Limit Kuralları

Parantez içindeki ifadeye adım adım limit kurallarını uygulayarak limit değerini hesaplayalım.

\( \lim_{x \to 2} (2x^3 - 3x^2 + 5x - 8) = L \)

İlk adımda toplama ve çıkarma kurallarını uygulayalım ve limiti her terime dağıtalım.

\( L = \lim_{x \to 2} {2x^3} - \lim_{x \to 2} {3x^2} + \lim_{x \to 2} {5x} - \lim_{x \to 2} {8} \)

Sonra sabit sayı ile çarpma kuralını uygulayarak limit içindeki katsayıları limit dışına alalım.

\( L = 2\lim_{x \to 2} {x^3} - 3\lim_{x \to 2} {x^2} + 5\lim_{x \to 2} {x} - \lim_{x \to 2} {8} \)

Son olarak üs alma kuralını uygulayalım ve üslü ifadelerin üssünü limit dışına alalım.

\( L = 2(\lim_{x \to 2} {x})^3 - 3(\lim_{x \to 2} {x})^2 + 5(\lim_{x \to 2} {x}) - \lim_{x \to 2} {8} \)

Limit ifadeleri içinde sadece temel limit kuralları olarak adlandırdığımız birim ve sabit fonksiyonların kaldığını görebiliriz. Bu limit ifadeleri için limit değerlerini aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.

\( \lim_{x \to 2} {x} = 2 \)

\( \lim_{x \to 2} {8} = 8 \)

\( L = 2(2)^3 - 3(2)^2 + 5(2) - 8 = 6 \)

Aynı limit kurallarını bu sefer bölme kuralını da ekleyerek fonksiyona uygulayalım.

\( \lim_{x \to 1} {\dfrac{4x^2 + 2x + 3}{2x^2 + 1}} = L \)

İlk adımda bölme, toplama ve çıkarma kurallarını uygulayalım ve limiti pay ve paydadaki terimlere dağıtalım.

\( L = \dfrac{\lim_{x \to 1} {4x^2} + \lim_{x \to 1} {2x} + \lim_{x \to 1} {3}}{\lim_{x \to 1} {2x^2} + \lim_{x \to 1} {1}} \)

Sonra sabit sayı ile çarpma kuralını uygulayarak limit içindeki katsayıları limit dışına alalım.

\( L = \dfrac{4\lim_{x \to 1} {x^2} + 2\lim_{x \to 1} {x} + \lim_{x \to 1} {3}}{2\lim_{x \to 1} {x^2} + \lim_{x \to 1} {1}} \)

Son olarak üs alma kuralını uygulayalım ve üslü ifadelerin üssünü limit dışına alalım.

\( L = \dfrac{4(\lim_{x \to 1} {x})^2 + 2\lim_{x \to 1} {x} + \lim_{x \to 1} {3}}{2(\lim_{x \to 1} {x})^2 + \lim_{x \to 1} {1}} \)

Limit ifadeleri içinde sadece temel limit kuralları olarak adlandırdığımız birim ve sabit fonksiyonların kaldığını görebiliriz. Bu limit ifadeleri için limit değerlerini aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.

\( \lim_{x \to 1} {x} = 1 \)

\( \lim_{x \to 1} {3} = 3 \)

\( \lim_{x \to 1} {1} = 1 \)

\( L = \dfrac{4(1)^2 + 2(1) + 3}{2(1)^2 + 1} = 3 \)

Logaritma ifadelerinin içindeki polinomları çarpanlarına ayıralım.

\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)

\( x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = x^2(x + 2) - 9(x + 2) \)

\( (x + 2)(x^2 - 9) = (x + 2)(x - 3)(x + 3) \)

Limit ifadesini çarpanlar cinsinden yazalım.

\( \lim_{x \to 4} [\log_3(x + 2)(x - 3)(x + 3)] \) \( - \lim_{x \to 4} [\log_3(x + 2)(x + 3)] \)

İki fonksiyonun farkının limiti fonksiyonların limitlerinin farkına eşittir.

\( = \lim_{x \to 4} [\log_3(x + 2)(x - 3)(x + 3)] - \log_3(x + 2)(x + 3)] \)

İki logaritma ifadesinin farkı logaritması alınan ifadelerin bölümünün aynı tabanda logaritmasına eşittir.

\( = \lim_{x \to 4} \log_3 \dfrac{(x + 2)(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} \)

Logaritma ifadesinin payı ve paydası sadeleşir.

\( = \lim_{x \to 4} \log_3 (x - 3) \)

Logaritma fonksiyonu sürekli olduğu için logaritmanın limiti limitin logaritmasına eşittir.

\( = \log_3 \lim_{x \to 4} (x - 3) \)

\( = \log_3 (4 - 3) \)

\( = 0 \) bulunur.

Limiti alınan ifade bir polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to 2} (5x^4 + 3x^2 - 2x + 6) \)

\( = 5 \cdot 2^4 + 3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 6 \)

\( = 80 + 12 - 4 + 6 = 94 \) bulunur.

Limiti alınan ifade bir polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to 4} (x^2 + 3x - 2a) = 44 \)

\( 4^2 + 3 \cdot 4 - 2a = 44 \)

\( 16 + 12 - 2a = 44 \)

\( a = -8 \) bulunur.

I. öncül: Limit bir fonksiyonun belirli bir nokta civarında nasıl davrandığı ile ilgilenir, fonksiyonun o noktadaki değeri ya da o noktada tanımlı olup olmaması ile ilgilenmez. Dolayısıyla iki fonksiyonun bir noktadaki limitlerinin eşit olması fonksiyon değerlerinin de eşit olmasını gerektirmez. I. öncül her zaman doğru değildir.

II. öncül: Fonksiyonların limit değeri \( L = 0 \) olduğu durumda bölümlerinin limiti 1 olmaz, diğer durumlarda olur. II. öncül her zaman doğru değildir.

III. öncül: İki fonksiyonun da limiti tanımlı olduğu için, limit toplama kuralı gereği toplamlarının limiti limitlerinin toplamına eşittir, bu da \( 2L \) değerini verir. III. öncül her zaman doğrudur.

Buna göre sadece III. öncül her zaman doğrudur.

Limiti alınan iki ifade de birer polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to 4} (2x^2 - x + a) = \lim_{x \to 3} (x^4 - 4x + b) \)

\( 2 \cdot 4^2 - 4 + a = 3^4 - 4 \cdot 3 + b \)

\( 32 - 4 + a = 81 - 12 + b \)

\( 28 + a = 69 + b \)

\( b - a = -41 \) bulunur.

Pay ve payda birer polinom fonksiyonu olduğu için limiti alınan ifade bir rasyonel fonksiyondur. Limiti alınan \( x \) değeri paydayı sıfır yapmamak koşuluyla, rasyonel fonksiyonun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to 5} \dfrac{9x + 3}{x^2 - 9} = \dfrac{9 \cdot 5 + 3}{5^2 - 9} \)

\( = \dfrac{48}{16} = 3 \) bulunur.

Pay ve payda birer polinom fonksiyonu olduğu için limiti alınan ifade bir rasyonel fonksiyondur. Limiti alınan değer paydayı sıfır yapmamak koşuluyla, rasyonel fonksiyonun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to a} \dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = 9 \)

\( \dfrac{a^2 - 4}{a + 2} = 9 \)

\( \dfrac{a^2 - 4}{a + 2} - 9 = 0 \)

\( \dfrac{a^2 - 4 - 9(a + 2)}{a + 2} = 0 \)

\( \dfrac{a^2 - 9a - 22}{a + 2} = 0 \)

\( \dfrac{(a - 11)(a + 2)}{a + 2} = 0 \)

Bu denklemin çözüm kümesi payı sıfır yapan ama paydayı sıfır yapmayan değerlerden oluşur.

Buna göre \( a = 11 \) bulunur.

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to 2} f(x + 1) = a + 2 \)

\( f(2 + 1) = f(3) = a + 2 \)

\( \lim_{x \to 1} g(x + 2) = a^2 - 2a + 4 \)

\( g(1 + 2) = g(3) = a^2 - 2a + 4 \)

\( \lim_{x \to 3} (f(x) \cdot g(x)) = 133 \)

Polinom fonksiyonlarının limiti tüm reel sayılarda tanımlı olduğu için limit çarpma kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 3} f(x) \cdot \lim_{x \to 3} g(x) = 133 \)

\( f(3) \cdot g(3) = 133 \)

\( f(3) \) ve \( g(3) \) değerlerini eşitlikte yerine koyalım.

\( (a + 2)(a^2 - 2a + 4) = 133 \)

Aşağıdaki küp toplamı özdeşliğini kullanalım.

\( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)

\( a^3 + 2^3 = 133 \)

\( a^3 = 125 \)

\( a = 5 \) bulunur.

Verilen eşitlikteki \( x^2 + 3 \) ve \( f(x + 1) \) ifadeleri birer polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonlarının limiti tüm reel sayılarda tanımlı olduğu için limit çarpma kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 3} ((x^2 + 3) \cdot f(x + 1)) = 60 \)

\( \lim_{x \to 3} (x^2 + 3) \cdot \lim_{x \to 3} f(x + 1) = 60 \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( (3^2 + 3) \cdot f(3 + 1) = 60 \)

\( f(4) = 5 \)

Pay ve payda birer polinom fonksiyonu olduğu için limit değeri sorulan ifade bir rasyonel fonksiyondur. Limiti alınan \( x \) değeri paydayı sıfır yapmamak koşuluyla, rasyonel fonksiyonun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x + f(x)}{3x + 5} = \dfrac{4 + f(4)}{3 \cdot 4 + 5} \)

\( = \dfrac{4 + 5}{17} = \dfrac{9}{17} \) bulunur.

\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olduğu için \( f(x - 1) \), \( f(x + 3) \) ve \( f(x^3) \) bileşke fonksiyonları da birer polinom fonksiyonudur.

Pay ve payda birer polinom fonksiyonu olduğu için limit değeri sorulan ifade bir rasyonel fonksiyondur. Limiti alınan \( x \) değeri paydayı sıfır yapmamak koşuluyla, rasyonel fonksiyonun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{f(x - 1) + 2 \cdot f(x + 3)}{f(x^3) - 40} \)

\( = \dfrac{f(4 - 1) + 2 \cdot f(4 + 3)}{f(4^3) - 40} \)

\( = \dfrac{f(3) + 2 \cdot f(7)}{f(64) - 40} \)

\( f(x) \) fonksiyon tanımını kullanarak fonksiyon değerlerini bulalım.

\( = \dfrac{(4 \cdot 3 - 3) + 2 \cdot (4 \cdot 7 - 3)}{(4 \cdot 64 - 3) - 40} \)

\( = \dfrac{9 + 2 \cdot 25}{(256 - 3) - 40} = \dfrac{59}{213} \) bulunur.

\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2^-) = 4 \)

\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2^+) = 7 \)

Sorudaki iki limit ifadesinin birinci çarpanları birer polinom fonksiyonudur. Polinom fonksiyonlarının limiti tüm reel sayılarda tanımlıdır.

İki limit ifadesinin ikinci çarpanlarının limitinin tanımlı olup olmadığını kontrol edelim.

\( x \to 1^+ \) iken \( 3x - 1 \to 2^+ \) olur.

Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki sağdan limitidir.

\( \lim_{x \to 1^+} f(3x - 1) = f(2^+) = 7 \)

\( x \to 2^+ \) iken \( 4 - x \to 2^- \) olur.

Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki soldan limitidir.

\( \lim_{x \to 2^+} f(4 - x) = f(2^-) = 4 \)

İki limit ifadesinin ikinci çarpanlarının limiti alınan noktada limitlerinin tanımlı olduğunu göstermiş olduk.

Buna göre iki limit ifadesinin ikişer çarpanının da limiti tanımlı olduğu için limit çarpma kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 1^+} [(3x + 7) \cdot f(3x - 1)] \) \( + \lim_{x \to 2^+} [(x^2 + 4x) \cdot f(4 - x)] \)

\( = \lim_{x \to 1^+} (3x + 7) \cdot \lim_{x \to 1^+} f(3x - 1) \) \( + \lim_{x \to 2^+} (x^2 + 4x) \cdot \lim_{x \to 2^+} f(4 - x) \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = (3 \cdot 1 + 7) \cdot f(2^+) + (2^2 + 4 \cdot 2) \cdot f(2^-) \)

\( = 10 \cdot 7 + 12 \cdot 4 = 118 \) bulunur.

\( f \) ve \( g \) birer polinom fonksiyonudur ve polinom fonksiyonlarının limiti tüm reel sayılarda tanımlıdır.

İki fonksiyonun da limiti tanımlı olduğu için limit çarpma kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 2^+} [f(x) \cdot g(x - 2)] = 21 \)

\( \lim_{x \to 2^+} f(x) \cdot \lim_{x \to 2^+} g(x - 2) = 21 \)

Polinom fonksiyonlarının bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( f(2) \cdot \lim_{x \to 2^+} g(x - 2) = 21 \)

\( (2^2 + 2(2) - 5) \cdot \lim_{x \to 2^+} g(x - 2) = 21 \)

\( \lim_{x \to 2^+} g(x - 2) = 7 \)

\( x \to 2^+ \) iken \( x - 2 \to 0^+ \) olur.

Buna göre verilen ifade \( g \) fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasındaki sağdan limitidir.

\( \lim_{x \to 2^+} g(x - 2) = g(0^+) = 7 \)

Soruda sorulan limit ifadesi de aynı limite eşittir.

\( \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0^+) \)

Buna göre \( \lim_{x \to 0^+} g(x) = 7 \) bulunur.