Konu tekrarı için: Parçalı Fonksiyonlar
Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı tanımlara sahip fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Bir parçalı fonksiyonun farklı tanımlarının geçerli olduğu bu aralıkların alt ve üst sınır noktalarına kritik nokta denir.
Bir parçalı fonksiyonun kritik bir noktasında limitinin tanımlı olması için, limit tanımı gereği bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır. Tek taraflı limitlerden en az biri tanımlı değilse ya da bu limit değerleri birbirine eşit değilse parçalı fonksiyonun bu noktada limiti tanımlı değildir.
\( a, L \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} g(x) & x \lt a \\ h(x) & x \ge a \end{cases} \)
parçalı fonksiyonunun \( x = a \) kritik noktasındaki soldan ve sağdan limitleri aşağıdaki gibi tanımlı ve \( L \)'ye eşit ise,
\( \lim_{x \to a^-} g(x) = \lim_{x \to a^+} h(x) = L \)
fonksiyonunun bu noktadaki iki taraflı limiti de tanımlı ve \( L \)'ye eşittir.
\( \lim_{x \to a} f(x) = L \)
Aksi takdirde fonksiyonun bu noktadaki limiti tanımsızdır.
Parçalı fonksiyonların kritik noktalardaki limitini birkaç örnekle detaylandıralım.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & x \lt 3 \\ -x + 8 & x \ge 3 \end{cases} \)
fonksiyonunun \( x = 3 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( x = 3 \) parçalı fonksiyonun kritik noktasıdır.
Fonksiyonun \( x = 3 \) noktasında limitinin tanımlı olması için, bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
Bu noktadaki soldan limit için \( x \)'in 3'ten küçük olduğu (birinci) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır. Fonksiyon bu aralıkta ikinci dereceden bir polinom olduğu için süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x^2 - 4) \) \( = 3^2 - 4 = 5 \)
Bu noktadaki sağdan limit için \( x \)'in 3'ten büyük olduğu (ikinci) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır. Fonksiyon bu aralıkta doğrusal olduğu için süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (-x + 8) \) \( = -3 + 8 = 5 \)
Soldan ve sağdan limitler tanımlı ve birbirine eşit oldukları için bu noktada limit tanımlıdır ve soldan/sağdan limit değerine eşittir.
\( \lim_{x \to 3} f(x) = 5 \)
Aşağıdaki fonksiyon grafiğinde bu noktada soldan ve sağdan limitlerin tanımlı ve birbirine eşit oldukları görülebilir.
\( f(x) = \begin{cases} -2x + 8 & x \le 6 \\ x - 12 & x \gt 6 \end{cases} \)
fonksiyonunun \( x = 6 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( x = 6 \) parçalı fonksiyonun kritik noktasıdır.
Fonksiyonun \( x = 6 \) noktasında limitinin tanımlı olması için, bu noktanın her iki tarafında tanımlı olan fonksiyonların bu noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
Bu noktadaki soldan limit için \( x \)'in 6'dan küçük olduğu (birinci) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır. Fonksiyon bu aralıkta doğrusal olduğu için süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 6^-} f(x) = \lim_{x \to 6^-} (-2x + 8) \) \( = -2(6) + 8 = -4 \)
Bu noktadaki sağdan limit için \( x \)'in 6'dan büyük olduğu (ikinci) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır. Fonksiyon bu aralıkta doğrusal olduğu için süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 6^+} f(x) = \lim_{x \to 6^+} (x - 12) \) \( = 6 - 12 = -6 \)
Soldan ve sağdan limitler tanımlı olsa da birbirine eşit olmadıkları için bu noktada limit tanımsızdır.
\( \lim_{x \to 6} f(x) \Longrightarrow \) Tanımsız
Aşağıdaki fonksiyon grafiğinde bu noktada soldan ve sağdan limitlerin tanımlı oldukları, ama birbirine eşit olmadıkları görülebilir.
