Asimptot

Bir fonksiyonda \( x \) ve \( y \) değerleri ayrı ayrı ya da birlikte pozitif ya da negatif sonsuza doğru giderken, fonksiyonun grafiği bir doğru ya da eğriye aralarındaki uzaklık sıfıra yaklaşacak şekilde yaklaşıyorsa bu doğruya/eğriye fonksiyonun bir asimptotu denir.

Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen üç doğru fonksiyonun asimptotlarıdır.

Asimptot tanımı
Asimptot tanımı

Asimptotlar bir fonksiyonun sonsuzdaki davranışı hakkında bilgi verir ve fonksiyonun eğrisinin çiziminde kullanılan adımlardan biridir.

Asimptotlar dikey, yatay, eğik ve eğri olmak üzere dört tipte olabilir.

Dikey Asimptot

Bir fonksiyonda \( x \) belirli bir \( a \) değerine soldan veya sağdan yaklaştıkça \( y \) değeri pozitif ya da negatif sonsuza gidiyorsa fonksiyonun bu \( a \) değerinde bir dikey asimptotu vardır ve denklemi \( x = a \) doğrusudur.

Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( x = -2 \) ve \( x = 3 \) doğruları \( f(x) \) fonksiyonunun dikey asimptotlarıdır.

Dikey asimptot
Dikey asimptot

Bir fonksiyonun herhangi bir sayıda dikey asimptotu olabilir ya da hiç olmayabilir.

Bir fonksiyon dikey asimptotun oluştuğu noktada tanımsızdır, dolayısıyla grafiği dikey asimptota yaklaşır, ama hiçbir zaman kesmez. Bununla birlikte, bir fonksiyon parçalı fonksiyon şeklinde tanımlanarak dikey asimptotun oluştuğu noktadaki tanımsızlığı ve süreksizliği giderilebilir.

Rasyonel Fonksiyonlarda Dikey Asimptot

Payı ve paydası birer polinom olan rasyonel fonksiyonlarda paydadaki ifadeyi sıfır yapan, ama paydaki ifadeyi sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur. Buna göre; bir rasyonel fonksiyonun dikey asimptotlarını bulmak için önce pay ve paydanın ortak çarpanları sadeleştirilir, sonra paydayı sıfır yapan \( x \) değerleri bulunur.

Rasyonel fonksiyonlarda hem payı hem de paydayı sıfır yapan değerlerde dikey asimptot oluşmaz, sadece tanımsız nokta oluşur.

\( n \). dereceden bir polinom fonksiyonunun en fazla \( n \) reel kökü olabileceği için, paydası \( n \). dereceden olan bir rasyonel fonksiyonun en az sıfır en fazla \( n \) dikey asimptotu olabilir. Tek dereceli bir polinom \( x \) eksenini en az bir noktada kestiği, dolayısıyla \( y = 0 \) değerini en az bir kez aldığı için, paydası tek dereceli olan rasyonel polinomların en az bir dikey asimptotu vardır.

Trigonometrik Fonksiyonlarda Dikey Asimptot

Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarını tanımsız yapan aşağıdaki değerlerde fonksiyon grafiklerinde birer asimptot oluşur.

Grafik Fonksiyon ve Asimptotları
Tanjant fonksiyonunda dikey asimptot (örnek)

Tanjant fonksiyonu:

\( f(x) = \tan{x} \)

Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar:

\( x \in \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \)

Kotanjant fonksiyonunda dikey asimptot (örnek)

Kotanjant fonksiyonu:

\( f(x) = \cot{x} \)

Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar:

\( x \in \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \)

Sekant fonksiyonunda dikey asimptot (örnek)

Sekant fonksiyonu:

\( f(x) = \sec{x} \)

Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar:

\( x \in \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \)

Kosekant fonksiyonunda dikey asimptot (örnek)

Kosekant fonksiyonu:

\( f(x) = \csc{x} \)

Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar:

\( x \in \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \)

Logaritma Fonksiyonlarında Dikey Asimptot

Logaritma fonksiyonlarında logaritma içini sıfır yapan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.

Yatay Asimptot

Bir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayı değerine yaklaşıyorsa bu \( a \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = a \) doğrusudur.

Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( y = -4 \) ve \( y = 4 \) doğruları \( f(x) \) fonksiyonunun yatay asimptotlarıdır.

Yatay asimptot
Yatay asimptot

Bir fonksiyonun bir ya da iki yatay asimptotu olabilir ya da hiç olmayabilir.

Yukarıdaki örnekte de görülebileceği gibi, fonksiyon grafiği yatay asimptotu kesebilir.

Rasyonel Fonksiyonlarda Yatay Asimptot

Üstel Fonksiyonlarda Yatay Asimptot

\( a^x \) ya da \( e^x \) formundaki üstel fonksiyonlarda \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri sıfıra yaklaştığı için \( y = 0 \) doğrusu bir yatay asimptot olur.

Üstel fonksiyonda yatay asimptot
Üstel fonksiyonda yatay asimptot

Trigonometrik Fonksiyonlarda Yatay Asimptot

Ters tanjant fonksiyonunun \( y = -\frac{\pi}{2} \) ve \( y = \frac{\pi}{2} \) olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.

Ters tanjant fonksiyonunda yatay asimptot
Ters tanjant fonksiyonunda yatay asimptot

Ters kotanjant fonksiyonunun \( y = 0 \) ve \( y = \pi \) olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.

Ters kotanjant fonksiyonunda yatay asimptot
Ters kotanjant fonksiyonunda yatay asimptot

Eğik Asimptot

\( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon grafiğinin yaklaştığı asimptot \( y = a \) şeklinde sabit bir fonksiyon değil, \( y = mx + c \) şeklinde bir doğru ise bu doğruya eğik asimptot ya da eğimli asimptot denir. Buna göre yatay asimptotlar eğimi sıfır olan birer eğik asimptot olarak da düşünülebilir.

Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( y = x + 2 \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun eğik asimptotudur.

Eğik asimptot
Eğik asimptot

Eğri Asimptot

Asimptotlar sadece doğrusal değil, ikinci ya da daha yüksek dereceden birer polinom fonksiyonu da olabilir. Bu tip doğrusal olmayan asimptotlara eğri asimptot denir.

Yatay, eğik ve eğri asimptotlar (dikey asimptotlardan farklı olarak) birbirlerinden dereceleri ile ayrılan ve \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken oluşan asimptot tipleri olarak düşünülebilir.

Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( y = x^2 - 2x + 1 \) eğrisi \( f(x) \) fonksiyonunun eğri asimptotudur.

Eğri asimptot
Eğri asimptot

Grafikte görebileceğimiz gibi, fonksiyon eğrisi \( x \) negatif sonsuza giderken asimptota içten, \( x \) pozitif sonsuza giderken dıştan yaklaşmaktadır.

Yatay/Eğik/Eğri Asimptotların Bulunması

Bir fonksiyon yatay, eğik ve eğri asimptot tiplerinden sadece birine sahip olabilir. Eğer fonksiyon bu üç tipten birine sahip ise asimptotun hangi tipte olduğunu bulmak için aşağıdaki yöntemleri kullanabiliriz.

Rasyonel Fonksiyonlar

Bir rasyonel fonksiyonun pay ve paydasındaki polinom fonksiyonlarının derecelerine sırasıyla \( m \) ve \( n \), her iki polinomun başkatsayılarına da sırasıyla \( a \) ve \( b \) diyelim.

Bir rasyonel fonksiyonun yatay/eğik/eğri asimptotunun denklemini bulmak için önce paydaki polinomun paydadaki polinoma bölümü bulunur.

Bu polinom bölme işleminin sonucu olan \( B(x) \) polinomu yatay/eğik/eğri asimptotun denklemini verir. Bu bölme işleminin sonucu dört farklı şekilde olabilir.

Payın ve Paydanın Derecesi Asimptot Denklemi Örnek

Payın derecesi paydanınkinden küçük

\( m \lt n \)

Bu durumda bölüm polinomu \( B(x) = 0 \) olacağı için, asimptot denklemi de \( y = 0 \) olur, dolayısıyla \( x \) ekseni ile çakışık yatay bir asimptot oluşur.

\( der[B(x)] = 0 \)

Asimptot denklemi: \( y = 0 \)

\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)

Asimptot denklemi: \( y = 0 \)

Payın derecesi paydanınkine eşit

\( m = n \)

Bu durumda bölüm polinomu sabit fonksiyon, asimptot denklemi de pay ve paydanın başkatsayılarının oranı olur, dolayısıyla yine yatay bir asimptot oluşur.

\( der[B(x)] = m - n = 0 \)

Asimptot denklemi: \( y = \dfrac{a}{b} \)

\( f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1} \)

Asimptot denklemi: \( y = \dfrac{2}{1} = 2 \)

Payın derecesi paydanınkinden 1 fazla

\( m - n = 1 \)

Bu durumda bölüm polinomu doğrusal fonksiyon, asimptot denklemi de \( y = mx + c \) şeklinde bir doğru olur.

\( der[B(x)] = m - n = 1 \)

Asimptot denklemi: \( y = mx + c \)

\( f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 2} \)

Asimptot denklemi: \( y = x + 2 \)

Payın derecesi paydanınkinden 2+ fazla

\( m - n \gt 1 \)

Bu durumda bölüm polinomunun ve asimptot denkleminin derecesi pay ve paydanın derecelerinin farkına eşit olur, yani ikinci ya da daha yüksek dereceden bir eğri asimptot oluşur.

\( der[B(x)] = m - n \gt 1 \)

Asimptot denklemi: \( y = ax^{m - n} + \ldots \)

\( f(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x} \)

Asimptot denklemi: \( y = x^2 - 2x + 1 \)

SORU 1:

\( f(x) = \dfrac{9x - 7}{3x + 6} \) fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.

Rasyonel ifadelerde paydadaki ifadeyi sıfır yapan, ama paydaki ifadeyi sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.

Paydayı sıfıra eşitleyelim.

\( 3x + 6 = 0 \)

\( x = -2 \)

Bu değerin payı sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim.

\( 9(-2) - 7 = -25 \ne 0 \)

\( x = -2 \) değeri paydayı sıfır yapıp payı sıfır yapmadığı için \( f \) fonksiyonunun bir dikey asimptotudur.

\( x \to -2^- \) iken \( 3x + 6 \to 0^- \) olur.

\( \lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{9x - 7}{3x + 6} = +\infty \)

\( x \to -2^+ \) iken \( 3x + 6 \to 0^+ \) olur.

\( \lim\limits_{x \to -2^+} \dfrac{9x - 7}{3x + 6} = -\infty \)

Bir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayı değerine yaklaşıyorsa bu \( a \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = a \) doğrusudur.

\( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.

\( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{9x - 7}{3x + 6} \)

\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x(9 - \frac{7}{x})}{x(3 + \frac{6}{x})} \)

\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{9 - \frac{7}{x}}{3 + \frac{6}{x}} \)

\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to -\infty} {9} - \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{7}{x}}{\lim\limits_{x \to -\infty} {3} + \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{6}{x}} \)

\( = \dfrac{9 - 0}{3 + 0} \)

\( = \dfrac{9}{3} = 3 \)

Buna göre \( y = 3 \) doğrusu \( x \) negatif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.

\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.

\( \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{9x - 7}{3x + 6} \)

\( = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x(9 - \frac{7}{x})}{x(3 + \frac{6}{x})} \)

\( = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{9 - \frac{7}{x}}{3 + \frac{6}{x}} \)

\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to +\infty} {9} - \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{7}{x}}{\lim\limits_{x \to +\infty} {3} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{6}{x}} \)

\( = \dfrac{9 - 0}{3 + 0} \)

\( = \dfrac{9}{3} = 3 \)

Buna göre \( y = 3 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.


SORU 2:

\( f(x) = \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} \) fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.

Rasyonel ifadelerde paydadaki ifadeyi sıfır yapan, ama paydaki ifadeyi sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.

Paydayı sıfıra eşitleyelim.

\( \sqrt{x^2 + 2x - 3} = 0 \)

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

\( (x + 3)(x - 1) = 0 \)

\( x = -3 \) ya da \( x = 1 \)

Bu değerlerin payı sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim.

\( 5(-3) + 4 = -11 \ne 0 \)

\( 5(1) + 4 = 9 \ne 0 \)

\( x = -3 \) ve \( x = 1 \) değerleri paydayı sıfır yapıp payı sıfır yapmadığı için \( f \) fonksiyonunun birer dikey asimptotudur.

\( x \to -3^- \) iken \( x^2 + 2x - 3 \to 0^+ \) olur.

\( \lim\limits_{x \to -3^-} \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} = -\infty \)

\( x \to 1^+ \) iken \( x^2 + 2x - 3 \to 0^+ \) olur.

\( \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} = +\infty \)

\( x \in (-3, 1) \) aralığında karekök ifadesi tanımsız olduğu için \( f \) fonksiyonu bu aralıkta tanımsız olur.

Bir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayı değerine yaklaşıyorsa bu \( a \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = a \) doğrusudur.

\( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.

\( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} \)

\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2})}} \)

\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{\abs{x}\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)

\( x \to -\infty \) iken \( \abs{x} = -x \) olur.

\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)

\( = \lim\limits_{x \to -\infty} -\dfrac{5 + \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)

\( = -\dfrac{\lim\limits_{x \to -\infty} {5} + \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{4}{x}}{\lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)

\( = -\dfrac{\lim\limits_{x \to -\infty} {5} + \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{4}{x}}{\sqrt{\lim\limits_{x \to -\infty} {1} + \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{2}{x} - \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{3}{x^2}}} \)

\( = -\dfrac{5 + 0}{\sqrt{1 + 0 - 0}} \)

\( = -\dfrac{5}{1} = -5 \)

Buna göre \( y = -5 \) doğrusu \( x \) negatif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.

\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.

\( \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} \)

\( = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2})}} \)

\( = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{\abs{x}\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)

\( x \to +\infty \) iken \( \abs{x} = x \) olur.

\( = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{x\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)

\( = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5 + \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)

\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to +\infty} {5} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{4}{x}}{\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)

\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to +\infty} {5} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{4}{x}}{\sqrt{\lim\limits_{x \to +\infty} {1} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2}{x} - \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{3}{x^2}}} \)

\( = \dfrac{5 + 0}{\sqrt{1 + 0 - 0}} \)

\( = \dfrac{5}{1} = 5 \)

Buna göre \( y = 5 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.


SORU 3:

\( f(x) = \sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x} \) fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.

Bir fonksiyonda \( x \) belirli bir \( a \) değerine soldan veya sağdan yaklaştıkça \( y \) değeri pozitif ya da negatif sonsuza gidiyorsa fonksiyonun bu \( a \) değerinde bir dikey asimptotu vardır ve denklemi \( x = a \) doğrusudur.

Bir karekök ifadesinin içi negatif olamayacağı için verilen fonksiyon sadece \( x \ge 0 \) için tanımlıdır.

\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) olacak şekilde bir \( a \) değeri olmadığı için \( f \) fonksiyonunun dikey asimptotu yoktur.

Bir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayı değerine yaklaşıyorsa bu \( a \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = a \) doğrusudur.

\( f \) fonksiyonu sadece \( x \ge 0 \) için tanımlı olduğu için sadece \( x \to +\infty \) durumunu ele alabiliriz.

\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.

\( \lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x}) \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{2x + 1} = +\infty \)

ve

\( \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{2x} = +\infty \)

olduğu için \( \infty - \infty \) belirsizliği vardır.

Belirsizliği gidermek için payı ve paydayı paydaki ifadenin eşleniği ile çarpalım.

\( \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x})(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x})}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)

\( = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(\sqrt{2x + 1})^2 - (\sqrt{2x})^2}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)

\( = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1 - 2x}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)

\( = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)

\( x \to +\infty \) iken paydadaki ifade pozitif sonsuza gider.

\( = 0 \)

Buna göre \( y = 0 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.


« Önceki
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
Sonraki »
Sonsuz Limit


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır