Limitin Grafik Yorumu

Soldan ve sağdan limit değerlerini bulalım.

\( \lim_{x \to 4^-} f(x) = 7 \)

\( \lim_{x \to 4^+} f(x) = 7 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit olduğu için iki taraflı limit tanımlıdır ve değeri soldan ve sağdan limitlerin değerine eşittir.

\( \lim_{x \to 4} f(x) = 7 \)

Bu noktadaki fonksiyon değeri limit değerinden farklıdır.

\( f(4) = 5 \)

Soruda istenen toplamı bulalım.

\( f(4) + \lim_{x \to 4} f(x) = 5 + 7 = 12 \) bulunur.

I. öncül: Bu aralıkta fonksiyon sadece \( x = -1 \) noktasında tanımsızdır, \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) noktalarında ise tanımlıdır. Bu öncül yanlıştır.

II. öncül: \( x = -3 \) noktasında fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri tanımlı ve sıfıra eşittir, dolayısıyla iki taraflı limiti de tanımlı ve sıfıra eşittir. Buna göre soldan limit iki taraflı limit değerine eşittir. Bu öncül doğrudur.

III. öncül: \( x = 2 \) noktasında sağdan limit değeri 2'dir. Bu noktadaki fonksiyon değeri 3'tür ve bu değerin limite bir etkisi yoktur. Bu öncül yanlıştır.

IV. öncül: \( x = 3 \) noktasında soldan limit değeri 3'tür. Bu öncül doğrudur.

Buna göre II. ve IV. öncüller doğrudur.

Her nokta için soldan, sağdan ve iki taraflı limit değerleri aşağıda verilmiştir. Her noktadaki fonksiyon değerleri limitin varlığını ya da değerini etkilemese de bilgi amaçlı verilmiştir.

\( x = -3 \) noktası için:

\( \lim_{x \to -3^-} f(x) = -1 \)

\( \lim_{x \to -3^+} f(x) = -1 \)

\( \lim_{x \to -3} f(x) = -1 \)

\( f(-3) = -1 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlıdır ve birbirine eşittir, dolayısıyla limit vardır ve değeri \( -1 \)'dir.

\( x = -2 \) noktası için:

\( \lim_{x \to -2^-} f(x) = 0 \)

\( \lim_{x \to -2^+} f(x) = 0 \)

\( \lim_{x \to -2} f(x) = 0 \)

\( f(-2) = 1 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlıdır ve birbirine eşittir, dolayısıyla limit vardır ve değeri \( 0 \)'dır. Fonksiyon değerinin limit değerinden farklı olması limitin tanımlı olmasına engel değildir.

\( x = -1 \) noktası için:

\( \lim_{x \to -1^-} f(x) = 1 \)

\( \lim_{x \to -1^+} f(x) = 3 \)

\( \lim_{x \to -1} f(x) \Longrightarrow \) Tanımsız

\( f(-1) = 3 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlıdır, ancak birbirinden farklıdır, dolayısıyla limit tanımlı değildir.

\( x = 0 \) noktası için:

\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \)

\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \)

\( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)

\( f(0) = 1 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlıdır ve birbirine eşittir, dolayısıyla limit vardır ve değeri \( 1 \)'dir.

\( x = 1 \) noktası için:

\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -1 \)

\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = -1 \)

\( \lim_{x \to 1} f(x) = -1 \)

\( f(1) \Longrightarrow \) Tanımsız

Soldan ve sağdan limitler tanımlıdır ve birbirine eşittir, dolayısıyla limit vardır ve değeri \( -1 \)'dir. Fonksiyonun bu noktada tanımsız olması limitin tanımlı olmasına engel değildir.

\( x = 2 \) noktası için:

\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = 0 \)

\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 0 \)

\( \lim_{x \to 2} f(x) = 0 \)

\( f(2) = 0 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlıdır ve birbirine eşittir, dolayısıyla limit vardır ve değeri \( 0 \)'dır.

\( x = 3 \) noktası için:

\( \lim_{x \to 3^-} f(x) = 1 \)

\( \lim_{x \to 3^+} f(x) = 2 \)

\( \lim_{x \to 3} f(x) \Longrightarrow \) Tanımsız

\( f(3) = 3 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlıdır, ancak birbirinden farklıdır, dolayısıyla limit tanımlı değildir.

\( x = 4 \) noktası için:

\( \lim_{x \to 4^-} f(x) = 2 \)

\( \lim_{x \to 4^+} f(x) = 2 \)

\( \lim_{x \to 4} f(x) = 2 \)

\( f(4) = 2 \)

Soldan ve sağdan limitler tanımlıdır ve birbirine eşittir, dolayısıyla limit vardır ve değeri \( 2 \)'dir.

Buna göre var olan limitlerin toplamı \( -1 + 0 + 1 + -1 + 0 + 2 = 1 \) olarak bulunur.

İstenen tek taraflı limit değerleri aşağıdaki gibi olur.

\( \lim_{x \to -6^+} f(x) = 0 \)

\( \lim_{x \to -2^-} f(x) = 6 \)

\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 \)

\( \lim_{x \to 6^-} f(x) = -2 \)

Buna göre ifadenin sonucu \( 0 + 6 + 4 + (-2) = 8 \) olarak bulunur.

I. öncül:

\( x \to 1^+ \) iken \( x - 2 \to -1^+ \) olur.

Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = -1 \) noktasındaki sağdan limitidir.

\( \lim_{x \to 1^+} f(x - 2) = f(-1^+) \)

Grafiğe göre \( f(-1^+) = 2 \) olduğu için bu öncül doğrudur.

II. öncül:

\( x \to 2^- \) iken \( 3 - x \to 1^+ \) olur.

Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki sağdan limitidir.

\( \lim_{x \to 2^-} f(3 - x) = f(1^+) \)

Grafiğe göre \( f(1^+) = -1 \) olduğu için bu öncül yanlıştır.

III. öncül:

\( x \to 0^- \) iken \( x + 3 \to 3^- \) olur.

Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 3 \) noktasındaki soldan limitidir.

\( \lim_{x \to 0^-} f(x + 3) = f(3^-) \)

Grafiğe göre \( f(3^-) = -1 \) olduğu için bu öncül doğrudur.

Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.

\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)

\( (g \circ f)(4) = g(f(4)) \)

Verilen grafiğe göre \( f(4) = 0 \)'dır.

\( g(f(4)) = g(0) \)

Verilen \( g \) fonksiyonu tanımından \( g(0) \)'ı bulalım.

\( g(0) = 2f(0) + \lim_{x \to 0^+} f(x) + 4 \)

Verilen grafikten ihtiyaç duyduğumuz değerleri bulalım.

\( f(0) = 2 \)

\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = -2 \)

Bulduğumuz değerleri \( g \) fonksiyonunun tanımında yerlerine yazalım.

\( g(0) = 2 \cdot 2 + (-2) + 4 = 6 \)

Buna göre \( (g \circ f)(4) = 6 \) bulunur.