Limit Kuralları
Bu bölümde bazı özel durumlar dışında kalan pek çok fonksiyonun limitini bulmakta kullanabileğimiz limit kurallarından bahsedeceğiz. Bu kuralların tümünün ispatları limitin epsilon-delta tanımını kullanarak yapılabilir.
Temel Limit Kuralları
Fonksiyonların limitini bulurken kullanacağınız en temel iki kural birim ve sabit fonksiyonların limitidir.
Birim Fonksiyonun Limiti
Birim fonksiyonun her noktadaki limiti fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.
\( \lim_{x \to a} x = a \)
\( \lim_{x \to 3} x = 3 \)
Sabit Fonksiyonun Limiti
Sabit fonksiyonun her noktadaki limiti fonksiyonun sabit değerine eşittir.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} c = c \)
\( \lim_{x \to 3} 5 = 5 \)
Limit İşlem Kuralları
\( f \) ve \( g \) bir \( a \) noktasında limitlerinin birer reel sayı olarak tanımlı olduğunu bildiğimiz iki fonksiyon olsun.
\( L, M \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} f(x) = L \)
\( \lim_{x \to a} g(x) = M \)
Bu iki fonksiyon arasındaki işlemlerin sonucu olan fonksiyonların limit hesaplamalarında aşağıdaki kuralları kullanabiliriz. Burada vurgulamamız gereken önemli bir nokta, fonksiyonlardan herhangi birinin limitinin tanımsız ya da sonsuz olduğu durumlarda bu kuralların geçerli olmamasıdır.
Sabit Sayı İle Çarpma
Bir fonksiyonun sabit bir sayı ile çarpımının limiti fonksiyonun limitinin sabit sayı ile çarpımına eşittir.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] \) \( = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) \) \( = c \cdot L \)
\( \lim_{x \to 5} 3x \) \( = 3 \cdot \lim_{x \to 5} x \) \( = 3 \cdot 5 = 15 \)
Toplama ve Çıkarma
İki fonksiyonun toplamının/farkının limiti fonksiyonların limitlerinin toplamına/farkına eşittir.
\( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] \) \( = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \) \( = L + M \)
\( \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] \) \( = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \) \( = L - M \)
\( \lim_{x \to 2} (2x + 5) \) \( = 2 \cdot \lim_{x \to 2} x + \lim_{x \to 2} 5 \) \( = 2 \cdot 2 + 5 = 9 \)
Çarpma
İki fonksiyonun birbiriyle çarpımın limiti fonksiyonların limitlerinin çarpımına eşittir.
\( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] \) \( = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \) \( = L \cdot M \)
\( \lim_{x \to 4} (x \cdot x) \) \( = \lim_{x \to 4} x \cdot \lim_{x \to 4} x \) \( = 4 \cdot 4 = 16 \)
Bölme
İki fonksiyonun birbirine bölümünün limiti fonksiyonların limitlerinin birbirine bölümüne eşittir.
\( M \ne 0 \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) \( = \dfrac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \) \( = \dfrac{L}{M} \)
\( \lim_{x \to -2} \dfrac{6}{x} \) \( = \dfrac{\lim_{x \to -2} 6}{\lim_{x \to -2} x} \) \( = \dfrac{6}{-2} = -3 \)
Tanımda belirttiğimiz gibi, bölen fonksiyonun limiti sıfır olduğu durumda bölme kuralını kullanamayız.
Üslü İfadeler
Bir fonksiyonun bir sabit sayı kuvvetinin limiti fonksiyonun limitinin kuvvetine eşittir.
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} [f(x)]^n \) \( = [\lim_{x \to a} f(x)]^n = L^n \)
\( \lim_{x \to a} x^n \) \( = [\lim_{x \to a} x]^n = a^n \)
\( \lim_{x \to 3} x^4 \) \( = (\lim_{x \to 3} x)^4 = 3^4 = 81 \)
Köklü İfadeler
Bir fonksiyonun \( n \). dereceden kökünün limiti fonksiyonun limitinin \( n \). dereceden köküne eşittir.
\( n \in \mathbb{Z^+}, \quad n \ge 2 \),
\( n \) tek sayı ya da
\( n \) çift sayı ve \( L \ge 0 \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} \) \( = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \) \( = \sqrt[n]{L} \)
\( \lim_{x \to a} \sqrt[n]{x} \) \( = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} x} \) \( = \sqrt[n]{a} \)
\( \lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} \) \( = \sqrt[3]{\lim_{x \to 64} x} \) \( = \sqrt[3]{64} = 4 \)
Yukarıda bahsettiğimiz limit kurallarını çok terimli fonksiyonlara tekrarlı bir şekilde uygulayarak aşağıdaki sorulardaki gibi pek çok fonksiyonun limitini hesaplayabiliriz.
\( \lim_{x \to 2} (2x^3 - 3x^2 + 5x - 8) \) limit değerini hesaplayalım.
Çözümü Göster
\( \lim_{x \to 1} {\dfrac{4x^2 + 2x + 3}{2x^2 + 1}} \) limit değerini hesaplayalım.
Çözümü Göster
Fonksiyonların Limiti
Polinom Fonksiyonu
Her polinom fonksiyonunun limitini limit kurallarını kullanarak birim ve sabit fonksiyonların limitine indirgeyebileceğimiz için, fonksiyonun bir noktadaki limiti fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.
\( p(x) = a_nx^n \) \( + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots \) \( + a_2x^2 \) \( + a_1x + a_0 \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} p(x) = p(a) \)
\( p(x) = x^4 - 5x^2 + 2x - 3 \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to 3} p(x) = p(3) \)
\( = 3^4 - 5(3)^2 + 2(3) - 3 = 39 \)
Rasyonel Fonksiyon
İki polinom fonksiyonunun birbirine bölümünden oluşan rasyonel fonksiyonlara bölme limit kuralını uygularsak fonksiyonun limiti pay ve paydadaki polinom fonksiyonlarının bu noktadaki fonksiyon değerlerinin bölümüne eşit olur.
\( q(a) \ne 0 \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} \dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{p(a)}{q(a)} \)
\( \lim_{x \to -2} {\dfrac{x^2 - 8}{x + 3}} \) \( = \dfrac{(-2)^2 - 8}{(-2) + 3} = -4 \)