Bir parçalı fonksiyonun kritik olmayan bir noktasındaki limiti, fonksiyonun ilgili aralıktaki tanımının bu noktadaki limitine eşittir.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & x \lt 3 \\ -x + 8 & x \ge 3 \end{cases} \)
fonksiyonunun \( x = 5 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( x = 5 \) parçalı fonksiyonun bir kritik noktası değildir. Bu nokta için parçalı fonksiyonun \( f(x) = -x + 8 \) tanımı geçerlidir, dolayısıyla bu tanımın \( x = 5 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( \lim_{x \to 5} f(x) = \lim_{x \to 5} (-x + 8) \)
Fonksiyon bu aralıkta doğrusal olduğu için süreklidir ve doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 5} (-x + 8) = -5 + 8 = 3 \)
Aşağıdaki fonksiyon grafiğinde bu noktadaki soldan ve sağdan limitlerin fonksiyon değerine eşit olduğu görülebilir.
Kritik bir noktadaki tek taraflı limit değerini bulmak için noktanın incelenen tarafında tanımlı olan fonksiyonun tek taraflı limitini hesaplamamız yeterlidir.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - x & x \lt 2 \\ 2x + 2 & 2 \le x \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) + \lim_{x \to 2^+} f(x) \) toplamını bulalım.
\( x = 2 \) parçalı fonksiyonun kritik noktasıdır.
Bu noktadaki soldan limit için \( x \)'in 2'den küçük olduğu (birinci) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır.
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - x) = 2^2 - 2 = 2 \)
Bu noktadaki sağdan limit için \( x \)'in 2'den büyük olduğu (ikinci) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır.
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x + 2) = 2 \cdot 2 + 2 = 6 \)
Buna göre soldan ve sağdan limitlerin toplamı aşağıdaki gibi bulunur.
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) + \lim_{x \to 2^+} f(x) \) \( = 2 + 6 = 8 \)
Soruda iki taraflı limit değeri istenmediği için soldan ve sağdan limitlerin eşitliğine bakmamıza gerek yoktur. Bu noktada iki taraflı limit tanımlı olmasa da tek taraflı limitler tanımlıdır.
\( f(x) = \begin{cases} 3 & x \lt -3 \\ -x & -3 \le x \lt 2 \\ x & 2 \le x \end{cases} \)
parçalı fonksiyonunun kritik noktalarındaki limit değerlerini bulun.
Çözümü Göster\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \lt 3 \\ 5 & x = 3 \\ -(x - 3)^2 + 10 & 3 \lt x \end{cases} \)
parçalı fonksiyonunun kritik noktalarındaki limit değerlerini bulun.
Çözümü Göster\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \lt -2 \\ 0 & x = -2 \\ ax - 3 & -2 \lt x \end{cases} \)
parçalı fonksiyonunun \( x = -2 \) noktasında limiti tanımlı olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} x^3 + 2, & x \lt 1 \\ -2, & x = 1 \\ x(1 - n), & x \gt 1 \end{cases} \)
parçalı fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasında limiti tanımlı olduğuna göre, \( f(n) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + 3, & x \lt 1 \\ 8x + 7, & x = 1 \\ 2x + 4, & x \gt 1 \end{cases} \)
parçalı fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \lim_{x \to 1} f(x) = 6 \)
II. \( \lim_{x \to -2} f(x) = 3 \)
III. \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = 18 \)
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{2ax + bx}{1 + x}, x \le 1 \\ \dfrac{ax + 1}{x}, & x \gt 1 \end{cases} \)
fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasında limitinin olması için \( a \) ve \( b \) sayıları ne olmalıdır?
Çözümü Göster\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \lt 0 \\ x^2 + 8, & 0 \le x \lt 4 \\ \dfrac{5x + 2}{3}, & x \ge 4 \end{cases} \)
Yukarıdaki parçalı fonksiyon tanımına göre aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) + \lim_{x \to 4^-} f(x) \) \( + \lim_{x \to 5} f(x) \)
Çözümü Göster\( f: (-2, 4] \to \mathbb{R} \) fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = \begin{cases} 2, & -2 \lt x \le 0 \\ -3, & 0 \lt x \le 2 \\ 4, & 2 \lt x \le 4 \end{cases} \)
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a^+} f(x) \gt \lim_{x \to b^-} f(x) \)
eşitsizliğini sağlayan kaç \( (a, b) \) sıralı ikilisi yazılabilir?
Çözümü Göster