\( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği limitleri ayrı ayrı pozitif ya da negatif sonsuz olan iki ifadenin bölümünün limiti alındığında oluşur.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \pm\infty \) ve \( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = \pm\infty \) değerleri elde ediliyorsa,
bu limit için \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için fonksiyonların büyüme hızları ve L'Hospital kuralı kullanılabilir.
\( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliğine sahip bir rasyonel ifadenin sonsuzdaki limiti pay ve paydadaki fonksiyonların büyüme hızları karşılaştırılarak belirlenebilir. Buna göre, eğer paydaki ifadenin büyüme hızı daha büyükse limit sonsuz, paydadaki ifadenin büyüme hızı daha büyükse limit sıfır olur.
Bu konuyu detaylı şekilde sonsuzda limit bölümünde incelemiştik, bu bölümde hatırlatma olarak bir örnek vereceğiz.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^{10} + \sqrt{x}}{\ln{x} + e^x}} \) limitini bulalım.
Payın ve paydanın sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} (x^{10} + \sqrt{x}) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (\ln{x} + e^x) = \infty \)
Buna göre bu ifadede \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
Verilen rasyonel ifadede büyüme hızı en büyük olan terimler payda \( x^{10} \), paydada \( e^x \) olur.
Sonsuzdaki limiti sadece pay ve paydadaki büyüme hızı en büyük olan terimleri dikkate alarak bulabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^{10} + \sqrt{x}}{\ln{x} + e^x}} = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^{10}}{e^x}} \)
Üstel fonksiyonların büyüme hızı kuvvet fonksiyonlarının büyüme hızından daha büyük olduğu için ifadenin sonsuzdaki limiti sıfıra eşittir.
\( = 0 \)
Aşağıdaki bölümlerde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliğini gidermek için kullanılabilecek diğer bazı yöntemleri göreceğiz.