Bileşke Fonksiyonların Limiti

İlk önce \( g \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki limitini bulalım.

\( \lim_{x \to 1} g(x) = 2 \)

Şimdi de \( f \) fonksiyonunun bulduğumuz \( x = 2 \) noktasındaki limitini bulalım.

\( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \)

Buna göre \( (f \circ g) \) bileşke fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki limitinin 4 olmasını gerektiğini düşünebiliriz, \( (f \circ g)(x) \) fonksiyonunun grafiğini çizerek bunu kontrol edelim.

Yukarıdaki bileşke fonksiyon grafiğini incelediğimizde, \( x = 1 \) noktasındaki limit değerinin 4 değil 5 olduğunu görüyoruz.

\( \lim_{x \to 1} (f \circ g)(x) = 5 \ne 4 \)

Nitekim verilen fonksiyonlar yukarıda verdiğimiz iki koşulu da sağlamadığı için bileşke fonksiyonun limitini içteki fonksiyonun limit değerinde dıştaki fonksiyonun limitini alarak bulamayız ve gerçek limit değerini bulmak için bileşke fonksiyonunun tanımına ya da grafiğine ihtiyaç duyarız.

Verilen fonksiyon grafiklerinden bileşke fonksiyonun tanımını çıkartırsak da aynı limit değerine ulaşırız.

\( (f \circ g)(x) = \begin{cases} 4 & x = 1 \\ 5 & x \ne 1 \end{cases} \)

\( \lim_{x \to 1} (f \circ g)(x) = 5 \)

\( \lim_{x \to -2^+} (f \circ f)(x) = \lim_{x \to -2^+} f(f(x)) \)

İçteki \( f \) fonksiyonu \( x \to -2^+ \) iken sabit fonksiyon olmadığı için bileşke fonksiyon kuralının ikinci koşulu sağlanır. Buna göre önce içteki fonksiyonun limit değerini bulalım, daha sonra dıştaki fonksiyonun bu limit değerindeki limit değerini bulalım.

Önce içteki \( f \) fonksiyonu için limit değerini bulalım.

Grafikte kırmızı okla gösterildiği gibi, \( x \to -2 \)'ye pozitif taraftan (sağdan) yaklaşırken fonksiyon değeri de \( f(x) \to 1 \)'e pozitif taraftan (yukarıdan) yaklaşmaktadır.

\( \lim_{x \to -2^+} f(x) = 1^+ \)

Şimdi dıştaki \( f \) fonksiyonu için limit değerini bulalım.

Grafikte yeşil okla gösterildiği gibi, \( f \) fonksiyonu \( x \to 1 \)'e pozitif taraftan (sağdan) yaklaşırken fonksiyon değeri de \( f(x) \to -1 \)'e pozitif taraftan (yukarıdan) yaklaşmaktadır.

\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = -1^+ \)

Buna göre istenen limit değeri \( -1 \) olmaktadır.

\( \lim_{x \to -2^+} (f \circ f)(x) = -1 \)

Limiti alınan ifadeyi iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.

\( f(x) = \sqrt[3]{x} \)

\( g(x) = x^3 + 4x \)

\( (f \circ g)(x) = \sqrt[3]{x^3 + 4x} \)

\( g \) bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.

\( g \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 2} (x^3 + 4x) \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = 2^3 + 4 \cdot 2 = 16 \)

\( f \) (tek dereceli köklü) fonksiyonu tüm reel sayılarda, dolayısıyla \( g \) fonksiyonunun limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^3 + 4x} = \sqrt[3]{\lim_{x \to 2} (x^3 + 4x}) \)

\( = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2} \) bulunur.

Limiti alınan ifadeyi iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.

\( f(x) = \log_{13}{x} \)

\( g(x) = x^2 + 12x + 9 \)

\( (f \circ g)(x) = \log_{13}(x^2 + 12x + 9) \)

\( g \) bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.

\( g \) fonksiyonunun \( x = 8 \) noktasındaki limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 8} (x^2 + 12x + 9) \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = 8^2 + 12(8) + 9 = 169 \)

\( f \) (logaritma) fonksiyonu pozitif reel sayılarda, dolayısıyla \( g \) fonksiyonunun limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 8} (\log_{13}(x^2 + 12x + 9)) \) \( = \log_{13}(\lim_{x \to 8} (x^2 + 12x + 9)) \)

\( = \log_{13}{169} = \log_{13}{13^2} = 2 \) bulunur.

Önce eşitliğin sol tarafının limit değerini bulalım.

Limiti alınan ifadeyi iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.

\( f(x) = \log_5{x} \)

\( g(x) = x^2 + 1 \)

\( (f \circ g)(x) = \log_5(x^2 + 1) \)

\( g \) bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.

\( g \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 2} (x^2 + 1) \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = 2^2 + 1 = 5 \)

\( f \) (logaritma) fonksiyonu pozitif reel sayılarda, dolayısıyla \( g \) fonksiyonunun limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 2} (\log_5(x^2 + 1)) \) \( = \log_5(\lim_{x \to 2} (x^2 + 1))) \)

\( = \log_5{5} = 1 \) bulunur.

Buna göre soruda verilen eşitliğin sağ tarafı da bu değere eşittir.

\( \lim_{x \to 3^+} f(x + 2) = 1 \)

\( x \to 3^+ \) iken \( x + 2 \to 5^+ \) olur.

Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 5 \) noktasındaki sağdan limitidir.

\( \lim_{x \to 3^+} f(x + 2) = f(5^+) = 1 \)

\( f(5^+) \) ifadesini aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.

\( x \to 6^+ \) iken \( x - 1 \to 5^+ \) olur.

\( \lim_{x \to 6^+} f(x - 1) = f(5^+) = 1 \) bulunur.

Limiti alınan ifadeyi iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.

\( f(x) = \abs{x} \)

\( g(x) = x^2 - 4x - 3 \)

\( (f \circ g)(x) = \abs{x^2 - 4x - 3} \)

\( g \) bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.

\( g \) fonksiyonunun \( x = 3 \) noktasındaki limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 3} (x^2 - 4x - 3) \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = 3^2 - 4 \cdot 3 - 3 = -6 \)

\( f \) (mutlak değer) fonksiyonu tüm reel sayılarda, dolayısıyla \( g \) fonksiyonunun limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 3} \abs{g(x)} \) \( = \abs{\lim_{x \to 3} g(x)} \)

\( = \abs{-6} = 6 \) bulunur.

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

\( \lim_{x \to 4} (e^{f(x)} - 1) \)

Üstel fonksiyonun üssü olan ifadenin \( x = 4 \) noktasındaki limit değeri verilmiştir.

Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda, dolayısıyla \( f \) fonksiyonunun limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( = e^{\lim_{x \to 4} f(x)} - \lim_{x \to 4} 1 = e^2 - 1 \)

\( \lim_{x \to 4} (\sin(\pi \cdot g(x) - \frac{3\pi}{4})) \)

Sinüs fonksiyonunun içindeki \( g \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki limit değeri verilmiştir.

Sinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( = \sin(\lim_{x \to 4} (\pi \cdot g(x) - \frac{3\pi}{4})) \)

\( = \sin(\pi \cdot (\lim_{x \to 4} g(x)) - \lim_{x \to 4} \frac{3\pi}{4})) \)

\( = \sin(\pi \cdot 1 - \frac{3\pi}{4}) = \sin{\frac{\pi}{4}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{e^{f(x)} - 1}{\sin(\pi \cdot g(x) - \frac{3\pi}{4})} \)

\( = \dfrac{\lim_{x \to 4} (e^{f(x)} - 1)}{\lim_{x \to 4} (\sin(\pi \cdot g(x) - \frac{3\pi}{4}))} \)

\( = \dfrac{e^2 - 1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)

\( = \sqrt{2} \cdot (e^2 - 1) \) bulunur.

Önce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.

\( \lim_{x \to 1} \ln(x^2 - x + e^3) \)

Logaritma fonksiyonunun içindeki ifade bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \lim_{x \to 1} (x^2 - x + e^3) = 1^2 - 1 + e^3 = e^3 \)

Logaritma fonksiyonu tüm pozitif reel sayılarda, dolayısıyla \( e^3 \) limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 1} \ln(x^2 - x + e^3) \)

\( = \ln(\lim_{x \to 1} (x^2 - x + e^3)) = \ln{e^3} = 3 \)

\( \lim_{x \to 1} 3^{\log_4(2x - 1)} \)

\( 3^{\log_4(2x - 1)} \) ifadesi iç içe üç fonksiyonun bileşkesinden oluşmaktadır. Önce logaritma fonksiyonunun limitini bulalım.

\( \lim_{x \to 1} (\log_4(2x - 1)) \)

Logaritma içindeki ifade bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.

\( \lim_{x \to 1} (2x - 1) \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \)

Logaritma fonksiyonu tüm pozitif reel sayılarda, dolayısıyla bulduğumuz limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 1} (\log_4(2x - 1)) \) \( = \log_4(\lim_{x \to 1} (2x - 1)) \)

\( = \log_4{1} = 0 \) bulunur.

Üstel fonksiyonun limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 1} 3^{\log_4(2x - 1)} \)

Üstel fonksiyonun üssünün \( x = 1 \) noktasında limitinin tanımlı olduğunu gösterdik.

Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda, dolayısıyla bulduğumuz limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( = 3^{\lim_{x \to 1} \log_4(2x - 1)} = 3^0 = 1 \)

Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln(x^2 - x + e^3)}{3^{\log_4(2x - 1)}} \)

\( = \dfrac{\lim_{x \to 1} \ln(x^2 - x + e^3)}{\lim_{x \to 1} 3^{\log_4(2x - 1)}} \)

\( = \dfrac{3}{1} = 3 \) bulunur.

Pay ve paydadaki ifadelerin birbirine bölümünün limiti 1'e eşitse bu iki ifadenin limiti tanımlıdır ve birbirine eşittir.

\( \lim_{x \to 5} \log_4(x^2 + 5x + 14) = \lim_{x \to 5} \sqrt{x^2 - 8x + k + 12} \)

Önce eşitliğin sol tarafındaki logaritma fonksiyonunun limitini bulalım.

Logaritma fonksiyonunun içindeki ifade bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.

Polinom fonksiyonunun \( x = 5 \) noktasındaki limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 5} (x^2 + 5x + 14) \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = 5^2 + 5 \cdot 5 + 14 = 64 \)

Logaritma fonksiyonu tüm pozitif reel sayılarda, dolayısıyla \( x = 64 \) noktasında sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 5} \log_4(x^2 + 5x + 14) \) \( = \log_4(\lim_{x \to 5} (x^2 + 5x + 14)) \)

\( = \log_4{64} = \log_4{4^3} = 3 \)

Eşitliğin sağ tarafını 3'e eşitleyelim.

\( \lim_{x \to 5} \sqrt{x^2 - 8x + k + 12} = 3 \)

Karekök fonksiyonu tüm pozitif reel sayılarda süreklidir ve limiti tanımlıdır.

Karekök fonksiyonunun bu noktada limiti tanımlı olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( \sqrt{\lim_{x \to 5} (x^2 - 8x + k + 12)} = 3 \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( \sqrt{5^2 - 8 \cdot 5 + k + 12} = 3 \)

\( \sqrt{k - 3} = 3 \)

\( k - 3 = 9 \)

\( k = 12 \) bulunur.

Üstel fonksiyonun üssünün limitinin tanımlı olup olmadığını bulmak için üssün payının ve paydasının ayrı ayrı limitlerini bulalım.

\( \lim_{x \to 4} (x - 3) \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = 4 - 3 = 1 \)

\( \lim_{x \to 4} \sqrt[3]{x^2 + 10x + 8} \)

Kök içindeki ifade bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.

Polinom fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki limit değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 4} (x^2 + 10x + 8) \)

Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.

\( = 4^2 + 10 \cdot 4 + 8 = 64 \)

Tek dereceli köklü fonksiyon tüm reel sayılarda, dolayısıyla \( x = 64 \) noktasında sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 4} \sqrt[3]{x^2 + 10x + 8} \) \( = \sqrt[3]{\lim_{x \to 4} (x^2 + 10x + 8)} \)

\( = \sqrt[3]{64} = 4 \)

Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x - 3}{\sqrt[3]{x^2 + 10x + 8}} \)

\( = \dfrac{\lim_{x \to 4} (x - 3)}{\lim_{x \to 4} \sqrt[3]{x^2 + 10x + 8}} = \dfrac{1}{4} \)

Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda, dolayısıya \( x = \frac{1}{4} \) noktasında sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.

\( \lim_{x \to 4} 81^{\frac{x - 3}{\sqrt[3]{x^2 + 10x + 8}}} = 81^{\lim_{x \to 4} \frac{x - 3}{\sqrt[3]{x^2 + 10x + 8}}} \)

\( = 81^{\frac{1}{4}} = 3 \) bulunur.