Parçalı Fonksiyon

Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı tanımlara sahip fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Bir parçalı fonksiyonda belirli bir \( x \) değeri için fonksiyon değerini bulmak için, öncelikle bu \( x \) değerinin fonksiyonda hangi aralığa karşılık geldiğini bulmamız gerekir.

Üç farklı aralıktan oluşan örnek bir parçalı fonksiyon aşağıda verilmiştir. Bu tanıma göre, \( f(x) \) fonksiyonunun \( (-\infty, -3) \) açık aralığındaki tanımı \( f(x) = 3 \), \( [-3, 2) \) yarı açık aralığındaki tanımı \( f(x) = -x \) ve \( [2, \infty) \) yarı açık aralığındaki tanımı \( f(x) = x \)'dir.

Yukarıda tanımı verilen parçalı fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir. Fonksiyonun her bir parçasının zemini farklı renklendirilmişir.

Parçalı fonksiyon
Parçalı fonksiyon

Bir parçalı fonksiyonun her bir aralığının alt ve üst sınır noktalarına kritik nokta denir. İleriki bölümlerde göreceğimiz gibi, parçalı fonksiyonların kritik noktalarının limit, süreklilik ve türev gibi konularda özel olarak ele alınması gerekmektedir. Yukarıda grafiğini verdiğimiz parçalı fonksiyonun kritik noktaları \( x = -3 \) ve \( x = 2 \) noktalarıdır.

Parçalı fonksiyonlarla ilgili önemli diğer bazı noktalar aşağıdaki gibidir:

  • Bir parçalı fonksiyonun her bir "parçası" belirli bir açık/yarı açık/kapalı aralık için tanımlanabileceği gibi, tek bir değer için de tanımlanabilir.
  • Bir parçalı fonksiyonun parçalarının tanım aralıkların birbirinden ayrık olması, yani kesişim kümelerinin boş küme olması gerekir.
  • Bir parçalı fonksiyonun parçalarının tanım aralıklarının birleşim kümesi fonksiyonun tanım kümesine eşit olmalıdır.
  • Bir parçalı fonksiyonun kritik noktalarının hangi aralığa dahil olduğuna hem fonksiyon tanımında hem de grafiğinde dikkat edilmelidir.
  • Bir parçalı fonksiyonun grafiğini çizerken her bir alt fonksiyon sadece tanımlı olduğu \( x \) aralığında çizilmeli, belirli bir \( x \) değerinde farklı parçaların grafikleri çakışmamalıdır.

Mutlak değer fonksiyonunu parçalı bir fonksiyon olarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz bir özel tanımlı fonksiyon olan işaret fonksiyonunu da parçalı fonksiyon olarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

SORU:

\( f(x)= \begin{cases} x^2 + 4 & x \lt -1 \\ 2x + 5 & x \ge -1 \end{cases} \)

olduğuna göre \( \dfrac{f(-2)}{f(2)} \) kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x)= \begin{cases} 5x - 2 & x \lt 1 \\ 2x + 1 & x \ge 1 \end{cases} \)

\( g(x)= \begin{cases} 2x + 4 & x \le 3 \\ 6x - 1 & x \gt 3 \end{cases} \)

olduğuna göre \( (g \circ f)(1) \) kaçtır?

Çözümü Göster


« Önceki
Fonksiyon Tipleri
Sonraki »
Örten ve İçine Fonksiyon


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır