Epsilon-delta (\( \varepsilon-\delta \)) tanımı limitin standart ve en doğru tanımı olarak kabul edilir ve önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz limit kural ve özelliklerinin ispatlarının da temelini teşkil eder.
NOT: Bu tanım kavramsal olarak anlaşılması çok kolay olmayan bir tanımdır ve özellikle lise seviyesinde karşımıza çıkacak çoğu problemde ihtiyaç duyacağımız bir tanım değildir. Her ne kadar limit kurallarının ispatlarının anlaşılması açısından gerekli olsa da, limit konusunun başlarında bu tanımın tam anlaşılmaması bir eksiklik olarak görülmemelidir.
\( f \), \( a \) noktasını içeren açık bir aralıkta tanımlı, \( a \) noktasında tanımlı olan ya da olmayan bir fonksiyon olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} f(x) = L \) limiti,
seçilebilecek her \( \varepsilon \gt 0 \) değeri için aşağıdaki koşulu sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) değeri bulunabiliyorsa mevcuttur.
Her \( x \) değeri için, \( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Bu tanıma göre, eğer \( f \) fonksiyonunun \( a \) noktasındaki limiti tanımlı ve \( L \) ise seçeceğimiz her \( \varepsilon \) değeri için \( (L - \varepsilon, L + \varepsilon) \) aralığındaki tüm fonksiyon değerlerini içine alan bir \( (a - \delta, a + \delta) \) aralığı bulabiliriz.
Seçeceğimiz bazı \( \varepsilon \) değerleri için bu şekilde bir \( \delta \) değeri mevcut değilse \( f \) fonksiyonunun \( a \) noktasında limiti yoktur.
Bu tanımda önemli bir nokta \( \delta \) değerinin \( \varepsilon \) değerine bağlı olması, dolayısıyla örnek ve ispatlarda \( \delta \) değerini \( \varepsilon \) cinsinden bulmaya çalışacak olmamızdır.
SORU:
\( \lim_{x \to 3} (4x - 2) = 10 \) limitinin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak gösterelim.
Çözümü Göster
Bu limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımına göre gösterebilmek için aşağıdaki koşulun her durumda sağlandığı bir \( \delta \) değerini \( \varepsilon \) cinsinden ifade etmemiz gerekmektedir.
\( \varepsilon \gt 0 \) ve \( \delta \gt 0 \) olmak üzere, her \( x \) değeri için,
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
koşulunu sağlayan \( \delta \) değerini \( \varepsilon \) cinsinden bulmaya çalışacağız.
Soruda verilen bilgileri bu koşullu önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - 3} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(4x - 2) - 10} \lt \varepsilon \)
İkinci önermeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim.
\( \abs{(4x - 2) - 10} \lt \varepsilon \)
\( \abs{4x - 12} \lt \varepsilon \)
\( \abs{4(x - 3)} \lt \varepsilon \)
\( 4\abs{x - 3} \lt \varepsilon \)
\( \abs{x - 3} \lt \dfrac{\varepsilon}{4} \)
Amacımız her \( x \) değeri için yukarıdaki koşullu önermeyi sağlayacak \( \delta \) değerini \( \varepsilon \) cinsinden ifade etmekti. Elde ettiğimiz \( \abs{x - 3} \lt \dfrac{\varepsilon}{4} \) eşitsizliğinin \( 0 \lt \abs{x - 3} \lt \delta \) eşitsizliği ile benzer olduğunu görüyoruz, dolayısıyla \( \delta = \dfrac{\varepsilon}{4} \) olduğu durumda tanımda verilen koşullu önermenin her zaman sağlanacağını söyleyebiliriz.
\( \delta = \dfrac{\varepsilon}{4} \) olduğu durumda, her \( x \) değeri için,
\( 0 \lt \abs{x - 3} \lt \delta \Longrightarrow \abs{(4x - 2) - 10} \lt \varepsilon \)
koşullu önermesi sağlanır. Bu yüzden aşağıdaki limit değeri doğrudur.
\( \lim_{x \to 3} (4x - 2) = 10 \)
SORU:
\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} = 5 \) limitinin doğruluğunu epsilon-delta tanımını kullanarak gösterelim.
Çözümü Göster
Bu limitin doğruluğunu epsilon-delta tanımına göre gösterebilmek için aşağıdaki koşulun her durumda sağlandığı bir \( \delta \) değerini \( \varepsilon \) cinsinden ifade etmemiz gerekmektedir.
\( \varepsilon \gt 0 \) ve \( \delta \gt 0 \) olmak üzere, her \( x \) değeri için,
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
koşulunu sağlayan \( \delta \) değerini \( \varepsilon \) cinsinden bulmaya çalışacağız.
Soruda verilen bilgileri bu koşullu önermede yerine koyalım.
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \Longrightarrow \abs{\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} - 5} \lt \varepsilon \)
İkinci önermeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim.
\( \abs{\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} - 5} \lt \varepsilon \)
\( \abs{\dfrac{x^2 + x - 6 - 5(x - 2)}{x - 2}} \lt \varepsilon \)
\( \abs{\dfrac{x^2 + x - 6 - 5x + 10)}{x - 2}} \lt \varepsilon \)
\( \abs{\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}} \lt \varepsilon \)
\( \abs{\dfrac{(x - 2)^2}{x - 2}} \lt \varepsilon \)
\( \abs{x - 2} \lt \varepsilon \)
Amacımız her \( x \) değeri için yukarıdaki koşullu önermeyi sağlayacak \( \delta \) değerini \( \varepsilon \) cinsinden ifade etmekti. Elde ettiğimiz \( \abs{x - 2} \lt \varepsilon \) eşitsizliğinin \( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \) eşitsizliği ile aynı olduğunu görüyoruz, dolayısıyla \( \delta = \varepsilon \) olduğu durumda tanımda verilen koşullu önermenin her zaman sağlanacağını söyleyebiliriz.
\( \delta = \varepsilon \) olduğu durumda, her \( x \) değeri için,
\( 0 \lt \abs{x - 2} \lt \delta \Longrightarrow \abs{\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} - 5} \lt \varepsilon \)
koşullu önermesi sağlanır. Bu yüzden aşağıdaki limit değeri doğrudur.
\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} = 5 \)
