0/0 Belirsizliği

\( \frac{0}{0} \) belirsizliği ayrı ayrı limitleri 0 olan iki ifadenin bölümünün limiti alındığında oluşur.

Tüm belirsizliklerde olduğu gibi, bir fonksiyonun limitini hesaplarken \( \frac{0}{0} \) belirsizliği elde etmemiz fonksiyonun bu noktada limitinin tanımsız ya da sıfır olduğu anlamına gelmez. Fonksiyonun bu noktada limiti tanımlı olabilir ve bu limit değerini bulmak için kullanabileceğimiz bazı yöntemler aşağıdaki gibidir.

Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme

\( \frac{0}{0} \) belirsizliği olan bir ifadede pay ve paydanın ortak bir çarpanı varsa ve limitini aldığımız değer bu çarpanı sıfır yapıyorsa payı ve paydayı çarpanlarına ayırarak ve bu ortak çarpanı sadeleştirerek belirsizliği giderebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.

SORU:

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 6x - 4}{x - 2} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

Yukarıdaki örnekte pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirdiğimizde \( \frac{0}{0} \) belirsizliğinin ortadan kalktığını ve ifadenin sadeleşmiş halinde \( x \) değerini yerine koyarak limit değerini elde edebileceğimizi gördük. Peki ortak çarpanları sadeleştirdiğimizde elde ettiğimiz yeni fonksiyonun bu noktadaki limitinin orijinal fonksiyonun aynı noktadaki limitine eşit olduğundan nasıl emin olabiliriz? Aşağıda bu soruyu cevaplamaya çalışacağız.

Sorudaki orijinal fonksiyonun (birinci grafik) ve sadeleşmiş halinin (ikinci grafik) grafikleri aşağıda verilmiştir.

Rasyonel fonksiyon grafiği
Rasyonel fonksiyon grafiği
Polinom fonksiyon grafiği
Polinom fonksiyon grafiği

Bu grafiklerle ilgili şu yorumları yapabiliriz.

  • Bir rasyonel fonksiyon ve o fonksiyonun pay ve paydasındaki ortak bir çarpanın sadeleşmiş şekli bir nokta dışında aynı fonksiyonlardır ve grafikleri özdeştir.
  • O nokta pay ve paydadaki bu çarpanı sıfır yapan ve belirsizliğe yol açan \( x \) değerinin karşılık geldiği noktadır.
  • Bu nokta orijinal fonksiyonun grafiğinde tanımsız, sadeleşmiş fonksiyonda ise tanımlıdır.
  • Limit bir noktadaki fonksiyon değeri ile değil, o noktanın civarındaki davranışla ilgilendiği için, iki fonksiyon arasındaki bu ayrımın limit hesaplamasına bir etkisi yoktur, dolayısıyla her ne kadar bu çarpanın sadeleşmesi yeni bir fonksiyon üretse de, bu noktadaki limit değeri açısından iki fonksiyon özdeştir.

\( \frac{0}{0} \) belirsizliğinde pay ve payda birer polinom ise ve ifadeyi çarpanlarına ayıramıyorsak pay ve paydadan daha yüksek dereceli olan ifadeyi diğerine polinom bölmesi ile bölmeyi deneyebiliriz. Bu polinom bölmesi işleminin sonucu bize ortak çarpanların sadeleşmiş halini verecektir.

SORU:

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{ax^2 - 18}{x - 3} = b \) eşitliği verilmektedir.

Buna göre, \( a + b \) toplamını bulalım.

Çözümü Göster

Eşlenik ile Çarpma

Pay ve payda belirsizliği ortadan kaldıracak şekilde ortak bir çarpana ayrılmıyorsa ve pay ya da payda köklü bir ifade içeriyorsa payı ve paydayı bu köklü ifadenin eşleniği ile çarparak ve oluşan ifadeyi sadeleştirerek belirsizliği gidermeyi deneyebiliriz. Belirsizlik ortadan kalktıktan sonra ifadenin bu sadeleşmiş haliyle limit değerini tekrar hesaplayabiliriz.

SORU:

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \) limitinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

Özel Trigonometrik Limitler

İspatlarını trigonometrik fonksiyonların limiti bölümünde verdiğimiz bazı trigonometrik ifadelerin limit değerlerini kullanarak da \( \frac{0}{0} \) belirsizliğini giderebiliriz.

L'Hospital Kuralı

Tüm belirsizlikleri gidermek için kullanabileceğimiz bir yöntem olan L'Hospital kuralını önümüzdeki bölümde inceleyeceğiz.


« Önceki
Belirsizlik Durumları
Sonraki »
L'Hospital Kuralı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır