Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi

Önceki bölümde polinom fonksiyonları gibi bazı fonksiyonlarda limitini bulmak istediğimiz değeri ilgili fonksiyonda \( x \) yerine koyarak tek adımda limit değerini hesaplayabildiğimizi gördük. Bu şekilde limit hesaplama yöntemine doğrudan yerine koyma yöntemi denir.

Limitin tanımında limitin bir noktadaki fonksiyon değeri ile değil, fonksiyonun o nokta civarındaki davranışı ile ilgilendiğini belirtmiştik. Bu açıdan bakınca limit değerini bulmak için fonksiyon değerini hesaplıyor olmamız bir çelişki gibi gözükebilir.

Doğrudan yerine koyma yöntemini kullanabilmemiz için yeterli bir koşul fonksiyonun limitini bulmak istediğimiz noktayı içeren açık bir aralıkta sürekli olmasıdır. Önümüzdeki bölümde detaylı inceleyeceğimiz süreklilik kavramına göre, bir fonksiyon bir noktada sürekli ise fonksiyonun o noktada limiti tanımlıdır ve limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir. Dolayısıyla limitini bulmak istediğimiz noktada sürekli olduğunu bildiğimiz bir fonksiyonun o noktadaki fonksiyon değerini hesapladığımızda limit değerini de bulmuş oluruz.

Burada sürekliliğin tanımına girmeyecek olsak da, lise müfredatında karşılaştığımız fonksiyonların büyük bir kısmının tanım aralıklarında sürekli olduklarını söyleyebiliriz. Sıklıkla karşılaştığımız bu fonksiyonlar ve sürekli oldukları en geniş aralıklar aşağıdaki tabloda belirtilmiştir, dolayısıyla bu fonksiyonlar için belirtilen aralıklarda doğrudan yerine koyma yöntemiyle limit hesaplayabiliriz (daha detaylı bilgi için: süreklilik tanımı).

Bu fonksiyonların tanımlarında \( x \) olarak belirttiğimiz ifadelerin yerine bir fonksiyon gelmesi durumunda bu fonksiyonun süreksiz veya tanımsız olduğu noktalar \( f(x) \) fonksiyonunu da süreksiz ve tanımsız yapacaktır.

Fonksiyon Denklem Sürekli Olduğu En Geniş Aralık
Sabit fonksiyon \( f(x) = c \) Tüm reel sayılar için sürekli
Doğrusal fonksiyon \( f(x) = mx + c \) Tüm reel sayılar için sürekli
Kuvvet fonksiyonu \( f(x) = x^n \) Tüm reel sayılar için sürekli
Köklü fonksiyon (çift dereceli) \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) \( [0, +\infty) \) için sürekli
Köklü fonksiyon (tek dereceli) \( f(x) = \sqrt[2n + 1]{x} \) Tüm reel sayılar için sürekli
Mutlak değer fonksiyonu \( f(x) = \abs{x} \) Tüm reel sayılar için sürekli
Polinom fonksiyonu \( f(x) = a_nx^n + \ldots + a_0 \) Tüm reel sayılar için sürekli
Rasyonel fonksiyon \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) Paydayı sıfır yapan reel kökler dışında tüm reel sayılar için sürekli
Sinüs fonksiyonu \( f(x) = \sin{x} \) Tüm reel sayılar için sürekli
Kosinüs fonksiyonu \( f(x) = \cos{x} \) Tüm reel sayılar için sürekli
Tanjant fonksiyonu \( f(x) = \tan{x} \) \( \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) dışında tüm reel sayılar için sürekli
Kotanjant fonksiyonu \( f(x) = \cot{x} \) \( \{ \ldots, 0, \pi, 2\pi, \ldots \} \) dışında tüm reel sayılar için sürekli
Sekant fonksiyonu \( f(x) = \sec{x} \) \( \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) dışında tüm reel sayılar için sürekli
Kosekant fonksiyonu \( f(x) = \csc{x} \) \( \{ \ldots, 0, \pi, 2\pi, \ldots \} \) dışında tüm reel sayılar için sürekli
Üstel fonksiyon \( f(x) = a^x \) Tüm reel sayılar için sürekli
Logaritma fonksiyonu \( f(x) = \log_a{x} \) \( (0, +\infty) \) için sürekli

« Önceki
Limit Kuralları
Sonraki »
Parçalı Fonksiyonların Limiti


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır