Sonsuz/Sonsuz Belirsizliği

\( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği ayrı ayrı limitleri pozitif ya da negatif sonsuz olan iki ifadenin bölümünün limiti alındığında oluşur.

Bu belirsizliği gidermek için fonksiyonların büyüme hızlarını ve L'Hospital kuralını kullanabiliriz.

Fonksiyonların Büyüme Hızları

\( x \) sonsuza giderken \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği ile karşılaştığımız durumlarda limit değerini pay ve paydadaki fonksiyonların büyüme hızlarını karşılaştırarak bulmayı deneyebiliriz.

Bu yöntemi kullanabilmek için farklı fonksiyonların büyüme hızlarını bilmemiz gerekir, bunun için aşağıdaki sıralamayı kullanabiliriz. Buradaki küçüklük/büyüklük ilişkisi \( x \)'in çok büyük değerleri için geçerlidir.

Üstel ve kuvvet fonksiyonlarında \( a \)'nın daha büyük değerleri daha küçük değerlerine göre daha hızlı büyüme gösterir. Logaritma ve köklü fonksiyonlarda \( a \)'nın daha küçük değerleri daha büyük değerlerine göre daha hızlı büyüme gösterir:

Yukarıdaki ifadelerden oluşan bir rasyonel fonksiyonun sonsuzdaki limitini hesaplarken sadece pay ve paydadaki büyüme hızı en büyük olan terimleri dikkate almamız ve bu terimleri karşılaştırmamız yeterlidir. Bu iki terim arasında paydaki ifadenin büyüme hızı daha büyükse limit sonsuz, paydadaki ifadenin büyüme hızı daha büyükse limit sıfırdır.

SORU:

\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^{100}}{e^x} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x!}{5^x} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

L'Hospital Kuralı

\( \frac{0}{0} \) belirsizliğinde olduğu gibi \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliğinde de L'Hospital kuralını kullanarak belirsizliği gidermeyi deneyebiliriz.

SORU:

\( \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{e^x} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster


« Önceki
L'Hospital Kuralı
Sonraki »
Sonsuz - Sonsuz Belirsizliği


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır