Limit Kuralları

Bu bölümde bazı özel durumlar dışında kalan pek çok fonksiyonun limitini bulmakta kullanabileğimiz limit kurallarından bahsedeceğiz. Bu kuralların tümünün ispatları limitin epsilon-delta tanımını kullanarak yapılabilir.

Temel Limit Kuralları

Fonksiyonların limitini bulurken kullanacağınız en temel iki kural birim ve sabit fonksiyonların limitidir.

Birim Fonksiyonun Limiti

Birim fonksiyonun her noktadaki limiti fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.

Birim fonksiyonun limiti
Birim fonksiyonun limiti

Sabit Fonksiyonun Limiti

Sabit fonksiyonun her noktadaki limiti fonksiyonun sabit değerine eşittir.

Sabit fonksiyonun limiti
Sabit fonksiyonun limiti

Limit İşlem Kuralları

\( f \) ve \( g \) bir \( a \) noktasında limitlerinin birer reel sayı olarak tanımlı olduğunu bildiğimiz iki fonksiyon olsun.

Bu iki fonksiyon arasındaki işlemlerin sonucu olan fonksiyonların limit hesaplamalarında aşağıdaki kuralları kullanabiliriz. Burada vurgulamamız gereken önemli bir nokta, fonksiyonlardan herhangi birinin limitinin tanımsız ya da sonsuz olduğu durumlarda bu kuralların geçerli olmamasıdır.

Sabit Sayı İle Çarpma

Bir fonksiyonun sabit bir sayı ile çarpımının limiti fonksiyonun limitinin sabit sayı ile çarpımına eşittir.

Toplama ve Çıkarma

İki fonksiyonun toplamının/farkının limiti fonksiyonların limitlerinin toplamına/farkına eşittir.

Çarpma

İki fonksiyonun birbiriyle çarpımın limiti fonksiyonların limitlerinin çarpımına eşittir.

Bölme

İki fonksiyonun birbirine bölümünün limiti fonksiyonların limitlerinin birbirine bölümüne eşittir.

Tanımda belirttiğimiz gibi, bölen fonksiyonun limiti sıfır olduğu durumda bölme kuralını kullanamayız.

Üslü İfadeler

Bir fonksiyonun bir sabit sayı kuvvetinin limiti fonksiyonun limitinin kuvvetine eşittir.

Köklü İfadeler

Bir fonksiyonun \( n \). dereceden kökünün limiti fonksiyonun limitinin \( n \). dereceden köküne eşittir.

Yukarıda bahsettiğimiz limit kurallarını çok terimli fonksiyonlara tekrarlı bir şekilde uygulayarak aşağıdaki sorulardaki gibi pek çok fonksiyonun limitini hesaplayabiliriz.

SORU:

\( \lim_{x \to 2} (2x^3 - 3x^2 + 5x - 8) \) limit değerini hesaplayalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( \lim_{x \to 1} {\dfrac{4x^2 + 2x + 3}{2x^2 + 1}} \) limit değerini hesaplayalım.

Çözümü Göster

Fonksiyonların Limiti

Polinom Fonksiyonu

Her polinom fonksiyonunun limitini limit kurallarını kullanarak birim ve sabit fonksiyonların limitine indirgeyebileceğimiz için, fonksiyonun bir noktadaki limiti fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.

Rasyonel Fonksiyon

İki polinom fonksiyonunun birbirine bölümünden oluşan rasyonel fonksiyonlara bölme limit kuralını uygularsak fonksiyonun limiti pay ve paydadaki polinom fonksiyonlarının bu noktadaki fonksiyon değerlerinin bölümüne eşit olur.


« Önceki
Limitin Epsilon-Delta Tanımı
Sonraki »
Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır