\( \frac{0}{0} \) belirsizliği ayrı ayrı limitleri 0 olan iki ifadenin bölümünün limiti alındığında oluşur.
Tüm belirsizliklerde olduğu gibi, bir fonksiyonun limitini hesaplarken \( \frac{0}{0} \) belirsizliği elde etmemiz fonksiyonun bu noktada limitinin tanımsız ya da sıfır olduğu anlamına gelmez. Fonksiyonun bu noktada limiti tanımlı olabilir ve bu limit değerini bulmak için kullanabileceğimiz bazı yöntemler aşağıdaki gibidir.
\( \frac{0}{0} \) belirsizliği olan bir ifadede pay ve paydanın ortak bir çarpanı varsa ve limitini aldığımız değer bu çarpanı sıfır yapıyorsa payı ve paydayı çarpanlarına ayırarak ve bu ortak çarpanı sadeleştirerek belirsizliği giderebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.
Yukarıdaki örnekte pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirdiğimizde \( \frac{0}{0} \) belirsizliğinin ortadan kalktığını ve ifadenin sadeleşmiş halinde \( x \) değerini yerine koyarak limit değerini elde edebileceğimizi gördük. Peki ortak çarpanları sadeleştirdiğimizde elde ettiğimiz yeni fonksiyonun bu noktadaki limitinin orijinal fonksiyonun aynı noktadaki limitine eşit olduğundan nasıl emin olabiliriz? Aşağıda bu soruyu cevaplamaya çalışacağız.
Sorudaki orijinal fonksiyonun (birinci grafik) ve sadeleşmiş halinin (ikinci grafik) grafikleri aşağıda verilmiştir.
Bu grafiklerle ilgili şu yorumları yapabiliriz.
\( \frac{0}{0} \) belirsizliğinde pay ve payda birer polinom ise ve ifadeyi çarpanlarına ayıramıyorsak pay ve paydadan daha yüksek dereceli olan ifadeyi diğerine polinom bölmesi ile bölmeyi deneyebiliriz. Bu polinom bölmesi işleminin sonucu bize ortak çarpanların sadeleşmiş halini verecektir.
SORU 1:
\( \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to -3} (x^2 + 5x + 6) = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to -3} (x + 3) = -3 + 3 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} = \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{x + 3} \)
\( = \lim\limits_{x \to -3} (x + 2) \)
Doğrusal fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.
\( = -3 + 2 = -1 \) bulunur.
SORU 2:
\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) limitinin sonucunu bulun.
Çözümü Göster
\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) limitinde,
\( \lim_{x \to 1} (x^{40} - 1) = 1^{40} - 1 = 0 \)
ve
\( \lim_{x \to 1} (x^{20} - 1) = 1^{20} - 1 = 0 \)
olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Payı kare farkı şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda paydadaki ifadeyi bir çarpan olarak elde ederiz.
\( x^{40} - 1 \) \( = (x^{20})^2 - 1^2 \) \( = (x^{20} - 1)(x^{20} + 1) \)
Paydaki ifadeyi yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) \( = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^{20} - 1)(x^{20} + 1)}{x^{20} - 1} \)
\( = \lim_{x \to 1} (x^{20} + 1) \)
Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.
\( = 1^{20} + 1 = 2 \) buluruz.
SORU 3:
\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) limitinin sonucunu bulun.
Çözümü Göster
\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) limitinde,
\( \lim_{x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 2) = \sqrt[3]{8} - 2 = 0 \)
ve
\( \lim_{x \to 8} (x - 8) = 8 - 8 = 0 \)
olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Paydayı küp farkı şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda paydaki ifadeyi bir çarpan olarak elde ederiz.
\( x - 8 = \sqrt[3]{x}^3 - 2^3 = (\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) \)
Paydadaki ifadeyi yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) \( = \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2)} \)
\( = \lim_{x \to 8} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2} \)
Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.
\( = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8}^2 + 2\sqrt[3]{8} + 2^2} \)
\( = \dfrac{1}{2^2 + 2 \cdot 2 + 2^2} \)
\( = \dfrac{1}{12} \) bulunur.
SORU 4:
Aşağıdaki limitlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{(x - 2)^2} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)^2}{x^2 - 4} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{(x - 2)^2} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 - 4) = (2^2 - 4) = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 2} (x - 2)^2 = (2 - 2)^2 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{(x - 2)^2} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^2} \)
\( = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x + 2}{x - 2} \)
\( x = 2 \) değeri paydayı sıfır yaptığı, ancak payı sıfır yapmadığı için bu noktada bir dikey asimptot oluşur.
Bu noktadaki soldan ve sağdan limitleri inceleyelim.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} \dfrac{x + 2}{x - 2} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{x + 2}{x - 2} = +\infty \)
Soldan ve sağdan limitler birer reel sayı olarak tanımlı olmadığı için fonksiyonun bir noktada limiti tanımlı değildir.
Fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekildeki gibidir.
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)^2}{x^2 - 4} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 2} (x - 2)^2 = (2 - 2)^2 = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)^2}{x^2 - 4} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{x + 2} \)
\( x = 2 \) değeri paydayı sıfır yapmadan payı sıfır yaptığı için rasyonel ifade bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{x + 2} = \dfrac{2 - 2}{2 + 2} \)
\( = \dfrac{0}{2} = 0 \)
Fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekildeki gibidir.
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 2} (x - 2) = 2 - 2 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \)
\( = \lim\limits_{x \to 2} (x + 2) \)
İfade bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.
\( = 2 + 2 = 4 \)
Fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekildeki gibidir.
SORU 5:
\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) limitinin sonucunu bulun.
Çözümü Göster
\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) limitinde,
\( \lim_{x \to -3} (2x^2 + 5x - 3) = 2(-3)^2 + 5(-3) - 3 = 0 \)
ve
\( \lim_{x \to -3} (x^2 + 5x + 6) = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 0 \)
olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
-3 pay ve paydadaki ikinci derece ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır, bu yüzden iki ifadeyi de çarpanlarına ayıralım.
\( 2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) \)
\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)
Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) \( = \lim_{x \to -3} \dfrac{(2x - 1)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} \)
\( = \lim_{x \to -3} \dfrac{2x - 1}{x + 2} \)
Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.
\( = \dfrac{2(-3) - 1}{-3 + 2} \)
\( = \dfrac{-7}{-1} = 7 \) bulunur.
SORU 6:
\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) limitinin sonucunu bulun.
Çözümü Göster
\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) limitinde,
\( \lim_{x \to 4} (x^3 - 6x^2 + 5x + 12) = 4^3 - 6(4)^2 + 5(4) + 12 = 0 \)
ve
\( \lim_{x \to 4} (x - 4) = 4 - 4 = 0 \)
olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
4 pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Paydaki üçüncü dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile bu ifadeyi \( x - 4 \)'e bölerek diğer çarpanını bulalım (polinom bölme işleminin detaylarını burada vermeyeceğiz).
\( x^3 - 6x^2 + 5x + 12 = (x - 4)(x^2 - 2x - 3) \)
Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) \( = lim_{x \to 4} \dfrac{(x - 4)(x^2 - 2x - 3)}{x - 4} \)
\( = lim_{x \to 4} (x^2 - 2x - 3) \)
Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.
\( = 4^2 - 2(4) - 3 \)
\( = 16 - 8 - 3 = 5 \) bulunur.
SORU 7:
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} = \dfrac{a}{8} \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 2} (x^3 - 2x^2 + 3x - 6) = 2^3 - 2(2)^2 + 3(2) - 6 = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 2} (x^3 - 2x^2 + 4x - 8) = 2^3 - 2(2)^2 + 4(2) - 8 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
\( x = 2 \) pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Pay ve paydadaki üçüncü dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile iki ifadeyi de \( x - 2 \)'ye bölerek diğer çarpanlarını bulalım (polinom bölme işleminin detaylarını burada vermeyeceğiz).
\( = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x^2 + 3)}{(x - 2)(x^2 + 4)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 + 4} \)
Rasyonel ifade bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.
\( = \dfrac{2^2 + 3}{2^2 + 4} = \dfrac{7}{8} = \dfrac{a}{8} \)
\( a = 7 \) olarak bulunur.
SORU 8:
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to 3} \dfrac{ax^2 - 18}{x - 3} = b \) eşitliği verilmektedir.
Buna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen limit ifadesinin reel sayı bir sonucu olduğuna göre limitin tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz.
\( \lim_{x \to 3} \dfrac{ax^2 - 18}{x - 3} \) limitinde,
\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 3 - 3 = 0 \)
olduğunu görüyoruz. Buna göre payın limitinin de sıfır olması ve ifadede giderilebilir bir \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği olması gerekir, aksi takdirde ifade \( c \ne 0 \) olacak şekilde \( \dfrac{c}{0} \) tanımsızlığına dönüşür. Buna göre payın limitini sıfıra eşitleyerek \( a \) değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 3} (ax^2 - 18) = a3^2 - 18 = 0 \)
\( a = 2 \)
\( a \) değerini limit ifadesinde yerine koyalım ve çarpanlara ayırma yöntemiyle ifadeyi sadeleştirelim.
\( \lim_{x \to 3} \dfrac{2x^2 - 18}{x - 3} \)
\( = \lim_{x \to 3} \dfrac{2(x^2 - 9)}{x - 3} \)
\( = \lim_{x \to 3} \dfrac{2(x - 3)(x + 3)}{x - 3} \)
\( = \lim_{x \to 3} 2(x + 3) \)
Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.
\( = 2(3 + 3) = 12 = b \)
Buna göre, \( a + b = 2 + 12 = 14 \) bulunur.
SORU 9:
\( \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 12x + 18}{x^2 + 2x - 3} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 12x + 18}{x^2 + 2x - 3} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 1} (x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 12x + 18) = 1^4 + 2(1)^3 - 9(1)^2 - 12(1) + 18 = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 1} (x^2 + 2x - 3) = 1^2 + 2(1) - 3 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
\( x = 1 \) pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Paydaki üçüncü dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile bu ifadeyi \( x^2 + 2x - 3 \)'e bölerek diğer çarpanını bulalım (polinom bölme işleminin detaylarını burada vermeyeceğiz).
\( x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 12x + 18 = (x^2 + 2x - 3)(x^2 - 6) \)
Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 12x + 18}{x^2 + 2x - 3} = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x^2 + 2x - 3)(x^2 - 6)}{x^2 + 2x - 3} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1} (x^2 - 6) \)
Polinom fonksiyonları tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limiti hesaplayabiliriz.
\( = 1^2 - 6 = -5 \) bulunur.
Pay ve payda belirsizliği ortadan kaldıracak şekilde ortak bir çarpana ayrılmıyorsa ve pay ya da payda köklü bir ifade içeriyorsa payı ve paydayı bu köklü ifadenin eşleniği ile çarparak ve oluşan ifadeyi sadeleştirerek belirsizliği gidermeyi deneyebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.
SORU 10:
\( \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \) limitinin sonucunu bulun.
Çözümü Göster
\( \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \) limitinde,
\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{x + 7} - 3) = \sqrt{2 + 7} - 3 = 0 \)
ve
\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{x - 1} - 1) = \sqrt{2 - 1} - 1 = 0 \)
olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Hem pay hem de payda köklü ifade içerdiği için, bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı bu iki köklü ifadenin eşlenikleri ile çarpalım.
\( \lim_{x \to 2} [ \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \cdot \) \( \dfrac{(\sqrt{x + 7} + 3)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(\sqrt{x + 7} + 3)(\sqrt{x - 1} + 1)} ] \)
\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(\sqrt{x + 7}^2 - 3^2)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(\sqrt{x - 1}^2 - 1^2)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)
\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x + 7 - 9)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x - 1 - 1)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)
\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)
Pay ve paydadaki ortak \( (x - 2) \) çarpanını sadeleştirelim.
\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x - 1} + 1}{\sqrt{x + 7} + 3} \)
Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.
\( = \dfrac{\sqrt{2 - 1} + 1}{\sqrt{2 + 7} + 3} \)
\( = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
SORU 11:
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{\sqrt{\frac{x}{2} + 5} - 3}{x - 8} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{\sqrt{\frac{x}{2} + 5} - 3}{x - 8} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 8} {(\sqrt{\frac{x}{2} + 5} - 3)} = \sqrt{9} - 3 = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 8} {(x - 8)} = 8 - 8 = 0 \)
olduğu için \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı paydaki köklü ifadenin eşleniği ile çarpalım.
\( \lim\limits_{x \to 8} (\dfrac{\sqrt{\frac{x}{2} + 5} - 3}{x - 8} \cdot \dfrac{\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3}{\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3}) \)
\( = \lim\limits_{x \to 8}\dfrac{(\sqrt{\frac{x}{2} + 5})^2 - 3^2}{(x - 8)(\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 8}\dfrac{\frac{x}{2} + 5 - 9}{(x - 8)(\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 8}\dfrac{\frac{x}{2} - 4}{2(\frac{x}{2} - 4)(\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{1}{2(\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3)} \)
Belirsizlik ortadan kalktığı için bu ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.
\( = \dfrac{1}{2(\sqrt{\frac{8}{2} + 5} + 3)} \)
\( = \dfrac{1}{12} \) bulunur.
SORU 12:
\( \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{5 - \sqrt{2x + 1}}{x^2 - 7x - 60} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{5 - \sqrt{2x + 1}}{x^2 - 7x - 60} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 12} (5 - \sqrt{2x + 1}) = 5 - \sqrt{25} = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 12} (x^2 - 7x - 60) = 12^2 - 7(12) - 60 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı payın eşleniği ile çarpalım.
\( \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{(5 - \sqrt{2x + 1})(5 + \sqrt{2x + 1})}{(x^2 - 7x - 60)(5 + \sqrt{2x + 1})} \)
\( =\lim\limits_{x \to 12} \dfrac{5^2 - (\sqrt{2x + 1})^2}{(x^2 - 7x - 60)(5 + \sqrt{2x + 1})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{25 - (2x + 1)}{(x^2 - 7x - 60)(5 + \sqrt{2x + 1})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{2(12 - x)}{(x - 12)(x + 5)(5 + \sqrt{2x + 1})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{-2}{(x + 5)(5 + \sqrt{2x + 1})} \)
Bu limit ifadesinin paydası \( x = 12 \) noktasında sıfır olmadığı için fonksiyon bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.
\( = \dfrac{-2}{(12 + 5)(5 + \sqrt{2(12) + 1})} \)
\( = -\dfrac{2}{17(5 + 5)} = -\dfrac{1}{85} \) bulunur.
SORU 13:
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x\cos{x}} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x\cos{x}} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 0} \sin(2x) = \sin{0} = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 0} (x\cos{x}) = 0\cos{0} = 0 \cdot 1 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için trigonometrik özdeşlikleri kullanalım.
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}\cos{x}}{x\cos{x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}}{x} \)
\( = 2\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)
\( = 2 \cdot 1 = 2 \) bulunur.
SORU 14:
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x(1 + \cos{x})} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x(1 + \cos{x})} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 0} (1 - \cos(2x)) = 1 - \cos{0} = 1 - 1 = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 0} (x(1 + \cos{x})) = 0(1 + \cos{0}) = 0 \cdot 2 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için trigonometrik özdeşlikleri kullanalım.
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - (2\cos^2{x} - 1)}{x(1 + \cos{x})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 - 2\cos^2{x}}{x(1 + \cos{x})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos^2{x})}{x(1 + \cos{x})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{x(1 + \cos{x})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos{x})}{x} \)
\( = 2\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} = 0 \)
\( = 2 \cdot 0 = 0 \) bulunur.
SORU 15:
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5\sin(9x)}{2\sin(7x)} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5\sin(9x)}{2\sin(7x)} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 0} (5\sin(9x)) = 5\sin{0} = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 0} (2\sin(7x)) = 2\sin{0} = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Payı ve paydayı \( x \) ile çarpalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5\sin(9x) \cdot x}{2\sin(7x) \cdot x} \)
Limit ifadesini düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{\sin(9x)}{2x} \cdot \dfrac{5x}{\sin(7x)}) \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(9x)}{2x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5x}{\sin(7x)} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)
\( = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{5}{7} \)
\( = \dfrac{45}{14} \) bulunur.
SORU 16:
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x^2} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x^2} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 0} (1 - \cos{x}) = 1 - 1 = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0^2 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için payı ve paydayı paydaki ifadenin eşleniği ile çarpalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{x^2(1 + \cos{x})} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos^2{x}}{x^2(1 + \cos{x})} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^2{x}}{x^2(1 + \cos{x})} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos{x}}) \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, üç çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi üç limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{1 + \cos{x}} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)
\( = 1 \cdot 1 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{1 + \cos{x}} \)
Üçüncü çarpan \( x = 0 \) noktasında tanımlı ve sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.
\( = \dfrac{1}{1 + \cos{0}} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.
SORU 17:
\( \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin(x - \pi)}{x^4 - \pi^4} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin(x - \pi)}{x^4 - \pi^4} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to \pi} \sin(x - \pi) = \sin(\pi - \pi) = \sin{0} = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to \pi} (x^4 - \pi^4) = \pi^4 - \pi^4 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin(x - \pi)}{x^4 - \pi^4} = \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin(x - \pi)}{(x^2 - \pi^2)(x^2 + \pi^2)} \)
\( = \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin(x - \pi)}{(x - \pi)(x + \pi)(x^2 + \pi^2)} \)
Sinüs fonksiyonunun içindeki ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.
\( h = x - \pi \Longrightarrow x = h + \pi \)
\( x \to \pi \) iken \( h \to 0 \) olur.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h(h + \pi + \pi)[(h + \pi)^2 + \pi^2]} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h(h + 2\pi)[(h + \pi)^2 + \pi^2]} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{h \to 0} (\dfrac{\sin{h}}{h} \cdot \dfrac{1}{(h + 2\pi)[(h + \pi)^2 + \pi^2]}) \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{(h + 2\pi)[(h + \pi)^2 + \pi^2]} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h} = 1 \)
\( = 1 \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{(h + 2\pi)[(h + \pi)^2 + \pi^2]} \)
İkinci çarpan \( h = 0 \) noktasında tanımlı ve sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.
\( = \dfrac{1}{(0 + 2\pi)[(0 + \pi)^2 + \pi^2]} \)
\( = \dfrac{1}{2\pi(2\pi^2)} = \dfrac{1}{4\pi^3} \) bulunur.
SORU 18:
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\cos{x} - 4}{5\sin{x}} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\cos{x} - 4}{5\sin{x}} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 0} (4\cos{x} - 4) = 4(1) - 4 = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 0} \sin{x} = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için limit ifadesinin payını ve paydasını \( x \)'e bölelim.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\cos{x} - 4}{5\sin{x}} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{4(\cos{x} - 1)}{x}}{\frac{5\sin{x}}{x}} \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, payın ve paydanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin bölümü şeklinde yazabiliriz.
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} \frac{4(\cos{x} - 1)}{x}}{\lim\limits_{x \to 0} \frac{5\sin{x}}{x}} \)
\( = \dfrac{4\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos{x} - 1}{x}}{5\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} = 0 \)
\( = \dfrac{4 \cdot 0}{5 \cdot 1} = 0 \) bulunur.
SORU 19:
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(11x)}{\sin(5x)} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(11x)}{\sin(5x)} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 0} \tan(11x) = \tan{0} = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 0} \sin(5x) = \sin{0} = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için tanjant ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(11x)}{\sin(5x)} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(11x)}{\cos(11x)}}{\sin(5x)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(11x)}{\cos(11x)\sin(5x)} \)
İfadenin payını ve paydasını \( x \) ile çarpalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\sin(11x)}{x\cos(11x)\sin(5x)} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{1}{\cos(11x)} \cdot \dfrac{\sin(11x)}{x} \cdot \dfrac{x}{\sin(5x)}) \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, üç çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi üç limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(11x)} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(11x)}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin(5x)} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(11x)} \cdot \dfrac{11}{1} \cdot \dfrac{1}{5} \)
Birinci çarpandaki ifade \( x = 0 \) noktasında tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.
\( = \dfrac{1}{\cos{0}} \cdot \dfrac{11}{5} = \dfrac{11}{5} \) bulunur.
SORU 20:
\( \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin(x - 3)}{x^2 + x - 12} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin(x - 3)}{x^2 + x - 12} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 3} \sin(x - 3) = \sin{0} = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 3} (x^2 + x - 12) = 3^2 + 3 - 12 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Limit ifadesini düzenleyelim.
\( \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin(x - 3)}{x^2 + x - 12} = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin(x - 3)}{(x - 3)(x + 4)} \)
Bu belirsizliği gidermek için sinüs fonksiyonunun içindeki ifadeye değişken değiştirme yöntemi uygulayalım.
