Parçalı Fonksiyonların Limiti

Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı tanımlara sahip fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Bir parçalı fonksiyonun farklı tanımlarının geçerli olduğu bu aralıkların alt ve üst sınır noktalarına kritik nokta denir.

Bir parçalı fonksiyonun kritik bir noktasında limitinin tanımlı olması için, limit tanımı gereği bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır. Tek taraflı limitlerden en az biri tanımlı değilse ya da bu limit değerleri birbirine eşit değilse parçalı fonksiyonun bu noktada limiti tanımlı değildir.

Parçalı fonksiyonların limiti
Parçalı fonksiyonların limiti

Parçalı fonksiyonların kritik noktalardaki limitini birkaç örnekle detaylandıralım.

Bir parçalı fonksiyonun kritik olmayan bir noktasındaki limiti, fonksiyonun ilgili aralıktaki tanımının bu noktadaki limitine eşittir.

Kritik bir noktadaki tek taraflı limit değerini bulmak için noktanın incelenen tarafında tanımlı olan fonksiyonun tek taraflı limitini hesaplamamız yeterlidir.

SORU 1:

\( f(x) = \begin{cases} 3 & x \lt -3 \\ -x & -3 \le x \lt 2 \\ x & 2 \le x \end{cases} \)

parçalı fonksiyonunun kritik noktalarındaki limit değerlerini bulun.

Çözümü Göster
SORU 2:

\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \lt 3 \\ 5 & x = 3 \\ -(x - 3)^2 + 10 & 3 \lt x \end{cases} \)

parçalı fonksiyonunun kritik noktalarındaki limit değerlerini bulun.

Çözümü Göster
SORU 3:

\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \lt -2 \\ 0 & x = -2 \\ ax - 3 & -2 \lt x \end{cases} \)

parçalı fonksiyonunun \( x = -2 \) noktasında limiti tanımlı olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = \begin{cases} x^3 + 2, & x \lt 1 \\ -2, & x = 1 \\ x(1 - n), & x \gt 1 \end{cases} \)

parçalı fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasında limiti tanımlı olduğuna göre, \( f(n) \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + 3, & x \lt 1 \\ 8x + 7, & x = 1 \\ 2x + 4, & x \gt 1 \end{cases} \)

parçalı fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

I. \( \lim_{x \to 1} f(x) = 6 \)

II. \( \lim_{x \to -2} f(x) = 3 \)

III. \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = 18 \)

Çözümü Göster
SORU 6:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{2ax + bx}{1 + x}, x \le 1 \\ \dfrac{ax + 1}{x}, & x \gt 1 \end{cases} \)

fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasında limitinin olması için \( a \) ve \( b \) sayıları ne olmalıdır?

Çözümü Göster
SORU 7:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \lt 0 \\ x^2 + 8, & 0 \le x \lt 4 \\ \dfrac{5x + 2}{3}, & x \ge 4 \end{cases} \)

Yukarıdaki parçalı fonksiyon tanımına göre aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?

\( \lim_{x \to 0^-} f(x) + \lim_{x \to 4^-} f(x) \) \( + \lim_{x \to 5} f(x) \)

Çözümü Göster
SORU 8:

\( f: (-2, 4] \to \mathbb{R} \) fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibidir.

\( f(x) = \begin{cases} 2, & -2 \lt x \le 0 \\ -3, & 0 \lt x \le 2 \\ 4, & 2 \lt x \le 4 \end{cases} \)

\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( \lim_{x \to a^+} f(x) \gt \lim_{x \to b^-} f(x) \)

eşitsizliğini sağlayan kaç \( (a, b) \) sıralı ikilisi yazılabilir?

Çözümü Göster

« Önceki
Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi
Sonraki »
Mutlak Değerli İfadelerin Limiti


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır