Parçalı Fonksiyon

\( x = -2 \) parçalı fonksiyonun birinci aralığında tanımlıdır ve \( f(x) = x^2 + 4 \) tanımına karşılık gelir.

\( f(-2) = (-2)^2 + 4 = 8 \)

\( x = 2 \) parçalı fonksiyonun ikinci aralığında tanımlıdır ve \( f(x) = 2x + 5 \) tanımına karşılık gelir.

\( f(2) = 2(2) + 5 = 9 \)

\( \dfrac{f(-2)}{f(2)} = \dfrac{8}{9} \) olarak bulunur.

Parçalı fonksiyon tanımına göre, \( x \) 3 ile tam bölünüyorsa birinci tanım, 1 kalanını veriyorsa ikinci tanım, 2 kalanını veriyorsa üçüncü tanım geçerlidir.

4 3'e bölündüğünde 1 kalanını verdiği için ikinci tanım geçerlidir.

\( f(4) = 4 + 2 = 6 \)

5 3'e bölündüğünde 2 kalanını verdiği için üçüncü tanım geçerlidir.

\( f(5) = 5^2 + 2 = 27 \)

6 3'e tam bölündüğü için birinci tanım geçerlidir.

\( f(6) = 6^2 - 2 = 34 \)

Buna göre, \( f(4) + f(5) + f(6) = 6 + 27 + 34 = 67 \) bulunur.

Fonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( f(x) = \begin{cases} 3x & x \le 4 \\ x + f(x - 2) & x \gt 4 \end{cases} \)

\( f(11) = 11 + f(9) \)

\( f(9) = 9 + f(7) \)

\( f(7) = 7 + f(5) \)

\( f(5) = 5 + f(3) \)

\( f(3) = 3 \cdot 3 = 9 \)

Yukarıdaki ifadeleri taraf tarafa topladığımızda \( f(11) \) dışındaki fonksiyon terimleri birbirini götürür.

\( f(11) = 11 + 9 + 7 + 5 + 9 = 41 \) bulunur.

Verilen parçalı fonksiyon \( x \) değerinin sıfır, tek ya da çift olmasına göre üç farklı tanıma sahiptir.

Öncelikle \( f(0) \) değerini kullanarak \( f(1) \) değerini bulalım.

\( f(1) = k \cdot f(0) = k \)

Şimdi \( f(1) \) değerini kullanarak \( f(2) \) değerini bulalım.

\( f(2) = \dfrac{f^2(\frac{2}{2})}{5} = \dfrac{f^2(1)}{5} \)

\( = \dfrac{k^2}{5} \)

Şimdi de \( f(2) \) değerini kullanarak \( f(3) \) değerini bulalım.

\( f(3) = k \cdot f(2) = k \cdot \dfrac{k^2}{5} \)

\( = \dfrac{k^3}{5} \)

Bulduğumuz değeri \( f(3) = 25 \) değerine eşitleyelim.

\( \dfrac{k^3}{5} = 25 \)

\( k^3 = 125 \)

\( k = 5 \) bulunur.

\( k \) değerini bulmak için \( f(f(f(k))) = 30 \) ifadesini dıştan içe doğru inceleyelim.

\( f(f(k)) = a, \quad f(a) = 30 \)

\( f(a) = 30 \) yapan \( a \) değerini bulmak için iki fonksiyon tanımını ayrı ayrı 30'a eşitleyelim.

\( n \) tek ise:

\( 2a = 30 \Rightarrow a = 15 \)

\( n \) çift ise:

\( n + 5 = 30 \Rightarrow a = 25 \)

\( a = 25 \) çift sayı olmadığı için \( a = 15 \) bulunur.

\( f(f(k)) = a = 15 \)

\( f(k) = b, \quad f(b) = 15 \)

\( f(b) = 15 \) yapan \( b \) değerini bulmak için iki fonksiyon tanımını ayrı ayrı 15'e eşitleyelim.

\( n \) tek ise:

\( 2b = 15 \Rightarrow b = 7,5 \)

\( n \) çift ise:

\( b + 5 = 15 \Rightarrow b = 10 \)

\( b = 7,5 \) tek sayı olmadığı için \( b = 10 \) bulunur.

\( f(k) = b = 10 \)

\( f(k) = 10 \) yapan \( k \) değerini bulmak için iki fonksiyon tanımını ayrı ayrı 10'a eşitleyelim.

\( n \) tek ise:

\( 2k = 10 \Rightarrow k = 5 \)

\( n \) çift ise:

\( k + 5 = 10 \Rightarrow k = 5 \)

Buna göre \( k = 5 \) bulunur.

İki ya da daha fazla fonksiyon arasında yapılan işlemin sonucunun tanım kümesi, işlemin terimi olan fonksiyonların tanım kümelerinin kesişim kümesine eşittir.

Daha rahat işlem yapmak için parçalı fonksiyonları tanım aralıkları aynı olacak şekilde düzenleyelim.

\( f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1 & x \le 1 \\ x^2 - x + 1 & 1 \lt x \lt 3 \\ x^2 + x + 1 & x \ge 3 \end{cases} \)

\( g(x) = \begin{cases} 3x & x \le 1 \\ 8 - 7x & 1 \lt x \lt 3 \\ 8 - 7x & x \ge 3 \end{cases} \)

Fonksiyonların ortak tanım aralıkları arasında toplama işlemi yaparak \( f + g \) fonksiyonunu bulalım.

\( (f + g)(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 - 8x + 9 & 1 \lt x \lt 3 \\ x^2 - 6x + 9 & x \ge 3 \end{cases} \)

\( = \begin{cases} (x + 1)^2 & x \le 1 \\ x^2 - 8x + 9 & 1 \lt x \lt 3 \\ (x - 3)^2 & x \ge 3 \end{cases} \)

Birinci fonksiyonun kritik noktası \( x = 1 \), ikinci fonksiyonun kritik noktası \( x = 0 \) olur.

İki fonksiyonun kritik noktaları birlikte değerlendirildiğinde aşağıdaki tablodaki gibi üç aralık oluşur.

Buna göre \( (f \cdot g)(x) \) fonksiyonunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( (f \cdot g)(x) = \begin{cases} 6x^{2} - 4x & x \lt 0 \\ 2x^{2} - 2x & 0 \le x \le 1 \\ x^{3} - x^{2} & x \gt 1 \end{cases} \)

\( (g \circ f)(1) = g(f(1)) \)

\( x = 1 \) değeri \( f \) parçalı fonksiyonunun ikinci aralığında tanımlıdır ve \( f(x) = 2x + 1 \) tanımına karşılık gelir.

\( f(1) = 2(1) + 1 = 3 \)

\( (g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(3) \)

\( x = 3 \) değeri \( g \) parçalı fonksiyonun birinci aralığında tanımlıdır ve \( g(x) = 2x + 4 \) tanımına karşılık gelir.

\( g(3) = 2(3) + 4 = 10 \)

\( (g \circ f)(1) = g(3) = 10 \) bulunur.

\( x \) yerine \( x + 2 \) yazalım.

\( f(x + 2) = \begin{cases} 3(x + 2) - 4 & x + 2 \ge 0 \\ (x + 2) + 1 & x + 2 \lt 0 \end{cases} \)

\( f(x + 2) = \begin{cases} 3x + 2 & x \ge -2 \\ x + 3 & x \lt -2 \end{cases} \)