\( f \) ve \( g \) iki fonksiyon olmak üzere, \( g \) fonksiyonunun \( x \to a \)'ya giderkenki limitinin \( b \), \( f \) fonksiyonunun \( x \to b \)'ye giderkenki limitinin \( c \) olduğunu varsayalım.
\( \lim_{x \to a} g(x) = b \)
\( \lim_{x \to b} f(x) = c \)
Buna göre, bu iki fonksiyonun bileşkesi olan \( (f \circ g) \) fonksiyonunun \( x \to a \)'ya giderkenki limitinin \( c \) olabilmesi için aşağıdaki iki koşuldan en az biri sağlanmalıdır.
\( \lim_{x \to a} (f \circ g)(x) = c \)
olabilmesi için aşağıdaki iki koşuldan en az biri sağlanmalıdır:
(1) \( f(b) = c \) olmalı, yani \( f \) fonksiyonu \( b \) noktasında sürekli olmalıdır.
(2) \( g \) fonksiyonu \( a \) noktası civarında sabit bir şekilde \( g(x) = b \) olmamalıdır.
SORU:
Yukarıda \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre,
İlk önce \( g \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( \lim_{x \to 1} g(x) = 2 \)
Şimdi de \( f \) fonksiyonunun bulduğumuz \( x = 2 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \)
Buna göre \( (f \circ g) \) bileşke fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki limitinin 4 olmasını gerektiğini düşünebiliriz, \( (f \circ g)(x) \) fonksiyonunun grafiğini çizerek bunu kontrol edelim.
Yukarıdaki bileşke fonksiyon grafiğini incelediğimizde, \( x = 1 \) noktasındaki limit değerinin 4 değil 5 olduğunu görüyoruz.
\( \lim_{x \to 1} (f \circ g)(x) = 5 \ne 4 \)
Nitekim verilen fonksiyonlar yukarıda verdiğimiz iki koşulu da sağlamadığı için bileşke fonksiyonun limitini içteki fonksiyonun limit değerinde dıştaki fonksiyonun limitini alarak bulamayız ve gerçek limit değerini bulmak için bileşke fonksiyonunun tanımına ya da grafiğine ihtiyaç duyarız.
Verilen fonksiyon grafiklerinden bileşke fonksiyonun tanımını çıkartırsak da aynı limit değerine ulaşırız.
\( (f \circ g)(x) = \begin{cases}
4 & x = 1 \\
5 & x \ne 1
\end{cases} \)
\( \lim_{x \to 1} (f \circ g)(x) = 5 \)
Yukarıda belirttiğimiz birinci süreklilik koşulunun sağlandığını biliyorsak bileşke fonksiyonun limitini aşağıdaki şekilde de yazabiliriz. Buna göre bileşke fonksiyonun limiti, \( x \) içteki fonksiyonun limit değerinine eşitken dıştaki fonksiyonun değerine eşit olur.
\( f(b) = c \), yani \( f \) fonksiyonu \( b \) noktasında sürekli ise,
\( g(x) \) fonksiyonu tek dereceli bir köklü ifade olarak tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla limitini doğrudan yerine koyma yöntemi ile bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 5} g(x) = g(5) \)
\( = \sqrt[3]{5^2 + 2} = 3 \)
\( \lim_{x \to 5} (f \circ g)(x) = f(3) \)
\( = 3^2 - 2 \cdot 3 + 5 = 8 \) bulunur.
SORU:
Yukarıda \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre,
İçteki \( f \) fonksiyonu \( x = 2 \) civarında sabit fonksiyon olmadığı için ikinci koşul sağlanır, buna göre dıştaki fonksiyonun içteki fonksiyonun limit değerine giderkenki limit değeri bileşke fonksiyonun limit değeri olur.
Önce içteki \( f \) fonksiyonu için limit değerini bulalım.
Grafikte kırmızı okla gösterdiği gibi, \( x \to -2 \)'ye pozitif taraftan (sağdan) yaklaşırken fonksiyon değeri de \( f(x) \to 1 \)'e pozitif taraftan (yukarıdan) yaklaşmaktadır.
\( \lim_{x \to -2^+} f(x) = 1^+ \)
Şimdi dıştaki \( f \) fonksiyonu için limit değerini bulalım.
Grafikte yeşil okla gösterdiği gibi, \( f \) fonksiyonu \( x \to 1 \)'e pozitif taraftan (sağdan) yaklaşırken fonksiyon değeri de \( f(x) \to -1 \)'e pozitif taraftan (yukarıdan) yaklaşmaktadır.
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = -1^+ \)
Buna göre istenen limit değeri -1 olmaktadır.
\( \lim_{x \to -2^+} (f \circ f)(x) = -1 \)
Üstel Fonksiyonla Bileşke
Üstel fonksiyonların üssünün bir fonksiyon olduğu durumda bileşke kuralını limite aşağıdaki gibi uygulayabiliriz.
\( k \in \mathbb{R^+}, \quad k \ne 1 \) olmak üzere,
Üstel fonksiyonlar tüm reel sayılarda sürekli olduğu için dıştaki fonksiyonun sürekli olduğu durum için paylaştığımız bileşke fonksiyon limit kuralını kullanabiliriz.
Logaritma fonksiyonları pozitif reel sayılarda sürekli olduğu için dıştaki fonksiyonun sürekli olduğu durum için paylaştığımız bileşke fonksiyon limit kuralını kullanabiliriz.
