Sıkıştırma Teoremi

Sıkıştırma Teoremi ya da bir diğer adıyla Sandviç Teoremi, şu ana kadar öğrendiğimiz limit kural ve yöntemlerinin yeterli olmadığı bazı durumlarda bir fonksiyonun limitini bulmamızı sağlar.

Sıkıştırma Teoremi'ne göre, bir \( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasını içeren bir aralıkta, bu noktadaki limit değerlerini birbirine eşit ve \( L \) olarak hesaplayabildiğimiz \( g \) ve \( h \) fonksiyonları arasında kaldığını gösterebiliyorsak, \( f \) fonksiyonunun bu noktadaki limiti de \( L \) olmak zorundadır.

Limit fonksiyonun \( x = a \) noktasındaki değeri ile ilgilenmediği için, Sıkıştırma Teoremi'nin bir koşulu olarak belirttiğimiz \( g(x) \le f(x) \le h(x) \) eşitsizliği \( x = a \) noktasında geçerli olmak zorunda değildir, önemli olan \( f(x) \) değerinin bu aralıkta \( x = a \) dışındaki noktalarda iki fonksiyonun arasında kalmasıdır.

Sıkıştırma Teoremi'ni grafiksel olarak aşağıdaki gibi gösterebiliriz. Bu grafikte \( g \) ve \( h \) fonksiyonları sırasıyla \( f \) fonksiyonunun üst ve alt sınırlarını oluşturmaktadır, dolayısıyla bu iki fonksiyonun bir noktadaki limitinin tanımlı ve eşit olduğunu biliyorsak, \( f \) fonksiyonunun da bu noktadaki limitinin bu değere eşit olması gerekmektedir.

Sıkıştırma Teoremi
Sıkıştırma Teoremi

Sıkıştırma Teoremi ile limit hesaplamaya aşağıdaki gibi birkaç örnek verebiliriz.

SORU:

Aşağıdaki ifadenin limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin{x}}{x} \)

Çözümü Göster


SORU:

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin tüm gerçek sayılarda \( g(x) = 2x \) grafiğinin üstünde ve \( h(x) = x^2 + 1 \) grafiğinin altında kaldığı bilinmektedir. Buna göre aşağıdaki limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 1} f(x) \)

Çözümü Göster


« Önceki
Üstel Belirsizlikler
Sonraki »
Diğer Konular


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır