Sonsuzda Limit

Şu ana kadar limitle ilgili bahsettiklerimiz \( x \) belirli bir reel sayıya yaklaşırkenki limit değeri üzerineydi. Bu bölümde \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderkenki limit değerinden bahsedeceğiz.

Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni pozitif ya da negatif çok büyük değerler aldığında \( f(x) \)'in yaklaştığı değere \( f \) fonksiyonunun pozitif ya da negatif sonsuzdaki limiti denir. Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti bir reel sayı olabilir, pozitif ya da negatif sonsuz olabilir ya da tanımsız olabilir.

Aşağıdaki şekilde bir fonksiyonun pozitif ve negatif sonsuzda yaklaştığı reel sayı limit değerleri gösterilmiştir.

Sonsuzda limit
Sonsuzda limit

Trigonometrik fonksiyonların ve sabit fonksiyon dışındaki diğer periyodik fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzda limitleri yoktur.

Bazı Fonksiyonların Sonsuzda Limiti

Aşağıda bazı temel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limit değerleri verilmiştir. Aşağıdaki tüm durumlarda Tüm durumlarda tek terimli fonksiyonlarda bu terimin, çok terimli fonksiyonlarda başkatsayının işareti negatif olduğunda sonsuzdaki davranış da ters yönde olacaktır.

Grafik Açıklama
Sonsuzda limit (doğrusal)

Doğrusal fonksiyon (\( a \gt 0 \))

\( f(x) = ax + b \)

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)

\( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon \( x \) ile aynı yönde sonsuza gider.

\( a \lt 0 \) olması durumunda sonsuzdaki davranışlar ters yönde olacaktır.

Sonsuzda limit (parabol)

Parabol (\( a \gt 0 \))

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \)

\( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon pozitif sonsuza gider.

\( a \lt 0 \) olması durumunda sonsuzdaki davranışlar ters yönde olacaktır.

Sonsuzda limit (tek dereceli polinom)

Tek dereceli polinom fonksiyonu (\( a \gt 0 \))

\( f(x) = ax^{2n + 1} + \ldots \)

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)

\( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon \( x \) ile aynı yönde sonsuza gider.

\( a \lt 0 \) olması durumunda sonsuzdaki davranışlar ters yönde olacaktır.

Sonsuzda limit (çift dereceli polinom)

Çift dereceli polinom fonksiyonu (\( a \gt 0 \))

\( f(x) = ax^{2n} + \ldots \)

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \)

\( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon pozitif sonsuza gider.

\( a \lt 0 \) olması durumunda sonsuzdaki davranışlar ters yönde olacaktır.

Sonsuzda limit (üstel - a > 1)

Üstel fonksiyon (\( a \gt 1 \))

\( f(x) = a^x \)

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \)

\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyon pozitif sonsuza gider, \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyon sıfıra yaklaşır.

Sonsuzda limit (üstel - 0 < a < 1)

Üstel fonksiyon (\( 0 \lt a \lt 1 \))

\( f(x) = a^x \)

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \)

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \)

\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyon sıfıra yaklaşır, \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyon pozitif sonsuza gider.

Sonsuzda limit (logaritma - a > 1)

Logaritma fonksiyonu (\( a \gt 1 \))

\( f(x) = \log_a{x} \)

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyon pozitif sonsuza gider. Logaritma fonksiyonu negatif reel sayılarda tanımlı değildir.

Sonsuzda limit (logaritma - 0 < a < 1)

Logaritma fonksiyonu (\( 0 \lt a \lt 1 \))

\( f(x) = \log_a{x} \)

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \)

\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyon negatif sonsuza gider. Logaritma fonksiyonu negatif reel sayılarda tanımlı değildir.

Sonsuzda limit (ters)

Ters fonksiyon

\( f(x) = \frac{1}{x} \)

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \)

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \)

\( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon sıfıra yaklaşır.

Sonsuzda limit (sinüs)

Sinüs fonksiyonu

\( f(x) = \sin{x} \)

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = \) Tanımsız

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \) Tanımsız

\( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon tek bir değere yaklaşmadığı için sinüs fonksiyonunun pozitif ve negatif sonsuzda limiti yoktur.

Bu durum tüm trigonometrik fonksiyonlar ve sabit fonksiyon dışındaki diğer periyodik fonksiyonlar için de geçerlidir.

Sonsuzda limit (rasyonel - m < n)

Rasyonel fonksiyon (\( m \lt n \))

\( p(x) = ax^m + \ldots \)

\( q(x) = bx^n + \ldots \)

\( \lim_{x \to +\infty} \frac{p(x)}{q(x)} = 0 \)

\( \lim_{x \to -\infty} \frac{p(x)}{q(x)} = 0 \)

Payının derecesi paydasının derecesinden küçük olan rasyonel fonksiyonlarda \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon sıfıra yaklaşır.

Sonsuzda limit (rasyonel - m = n)

Rasyonel fonksiyon (\( m = n \))

\( p(x) = ax^m + \ldots \)

\( q(x) = bx^n + \ldots \)

\( \lim_{x \to +\infty} \frac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{a}{b} \)

\( \lim_{x \to -\infty} \frac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{a}{b} \)

Payının derecesi paydasının derecesine eşit olan rasyonel fonksiyonlarda \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon polinomların başkatsayılarının oranına yaklaşır.

Sonsuzda limit (rasyonel - m > n)

Rasyonel fonksiyon (\( m \gt n, \frac{a}{b} \gt 0 \))

\( p(x) = ax^m + \ldots \)

\( q(x) = bx^n + \ldots \)

\( \lim_{x \to +\infty} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm \infty \)

\( \lim_{x \to -\infty} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm \infty \)

Payının derecesi paydasının derecesinden büyük olan rasyonel fonksiyonlarda \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon da pozitif ya da negatif sonsuza sonsuza gider.

Pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimler aralarında sadeleştirildiğinde kalan ifade çift dereceli ise \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon pozitif yönde büyür.

Pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimler aralarında sadeleştirildiğinde kalan ifade tek dereceli ise \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon \( x \) ile aynı yönde sonsuza gider.

\( \frac{a}{b} \lt 0 \) olması durumunda sonsuzdaki davranışlar ters yönde olacaktır.

Yatay Asimptot

Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni pozitif ya da negatif yönde çok büyük değerler aldığında \( f(x) \) belirli bir reel sayı \( L \) değerine yaklaşıyorsa \( y = L \) doğrusuna \( f \) fonksiyonunun bir yatay asimptotu denir.

Yatay asimptotlar sadece \( x \) değeri pozitif ya da negatif çok büyük değerler aldığında oluşabilir ve bir fonksiyonun bu iki durumla sınırlı olmak üzere en fazla iki yatay asimptotu olabilir.

Yatay asimptotlar fonksiyon grafiğinin bir parçası olmayıp fonksiyonun asimptot civarındaki davranışının daha kolay anlaşılmasını sağlar.

Yatay asimptotların oluşabileceği durumlardan bazıları şunlardır:

  • \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklindeki rasyonel fonksiyonlarda payın derecesi paydanın derecesinden küçükse \( y = 0 \) şeklinde tek bir yatay asimptot oluşur.
  • \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklindeki rasyonel fonksiyonlarda payın derecesi paydanın derecesine eşitse ve pay ve paydanın başkatsayıları sırasıyla \( a \) ve \( b \) ise \( y = \frac{a}{b} \) şeklinde tek bir yatay asimptot oluşur.
  • \( f(x) = k \cdot a^x + c \) şeklindeki üstel fonksiyonlarda \( y = c \) şeklinde tek bir yatay asimptot oluşur.

Aşağıdaki grafikte fonksiyon \( x \) negatif çok büyük değerler aldıkça \( f(x) = 2 \) değerine aşağıdan, \( x \) pozitif çok büyük değerler aldıkça yukarıdan yaklaşmaktadır. \( y = 2 \) doğrusu her iki durum için de yatay asimptot olmaktadır.

Sonsuzda limit ve yatay asimptot
Sonsuzda limit ve yatay asimptot

« Önceki
Sonsuz Limit
Sonraki »
Limit Hesaplama


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır