Sonsuz Limit
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni bir \( a \) değerine soldan ya da sağdan yaklaşırken \( f(x) \) değeri pozitif (ya da negatif) yönde sınırsız büyüyorsa \( f \) fonksiyonunun bu noktadaki tek yönlü limiti pozitif (ya da negatif) sonsuz olur.
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = \pm\infty \)
\( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = \pm\infty \)
Aşağıda grafiği verilen \( f \) fonksiyonunun \( x = -3 \) noktasındaki soldan limiti pozitif sonsuz, sağdan limiti negatif sonsuz iken \( x = 4 \) noktasındaki soldan limiti negatif sonsuz, sağdan limiti pozitif sonsuzdur.
Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitlerinin ikisi de pozitif (ya da negatif) sonsuz ise bu noktadaki iki taraflı limiti pozitif (ya da negatif) sonsuz olur.
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = \infty \) ve \( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = \infty \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = -\infty \) ve \( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = -\infty \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = -\infty \)
Yukarıdaki iki grafikte görülebileceği üzere, bir fonksiyonun bir noktasının her iki tarafındaki tek taraflı limitler aynı ya da farklı yönlerde sonsuza gidebilir.
NOT: Yaptığımız limit tanıma göre, bir noktadaki limitin tanımlı olması için limit değeri bir reel sayı olarak tanımlı olmalıdır. Bir noktadaki limit için "pozitif ya da negatif sonsuz" ifadesi kullanmamız o noktada limitin tanımlı olduğu anlamına gelmez, sadece tanımsızlığa ek olarak fonksiyonun bu noktadaki davranışı ile ilgili ek bir bilgi verir ve bu noktadaki limiti yine tanımsız olarak kabul etmemiz gerekir.
Dikey Asimptot
Bir fonksiyonun \( x = a \) noktasındaki soldan veya sağdan limiti pozitif ya da negatif sonsuz ise bu noktada bir dikey asimptot oluşur. Bu dikey asimptot, denklemi \( x = a \) olan doğrudur.
Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( x = -2 \) ve \( x = 3 \) doğruları fonksiyonun dikey asimptotlarıdır.
Dikey asimptotlar fonksiyon grafiğinin bir parçası olmayıp fonksiyonun asimptotun oluştuğu nokta civarındaki davranışının daha iyi anlaşılmasını sağlamak için çizilir.
Bir fonksiyonun herhangi bir sayıda dikey asimptotu olabilir ya da hiç olmayabilir.
Bir fonksiyon dikey asimptotun oluştuğu noktada tanımsızdır, dolayısıyla grafiği dikey asimptota yaklaşır, ama hiçbir zaman kesmez. Bununla birlikte, bir fonksiyon parçalı fonksiyon şeklinde tanımlanarak dikey asimptotun oluştuğu noktadaki tanımsızlığı ve süreksizliği giderilebilir.
Aşağıdaki fonksiyonlarda belirtilen noktalarda dikey asimptot(lar) oluşur.
Rasyonel İfadeler
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan, ama payı sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur. Hem payı hem de paydayı sıfır yapan \( x \) değerlerinde ise dikey asimptot değil sadece tanımsız nokta oluşur.
\( f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 4} \) fonksiyonunun dikey asimptotlarını bulalım ve bu asimptotlar civarındaki davranışını belirleyelim.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)} \)
Paydayı sıfır yapan değerler \( x \in \{-2, 2\} \) olur.
Bu değerlerden herhangi biri payı sıfır yapmadığı için fonksiyonun \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) doğruları olmak üzere iki dikey asimptotu vardır.
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki dikey asimptotu civarındaki davranışını belirleyelim.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {\dfrac{x + 1}{x^2 - 4}} = \dfrac{2 + 1}{(2^-)^2 - 4} \)
\( = \dfrac{3}{4^- - 4} = \dfrac{3}{0^-} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} {\dfrac{x + 1}{x^2 - 4}} = \dfrac{2 + 1}{(2^+)^2 - 4} \)
\( = \dfrac{3}{4^+ - 4} = \dfrac{3}{0^+} = \infty \)
Fonksiyonun \( x = -2 \) noktasındaki dikey asimptotu civarındaki davranışını belirleyelim.
\( \lim\limits_{x \to -2^-} {\dfrac{x + 1}{x^2 - 4}} = \dfrac{-2 + 1}{(-2^-)^2 - 4} \)
\( = \dfrac{-1}{4^+ - 4} = \dfrac{-1}{0^+} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to -2^+} {\dfrac{x + 1}{x^2 - 4}} = \dfrac{-2 + 1}{(-2^+)^2 - 4} \)
\( = \dfrac{-1}{4^- - 4} = \dfrac{-1}{0^-} = \infty \)
Fonksiyonun grafiği ve dikey asimptotları aşağıda gösterilmiştir.
\( f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 2x - 3} \) fonksiyonunun dikey asimptotlarını bulalım ve bu asimptotlar civarındaki davranışını belirleyelim.
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 3)} \)
Paydayı sıfır yapan değerler \( x \in \{-1, 3\} \) olur.
Bu değerlerden \( x = -1 \) payı da sıfır yaptığı için bu noktada dikey asimptot oluşmaz, dolayısıyla fonksiyonun \( x = 3 \) doğrusu olmak üzere tek dikey asimptotu vardır.
Hem payı hem de paydayı sıfır yapan \( x = -1 \) noktasında dikey asimptot değil, tanımsız nokta oluşur.
Fonksiyonun \( x = 3 \) noktasındaki dikey asimptotu civarındaki davranışını belirleyelim.
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 3)}} = \dfrac{3 - 2}{3^- - 3} \)
\( = \dfrac{1}{0^-} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 3^+} {\dfrac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 3)}} = \dfrac{3 - 2}{3^+ - 3} \)
\( = \dfrac{1}{0^+} = \infty \)
Fonksiyonun grafiği, dikey asimptotu ve \( x = -1 \) noktasındaki tanımsızlık aşağıda gösterilmiştir.
\( n \). dereceden bir polinom fonksiyonunun en fazla \( n \) reel kökü olabileceği için, paydası \( n \). dereceden polinom fonksiyonu olan bir rasyonel fonksiyonun en fazla \( n \) dikey asimptotu olabilir.
Trigonometrik Fonksiyonlar
Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarını tanımsız yapan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
| Grafik | Fonksiyon ve Asimptotları |
|---|---|
|
Tanjant fonksiyonu: \( f(x) = \tan{x} \) Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) |
|
Kotanjant fonksiyonu: \( f(x) = \cot{x} \) Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) |
|
Sekant fonksiyonu: \( f(x) = \sec{x} \) Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) |
|
Kosekant fonksiyonu: \( f(x) = \csc{x} \) Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) |
Logaritma Fonksiyonu
Logaritma fonksiyonlarında logaritma içini sıfır yapan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
\( f(x) = \log(2x - 5) \) fonksiyonunun dikey asimptotlarını bulalım.
Logaritma için sıfır yapan değer \( x = \frac{5}{2} \) olur.
Buna göre fonksiyonun \( x = \frac{5}{2} \) doğrusu olmak üzere tek dikey asimptotu vardır.
Bu dikey asimptot aşağıda fonksiyon grafiği üzerinde gösterilmiştir.
Tanım gereği, dikey asimptot oluşan noktada fonksiyonun tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuzdur.
\( \lim\limits_{x \to \frac{5}{2}^+} {f(x)} = -\infty \)
Aşağıda bazı fonksiyonların dikey asimptota sahip oldukları noktalardaki tek yönlü limitleri verilmiştir.
\( x \to 0^+ \) iken \( \ln{x} \to -\infty \) olur.
\( x \to 0^+ \) iken \( \log_2{x} \to -\infty \) olur.
\( x \to 0^+ \) iken \( \log_{\frac{1}{2}}{x} \to \infty \) olur.
\( x \to 0^+ \) iken \( \frac{1}{x} \to \infty \) olur.
\( x \to 0^- \) iken \( \frac{1}{x} \to -\infty \) olur.
\( x \to \frac{\pi}{2}^- \) iken \( \tan{x} \to \infty \) olur.
\( x \to \frac{\pi}{2}^+ \) iken \( \tan{x} \to -\infty \) olur.
\( x \to 0^- \) iken \( \cot{x} \to -\infty \) olur.
\( x \to 0^+ \) iken \( \cot{x} \to \infty \) olur.
\( f(x) = \dfrac{5}{x - 1} \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki tek yönlü limitlerini bulalım.
Verilen noktadaki soldan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{5}{x - 1} = \dfrac{5}{1^- - 1} \)
\( = \dfrac{5}{0^-} = -\infty \)
Verilen noktadaki sağdan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{5}{x - 1} = \dfrac{5}{1^+ - 1} \)
\( = \dfrac{5}{0^+} = \infty \)
Fonksiyonun bu noktadaki soldan ve sağdan limitleri aşağıdaki grafikte görülebilir.
Aşağıdaki fonksiyonların dikey asimptotlarını bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{3x^2 + 5x - 1}{x^2 - 1} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + x - 12} \)
Çözümü GösterRasyonel ifadelerde paydadaki ifadeyi sıfır yapan, ama paydaki ifadeyi sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \)
Payı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 3} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( x = -3 \)
Bu değerin payı sıfır yapmadığını payın çarpanlarından görebiliriz.
Buna göre \( x = -3 \) doğrusu \( f \) fonksiyonunun tek dikey asimptotudur.
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{3x^2 + 5x - 1}{x^2 - 1} \)
Paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{3x^2 + 5x - 1}{(x - 1)(x + 1)} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( x \in \{ -1, 1 \} \)
Bu değerlerin payı sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( 3(1)^2 + 5(1) - 1 = 7 \ne 0 \)
\( 3(-1)^2 + 5(-1) - 1 = -3 \ne 0 \)
Buna göre \( x = 1 \) ve \( x = -1 \) doğruları \( g \) fonksiyonunun dikey asimptotlarıdır.
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + x - 12} \)
Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{(x + 5)(x + 1)}{(x + 4)(x - 3)} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( x \in \{ -4, 3 \} \)
Bu iki değerin de payı sıfır yapmadığını payın çarpanlarından görebiliriz.
Buna göre \( x = -4 \) ve \( x = 3 \) doğruları \( h \) fonksiyonunun dikey asimptotlarıdır.
Aşağıdaki fonksiyonların dikey asimptotlarını bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{5x - 10}{x^2 - 4} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^4 - 81} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \)
Çözümü GösterRasyonel ifadelerde paydadaki ifadeyi sıfır yapan, ama paydaki ifadeyi sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{5x - 10}{x^2 - 4} \)
Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{5(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( x \in \{ -2, 2 \} \)
Bu değerlerden \( x = 2 \) payı da sıfır yaptığı için bu noktada dikey asimptot oluşmaz.
Buna göre \( x = -2 \) doğrusu \( f \) fonksiyonunun tek dikey asimptotudur.
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^4 - 81} \)
Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{(x - 3)(x - 2)}{(x^2 - 9)(x^2 + 9)} \)
\( = \dfrac{(x - 3)(x - 2)}{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( x \in \{ -3, 3 \} \)
Bu değerlerden \( x = 3 \) payı da sıfır yaptığı için bu noktada dikey asimptot oluşmaz.
Buna göre \( x = -3 \) doğrusu \( f \) fonksiyonunun tek dikey asimptotudur.
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \)
Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( x \in \{ -1, 1 \} \)
Bu değerlerden \( x = -1 \) payı da sıfır yaptığı için bu noktada dikey asimptot oluşmaz.
Buna göre \( x = 1 \) doğrusu \( f \) fonksiyonunun tek dikey asimptotudur.
Aşağıdaki tek taraflı limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to -7^-} {\dfrac{2x}{x + 7}} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 6^-} {\dfrac{1 - 3x}{x - 6}} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to 8^+} {\dfrac{6}{8 - x}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -7^-} {\dfrac{2x}{x + 7}} = \dfrac{2(-7)}{-7^- + 7} \)
\( = \dfrac{-14}{0^-} = \infty \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 6^-} {\dfrac{1 - 3x}{x - 6}} = \dfrac{1 - 3(6)}{6^- - 6} \)
\( = \dfrac{1 - 18}{0^-} \)
\( = \dfrac{-17}{0^-} = \infty \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 8^+} {\dfrac{6}{8 - x}} = \dfrac{6}{8 - 8^+} \)
\( = \dfrac{6}{0^-} = -\infty \)
Aşağıdaki tek taraflı limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{x - 2}{x^2 - 1}} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{4}{9 - x^2}} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to -2^-} {\dfrac{5x + 1}{x^2 - 4}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {\dfrac{x - 2}{x^2 - 1}} = \dfrac{1 - 2}{(1^+)^2 - 1} \)
\( = \dfrac{-1}{1^+ - 1} \)
\( = \dfrac{-1}{0^+} = -\infty \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{4}{9 - x^2}} = \dfrac{4}{9 - (3^-)^2} \)
\( = \dfrac{4}{9 - 9^-} \)
\( = \dfrac{4}{0^+} = \infty \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -2^-} {\dfrac{5x + 1}{x^2 - 4}} = \dfrac{5(-2) + 1}{(-2^-)^2 - 4} \)
\( = \dfrac{-10 + 1}{4^+ - 4} \)
\( = \dfrac{-9}{0^+} = -\infty \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 2x - 15} \) fonksiyonunun \( x = 5 \) noktasındaki tek yönlü limitlerini bulunuz.
Çözümü GösterPaydayı çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 2x - 15} = \dfrac{1}{(x + 3)(x - 5)} \)
Verilen noktadaki soldan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 5^-} \dfrac{1}{(x + 3)(x - 5)} = \dfrac{1}{(5^- + 3)(5^- - 5)} \)
\( = \dfrac{1}{(8^-)(0^-)} \)
\( = \dfrac{1}{0^-} = -\infty \)
Verilen noktadaki sağdan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 5^+} \dfrac{1}{(x + 3)(x - 5)} = \dfrac{1}{(5^+ + 3)(5^+ - 5)} \)
\( = \dfrac{1}{(8^+)(0^+)} = \dfrac{1}{0^+} = \infty \)
\( f(x) = \dfrac{2x^2}{\ln{x} - 1} \) fonksiyonunun \( x = e \) noktasındaki tek yönlü limitlerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen noktadaki soldan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to e^-} \dfrac{2x^2}{\ln{x} - 1} = \dfrac{2e^2}{\ln{e^-} - 1} \)
Doğal logaritma fonksiyonu grafiğini düşünerek aşağıdaki çıkarımı yapabiliriz.
\( x \to e^- \) iken \( \ln{x} \to 1^- \) olur.
\( = \dfrac{2e^2}{1^- - 1} \)
\( = \dfrac{2e^2}{0^-} \)
\( = -\infty \)
Verilen noktadaki sağdan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to e^+} \dfrac{2x^2}{\ln{x} - 1} = \dfrac{2e^2}{\ln{e^+} - 1} \)
Doğal logaritma fonksiyonu grafiğini düşünerek aşağıdaki çıkarımı yapabiliriz.
\( x \to e^+ \) iken \( \ln{x} \to 1^+ \) olur.
\( = \dfrac{2e^2}{1^+ - 1} \)
\( = \dfrac{2e^2}{0^+} \)
\( = \infty \)
\( f(x) = \dfrac{3x - 2}{e^x - 1} \) fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasındaki tek yönlü limitlerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen noktadaki soldan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{3x - 2}{e^x - 1} = \dfrac{3(0) - 2}{e^{0^-} - 1} \)
\( = \dfrac{-2}{e^{0^-} - 1} \)
Üstel fonksiyon grafiğini düşünerek aşağıdaki çıkarımı yapabiliriz.
\( x \to 0^- \) iken \( e^x \to 1^- \) olur.
\( = \dfrac{-2}{1^- - 1} \)
\( = \dfrac{-2}{0^-} = \infty \)
Verilen noktadaki sağdan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{3x - 2}{e^x - 1} = \dfrac{3(0) - 2}{e^{0^+} - 1} \)
\( = \dfrac{-2}{e^{0^+} - 1} \)
Üstel fonksiyon grafiğini düşünerek aşağıdaki çıkarımı yapabiliriz.
\( x \to 0^+ \) iken \( e^x \to 1^+ \) olur.
\( = \dfrac{-2}{1^+ - 1} \)
\( = \dfrac{-2}{0^+} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to -2^+} \dfrac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to -2^+} \dfrac{x}{\sqrt{4 - x^2}} = \dfrac{-2}{\sqrt{4 - (-2^+)^2}} \)
\( = \dfrac{-2}{\sqrt{4 - 4^-}} \)
\( = \dfrac{-2}{\sqrt{0^+}} \)
\( = \dfrac{-2}{0^+} = -\infty \)