3: \( 7 \le a \) için:

\( (a - 4) - (7 - a) = 3 \)

\( a - 4 - 7 + a = 3 \)

\( a = 7 \)

\( a = 7 \) ilgili aralıkta olduğu için geçerli bir çözümdür.

Eşitliğin çözüm kümesi üç aralık için bulduğumuz çözümlerin birleşim kümesidir.

Çözüm kümesi \( = \{4, 5, 6, 7\} \) olur.

Bu değerlerin toplamı \( 4 + 5 + 6 + 7 = 22 \) bulunur.

Limiti alınan ifadenin terimlerinden \( x^3 \) ve \( 2^x \) tüm reel sayılarda, \( \sqrt{x} \) pozitif reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = 4 \) noktasında süreklidirler ve limitleri tanımlıdır. Dolayısıyla limit toplama kuralı ile limit ifadesini terimlere dağıtıp doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 4} (x^3 - 2^x + 2\sqrt{x} - 12) \)

\( = \lim_{x \to 4} {x^3} - \lim_{x \to 4} {2^x} + \lim_{x \to 4} {2\sqrt{x}} - \lim_{x \to 4} {12} \)

\( = 4^3 - 2^4 + 2\sqrt{4} - 12 \)

\( = 64 - 16 + 4 - 12 = 40 \) bulunur.

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Paydaki \( a\sqrt{a} \) ifadesi pozitif reel sayılarda, diğer terimler tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( a = 3 \) noktasında süreklidirler, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{a \to 3} (a\sqrt{a} - a) = 3\sqrt{3} - 3 \)

\( \lim_{a \to 3} (a - 2) = 3 - 2 = 1 \)

Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{a \to 3} \dfrac{a\sqrt{a} - a}{a - 2} = \dfrac{\lim_{a \to 3} (a\sqrt{a} - a)}{\lim_{a \to 3} (a - 2)} \)

\( = \dfrac{3\sqrt{3} - 3}{1} = 3\sqrt{3} - 3 \) bulunur.

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = 2 \) noktasında süreklidirler, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to 2} (x^2 + 5x + 4) = 2^2 + 5 \cdot 2 = 4 = 18 \)

\( \lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^3 + 3x - 6} = \sqrt[3]{2^3 + 3 \cdot 2 - 6} = \sqrt[3]{8} = 2 \)

Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 5x + 4}{\sqrt[3]{x^3 + 3x - 6}} = \dfrac{\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x + 4)}{\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^3 + 3x - 6}} \)

\( = \dfrac{18}{2} = 9 \) bulunur.

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

Paydaki logaritma fonksiyonu pozitif reel sayılarda, paydadaki doğrusal fonksiyon tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = e \) noktasında süreklidirler, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.

\( \lim_{x \to e} (\ln{x} - e^2) = \ln{e} - e^2 \) \( = 1 - e^2 \)

\( \lim_{x \to e} (\dfrac{x}{e} - x) = \dfrac{e}{e} - e \) \( = 1 - e \)

Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to e} \dfrac{\ln{x} - e^2}{\frac{x}{e} - x} = \dfrac{\lim_{x \to e} (\ln{x} - e^2)}{\lim_{x \to e} (\frac{x}{e} - x)} \)

\( = \dfrac{1 - e^2}{1 - e} \)

Paydaki ifadeye kare farkı özdeşliğini uygulayalım.

\( = \dfrac{(1 - e)(1 + e)}{1 - e} \)

\( = 1 + e \) bulunur.