\( h = x - 3 \Longrightarrow x = h + 3 \)
\( x \to 3 \) iken \( h \to 0 \) olur.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h((h + 3) + 4)} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h(h + 7)} \)
Limit ifadesini düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{h \to 0} (\dfrac{\sin{h}}{h} \cdot \dfrac{1}{h + 7}) \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h + 7} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)
\( = 1 \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h + 7} \)
İkinci çarpandaki ifade \( h = 0 \) noktasında tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.
\( = 1 \cdot \dfrac{1}{0 + 7} = \dfrac{1}{7} \) bulunur.
SORU 21:
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x + \tan{x}} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x + \tan{x}} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 0} \sin(2x) = \sin{0} = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 0} (x + \tan{x}) = 0 + \tan{0} = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı \( \frac{1}{x} \) ile çarpalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x) \cdot \frac{1}{x}}{(x + \tan{x}) \cdot \frac{1}{x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(2x)}{x}}{\frac{x + \tan{x}}{x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(2x)}{x}}{1 + \frac{\tan{x}}{x}} \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, payın ve paydanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin bölümü şeklinde yazabiliriz.
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}}{\lim\limits_{x \to 0} (1 + \frac{\tan{x}}{x})} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}}{\lim\limits_{x \to 0} 1 + \lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x}} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan{x}}{x} = 1 \)
\( = \dfrac{\frac{2}{1}}{1 + 1} = 1 \) bulunur.
SORU 22:
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(5x) - \sin(5x)}{x^3} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(5x) - \sin(5x)}{x^3} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 0} (\tan(5x) - \sin(5x)) = \tan{0} - \sin{0} = 0 - 0 = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 0} x^3 = 0^3 = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Tanjant ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(5x) - \sin(5x)}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)} - \sin(5x)}{x^3} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(5x) - \sin(5x)\cos(5x)}{\cos(5x)}}{x^3} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)(1 - \cos(5x))}{x^3 \cos(5x)} \)
Payı ve paydayı \( (1 + \cos(5x)) \) ile çarpalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)(1 - \cos(5x)) (1 + \cos(5x))}{x^3\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)(1 - \cos^2(5x))}{x^3\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)\sin^2(5x)}{x^3\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^3(5x)}{x^3\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)
Limit ifadesini düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{\sin^3(5x)}{x^3} \cdot \dfrac{1}{\cos(5x)(1 + \cos(5x))}) \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^3(5x)}{x^3} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)
Limiti tanımlı bir ifadenin üssünün limiti limitinin üssüne eşittir.
\( = (\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x})^3 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)
\( = 5^3 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)
\( = 125\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)
Limiti alınan ifade \( x = 0 \) noktasında tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.
\( = 125 \cdot \dfrac{1}{1 \cdot (1 + 1)} \)
\( = \dfrac{125}{2} \) bulunur.
SORU 23:
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{7h^2 + 4h} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{7h^2 + 4h} \) limitinde,
\( \lim\limits_{h \to 0} \sin(3h) = \sin{0} = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{h \to 0} (7h^2 + 4h) = 7(0)^2 + 4(0) = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Limit ifadesini düzenleyelim.
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{7h^2 + 4h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{h(7h + 4)} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} (\dfrac{\sin(3h)}{h} \cdot \dfrac{1}{7h + 4}) \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{7h + 4} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)
\( = \dfrac{3}{1} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{7h + 4} \)
Limiti alınan ifade \( h = 0 \) noktasında tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.
\( = 3 \cdot \dfrac{1}{7(0) + 4} = \dfrac{3}{4} \) bulunur.
SORU 24:
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^7\sin(13x)}{\sin^8(2x)} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^7\sin(13x)}{\sin^8(2x)} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 0} (x^7\sin(13x)) = 0^7\sin{0} = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 0} \sin^8(2x) = \sin^8{0} = 0 \)
olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Payı ve paydayı \( x \) ile çarpalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^7\sin(13x) \cdot x}{\sin^8(2x) \cdot x} \)
Limit ifadesini düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{\sin(13x)}{x} \cdot \dfrac{x^8}{\sin^8(2x)}) \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(13x)}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^8}{\sin^8(2x)} \)
Limiti tanımlı bir ifadenin üssünün limiti limitinin üssüne eşittir.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(13x)}{x} \cdot (\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin(2x)})^8 \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)
\( = 13 \cdot (\dfrac{1}{2})^8 = \dfrac{13}{256} \) bulunur.
