Sıkıştırma Teoremi ya da bir diğer adıyla Sandviç Teoremi, şu ana kadar öğrendiğimiz limit kural ve yöntemlerinin yeterli olmadığı bazı durumlarda bir fonksiyonun limitini bulmamızı sağlar.
Sıkıştırma Teoremi'ne göre, bir \( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasını içeren bir aralıkta, bu noktadaki limit değerlerini birbirine eşit ve \( L \) olarak hesaplayabildiğimiz \( g \) ve \( h \) fonksiyonları arasında kaldığını gösterebiliyorsak, \( f \) fonksiyonunun bu noktadaki limiti de \( L \) olmak zorundadır.
\( I \) reel sayılar kümesinde bir aralık (\( I \in \mathbb{R} \)) ve \( a \) bu aralıkta bir nokta (\( a \in I \)) olmak üzere,
\( I \) aralığındaki her \( x \) için,
- \( g(x) \le f(x) \le h(x) \) ve
- \( \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \)
olduğunu gösterebiliyorsak,
\( \lim_{x \to a} f(x) = L \) olmak zorundadır.
Limit fonksiyonun \( x = a \) noktasındaki değeri ile ilgilenmediği için, Sıkıştırma Teoremi'nin bir koşulu olarak belirttiğimiz \( g(x) \le f(x) \le h(x) \) eşitsizliği \( x = a \) noktasında geçerli olmak zorunda değildir, önemli olan \( f(x) \) değerinin bu aralıkta \( x = a \) dışındaki noktalarda iki fonksiyonun arasında kalmasıdır.
Sıkıştırma Teoremi'ni grafiksel olarak aşağıdaki gibi gösterebiliriz. Bu grafikte \( g \) ve \( h \) fonksiyonları sırasıyla \( f \) fonksiyonunun üst ve alt sınırlarını oluşturmaktadır, dolayısıyla bu iki fonksiyonun bir noktadaki limitinin tanımlı ve eşit olduğunu biliyorsak, \( f \) fonksiyonunun da bu noktadaki limitinin bu değere eşit olması gerekmektedir.
Sıkıştırma Teoremi ile limit hesaplamaya aşağıdaki gibi birkaç örnek verebiliriz.
SORU:
Aşağıdaki ifadenin limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin{x}}{x} \)
Çözümü Göster
Önce sinüs fonksiyonunun değer aralığını yazalım.
\( \quad -1 \le \sin{x} \le 1 \)
Eşitsizliğin üç ifadesini de \( x \)'e bölelim. Hesapladığımız limitte \( x \) pozitif sonsuza gittiği için \( x \)'i pozitif bir değer olarak alabiliriz, dolayısıyla eşitsizlik işaretlerinin yönünü değiştirmemize gerek yoktur.
\( \quad \dfrac{-1}{x} \le \dfrac{\sin{x}}{x} \le \dfrac{1}{x} \)
Limitini bulmak istediğimiz ifadenin iki ayrı fonksiyonun arasında kaldığını görüyoruz. Bu iki fonksiyonun \( x \) pozitif sonsuza giderken limit değerlerine baktığımızda, \( \dfrac{-1}{x} \) ifadesinin negatif taraftan, \( \dfrac{1}{x} \) ifadesinin pozitif taraftan sıfıra yaklaştığını görebiliriz.
\( \quad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0 \)
Dolayısıyla bizden istenen fonksiyonun limitinin de bu iki fonksiyonun limit değerlerinin arasında kalacağını, dolayısıyla sıfıra eşit olacağını söyleyebiliriz.
\( \quad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin{x}}{x} = 0 \)
SORU:
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin tüm gerçek sayılarda \( g(x) = 2x \) grafiğinin üstünde ve \( h(x) = x^2 + 1 \) grafiğinin altında kaldığı bilinmektedir. Buna göre aşağıdaki limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 1} f(x) \)
Çözümü Göster
Dikkat edilirse soruda \( f(x) \) fonksiyonunun tanımı verilmemiş, sadece grafiğinin tüm gerçek sayılarda \( g(x) \) ve \( h(x) \) grafikleri arasında kaldığı bilgisi verilmiştir.
\( g(x) \le f(x) \le h(x) \)
\( 2x \le f(x) \le x^2 + 1 \)
Sıkıştırma Teoremi'ni kullanıp kullanamayacağımızı görmek için, \( g(x) \) ve \( h(x) \) fonksiyonlarının \( x = 1 \) noktasındaki limit değerlerini bulalım. Her iki fonksiyonun da sürekli olduğunu bildiğimiz için direkt yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 1} g(x) = g(1) = 2 \cdot 1 = 2 \)
\( \lim_{x \to 1} h(x) = h(1) = 1^2 + 1 = 2 \)
\( g(x) \) ve \( h(x) \) fonksiyonlarının bu noktadaki limit değerlerinin eşit olduğunu görüyoruz, bu yüzden Sıkıştırma Teoremi'ne göre tüm gerçek sayılarda bu iki fonksiyonun arasında kalan \( f(x) \) fonksiyonunun da bu noktadaki limiti \( 2 \) olmak zorundadır.
\( \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \)
Bu örnekte, fonksiyon tanımını bilmediğimiz, dolayısıyla limit değerini hesaplayabilmemiz için elimizde başka bir yöntem olmayan bir fonksiyonun limitini Sıkıştırma Teoremi'ni kullanarak bulmuş olduk.
