Belirsizlik Durumları

İki fonksiyondan oluşan bir ifadede bu fonksiyonların limitleri ayrı ayrı \( 0 \), \( 1 \) ya da \( \pm\infty \) olarak bulunuyorsa ve tüm ifadenin limiti için aşağıdaki 7 sonuçtan biri elde ediliyorsa bir belirsizlik durumu söz konusudur. Burada geçen \( 0 \) ve \( 1 \) sayıları birer sabit sayı değil, limit işlemi sonucunda elde edilen değerlerdir.

\( \dfrac{0}{0}, \quad \dfrac{\infty}{\infty}, \quad \) \( \infty - \infty, \quad 0 \cdot \infty, \quad \) \( \infty^0, \quad 0^0, \quad 1^\infty \)

Bir Örnek Üzerinden Belirsizlik

Belirsizlik kavramını basit bir \( \frac{0}{0} \) belirsizliği üzerinden anlatmaya çalışalım. \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} \) limitinde pay ve paydadaki ifadeler ayrı ayrı sıfıra yaklaşmaktadır. Her iki limit değeri bu noktada sıfır olarak tanımlı iken belirsizlik bu iki ifadenin oranı için oluşmaktadır.

\( \lim_{x \to 0} x = 0 \) olduğu için,

\( \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x} \) limitinde \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Pay ve paydadaki birim fonksiyonun ve tüm ifadenin grafikleri aşağıda verilmiştir. Matematiksel olarak \( \frac{0}{0} \) belirsizliği elde etmiş olsak da bu grafikte tüm ifadenin 1 değerine yaklaştığını, dolayısıyla limitin tanımlı ve 1 olduğu görebiliriz.

Bu örnekte gördüğümüz gibi, bir belirsizlik durumu ile karşılaşmamız limitin sıfır, sonsuz ya da tanımsız olduğu şeklinde yorumlanmamalıdır. Belirsizlik durumları tanımsızlık durumlarından farklı olarak bazı yöntemlerle giderilebilmektedir.

Belirsizlik Durumları

\( f \) ve \( g \) iki fonksiyon olmak üzere, bu fonksiyonlar arasındaki işlemler sonucunda karşılaşabileceğimiz belirsizlik durumları aşağıdaki gibidir. Bu durumların her birinin detaylarını ve her birini giderme yöntemlerini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.

Belirsizlik	İfade	Koşullar	Örnek
\( \dfrac{0}{0} \)	\( \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \)	\( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \)	\( \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} \)
\( \dfrac{\infty}{\infty} \)	\( \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \)	\( \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) \( \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty \)	\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x - 2}{x + 1} \)
\( \infty - \infty \)	\( \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] \)	\( \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) \( \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty \)	\( \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1}) \)
\( 0 \cdot \infty \)	\( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] \)	\( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) \( \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty \)	\( \lim_{x \to -\infty} (x \cdot e^x) \)
\( \infty^0 \)	\( \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} \)	\( \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \)	\( \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} \)
\( 0^0 \)	\( \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} \)	\( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \)	\( \lim_{x \to 0^+} x^{\sin{x}} \)
\( 1^\infty \)	\( \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} \)	\( \lim_{x \to a} f(x) = 1 \) \( \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty \)	\( \lim_{x \to 1^+} x^{\frac{1}{x - 1}} \)

Belirsiz Olmayan Durumlar

\( c \in \mathbb{R}, \quad c \ne 0 \) olmak üzere, aşağıda listelenen durumlar birer belirsizlik olmayıp limit değerleri belirtildiği şekildedir.

Limit Değeri Sıfır

Aşağıdaki ifadelerin limiti belirsiz değil sıfırdır.

Durum	Örnek
\( \dfrac{0}{\infty}, \quad \dfrac{c}{\infty} \)	\( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \)
\( \infty^{-\infty} \)	\( \lim_{x \to +\infty} x^{-x} = 0 \)
\( c^\infty (0 \lt c \lt 1) \)	\( \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{2})^x = 0 \)
\( c^{-\infty} (c \gt 1) \)	\( \lim_{x \to +\infty} 2^{-x} = 0 \)

Limit Değeri Sonsuz

Aşağıdaki ifadelerin limiti belirsiz değil sonsuzdur.

Durum	Örnek
\( c + \infty, \quad \infty + \infty \)	\( \lim_{x \to +\infty} (x^2 + 2x) = +\infty \)
\( c \cdot \infty, \quad \infty \cdot \infty \)	\( \lim_{x \to +\infty} 3x = +\infty \)
\( \infty^c, \quad \infty^\infty \)	\( \lim_{x \to +\infty} x^x = +\infty \)
\( c^\infty (c \gt 1) \)	\( \lim_{x \to +\infty} 2^x = +\infty \)
\( c^{-\infty} (0 \lt c \lt 1) \)	\( \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{2})^{-x} = +\infty \)