Polinomların Çarpanları ve Kökleri

Bir polinomu iki ya da daha fazla polinomun ya da reel sayının çarpımı biçiminde yazma işlemine bu polinomu çarpanlarına ayırma işlemi denir. Bir polinomunun çarpma işlemi ile ayrılmış kısımlarına polinomun çarpanları denir.

Polinomun çarpanları
Polinomun çarpanları

Bir polinom ve çarpanlarına ayrılmış biçimi eşit polinomlardır. Çarpanlarına ayrılmış bir polinomun çarpanları arasında çarpma işlemi yaptığımızda yine orijinal polinomu elde ederiz.

Çarpanlarına ayrılmış bir polinom çarpanlar dışında birbirinden toplama ve çıkarma işlemi ile ayrılmış terimler içeremez. Aşağıdaki polinom çarpanlarına ayrılmış bir polinom değildir.

Polinomun Sıfırları

Bir polinomda \( x \) yerine koyduğumuzda polinom değerini sıfır yapan değerlere polinomun sıfırları denir.

Bir polinomun sıfırlarını polinomu çarpanlarına ayırarak, polinom grafiğinin \( x \) eksenini kestiği (yani polinom değerinin sıfır olduğu) noktaları bularak ya da deneme yanılma yöntemiyle (belirli bir değerin polinomu sıfır yapıp yapmadığını test ederek) bulabiliriz.

Çarpan Teoremi

Çarpan Teoremi önceki bölümde gördüğümüz Kalan Teoremi'nin bir uzantısıdır ve bir polinomun sıfırları ve çarpanları arasındaki ilişkiyi tanımlar.

Çarpan Teoremi'ne göre, bir \( a \) sayısı bir polinomun sıfırı ise \( x - a \) bu polinomun bir çarpanıdır. Benzer şekilde, \( x - a \) bir polinomun çarpanlarından biri ise \( a \) sayısı bu polinomun bir sıfırıdır.

Bir polinomu sıfır yapan bir değer biliniyorsa ya da tahmin edilebiliyorsa Çarpan Teoremi ile polinomu bir çarpanına ayırarak çarpanlarına ayırması daha kolay düşük dereceli bir polinom elde edebiliriz.

Bir \( P(x) \) polinomunun çarpanı olan bir polinomun çarpanlarının/sıfırlarının tümü \( P(x) \) polinomunun da birer çarpanı/sıfırı olur.

Polinom Denklemi

Bir polinomun sıfıra eşitlenmiş denklem haline polinom denklemi denir.

Çarpanlarına ayrılmış bir polinom denkleminin her bir çarpanını sıfır yapan değerlere o polinom denkleminin kökleri denir. Bir polinomun sıfırları aynı zamanda o polinomun denkleminin kökleridir (bir diğer deyişle polinom denklemini sağlar).

Cebirin Temel Teoremi'ne göre, reel katsayılı ve \( n \). dereceden (\( n \ge 1 \)) bir polinom denkleminin \( n \) karmaşık sayı kökü vardır. Karmaşık sayıların reel sayıları da kapsadığını düşünürsek, bu kökler birer reel sayı ya da sanal bileşeni olan birer karmaşık sayı olabilir. Ayrıca bu köklerin bazıları tekrar eden katlı kökler olabilir.

Bir polinom denkleminin reel kökleri aynı zamanda o polinom grafiğinin \( x \) eksenini kestiği noktaların apsis değerlerini verir. Buna göre, bir polinom denkleminin reel köklerinin sayısı o polinom grafiğinin \( x \) eksenini kaç noktada kestiğini gösterir.

\( n \) tek sayı olmak üzere, \( n. \) dereceden bir polinom denkleminin en az bir, en çok \( n \) reel kökü olabilir, dolayısıyla \( x \) eksenini en az bir, en çok \( n \) noktada keser.

\( n \) çift sayı olmak üzere, \( n. \) dereceden bir polinom denkleminin en az sıfır, en çok \( n \) reel kökü olabilir, dolayısıyla \( x \) eksenini en az sıfır, en çok \( n \) noktada keser.

Bir polinom denkleminin karmaşık sayı kökleri varsa bu kökler mutlaka birbirinin eşleniği şeklinde olur, dolayısıyla karmaşık sayı köklerin sayısı sadece ikinin katı olabilir.

Polinom grafiklerini Polinom Fonksiyonları konusunda daha detaylı ele alacağız.

SORU:

Katsayılar toplamı 60 ve sabit terimi 18 olan dördüncü dereceden bir polinom \( x + 1 \), \( x + 2 \) ve \( x - 3 \) ile tam bölünebilmektedir.

Buna göre, bu polinom \( x - 2 \) ile bölündüğünde kalan kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

Üçüncü dereceden bir \( P(x) \) polinomunun grafiği orijine göre simetriktir.

\( P(-1) = -5 \)

\( P(2) = 22 \)

olduğuna göre, \( P(3) \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

Başkatsayısı 2 olan üçüncü dereceden bir \( P(x) \) polinomunda,

\( P(-2) = P(1) = P(5) = 0 \)

olduğuna göre, \( P(x) \)'in \( x - 3 \) ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( P(x) \) üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere,

\( P(-1) = P(1) = P(3) = 5 \)

\( P(2) = 11 \)

olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunun sabit terimi kaçtır?

Çözümü Göster

Polinomda Kökler Toplamı ve Çarpımı

İkinci dereceden denklemlerde olduğu gibi polinomların da (reel olan ve olmayan) kökler toplamını ve çarpımını denklemin katsayıları üzerinden hesaplayabiliriz.

SORU:

\( P(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8 \)

Yukarıdaki polinomun tüm kökleri reel ve birer tam sayı olduğuna göre bu polinomu çarpanlarına ayıralım.

Çözümü Göster

İndirgenemeyen Polinom

Daha düşük dereceli ve sabit polinom olmayan çarpanlarına ayrılamayan polinomlara indirgenemeyen polinom denir.

Derecesi üç ve daha yüksek olan tek dereceli polinomların grafikleri \( x \) eksenini en az bir noktada kestiği için en azından bir reel kökleri vardır, dolayısıyla indirgenemeyen polinom olamazlar.

SORU:

Aşağıdaki polinomlardan hangisi ya da hangileri birer indirgenemeyen polinomdur?

  • \( -3x^2 + 2x - 1 \)
  • \( x^9 - 5x^4 + 7 \)
  • \( x^6 + 1 \)
  • \( x^{100} + x^{49} - 2 \)
  • \( 12x^{12} + 5x^5 - 3x^3 + x \)

Çözümü Göster


« Önceki
Kalan Teoremi
Sonraki »
Rasyonel Kök Teoremi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır