Parçalı Fonksiyon
Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı tanımlara sahip olan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Bir parçalı fonksiyonun farklı tanıma sahip olduğu alt aralıklara fonksiyonun dalları ya da parçaları denir.
Aşağıda üç parçadan oluşan örnek bir parçalı \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafiğe göre fonksiyonun tanımı mavi ile işaretli \( (-\infty, -3) \) aralığında \( f(x) = 3 \), kırmızı ile işaretli \( [-3, 2) \) aralığında \( f(x) = -x \), yeşil ile işaretli \( [2, \infty) \) aralığında ise \( f(x) = x \) olmaktadır.
Yukarıda grafiği verilen \( f \) fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibidir. Bu gösterimde bir parantez açılarak fonksiyonun parçaları her satırda o parçaya ait fonksiyon tanımı ve parçanın tanımlı olduğu aralık olacak şekilde alt alta listelenir.
\( f(x) = \begin{cases} 3 & x \lt -3 \\ -x & -3 \le x \lt 2 \\ x & 2 \le x \end{cases} \)
Bir parçalı fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri için değerini bulmak için, öncelikle bu \( x \) değerinin fonksiyonun hangi parçasına karşılık geldiği belirlenir.
\( x = -4 \) birinci aralıkta olduğu için \( f(x) = 3 \) tanımı geçerlidir.
\( f(-4) = 3 \)
\( x = -1 \) ikinci aralıkta olduğu için \( f(x) = -x \) tanımı geçerlidir.
\( f(-1) = -(-1) = 1 \)
\( x = 5 \) üçüncü aralıkta olduğu için \( f(x) = x \) tanımı geçerlidir.
\( f(5) = 5 \)
Bir parçalı fonksiyonun tanımının değiştiği noktalara fonksiyonun geçiş noktaları denir. Tanımladığımız parçalı \( f \) fonksiyonu için bu geçiş noktaları \( x = -3 \) ve \( x = 2 \) noktalarıdır. İleriki bölümlerde göreceğimiz üzere, parçalı fonksiyonlar limit, süreklilik ve türev gibi açılardan incelenirken geçiş noktalarının özel olarak ele alınması gerekmektedir.
Bir parçalı fonksiyonun parçaları belirli bir aralık için tanımlanabileceği gibi tek bir değer için de tanımlanabilir. Aşağıdaki parçalı fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki \( g(x) = 4 \) tanımı buna örnek olarak verilebilir.
\( g(x) = \begin{cases} -2x - 3 & x \lt 2 \\ 4 & x = 2 \\ 3x + 2 & 2 \lt x \end{cases} \)
Bir parçalı fonksiyonun grafiği çizilirken her parça sadece tanımlı olduğu aralıkta çizilmeli, farklı parçaların grafikleri belirli \( x \) değerlerinde ya da aralıklarında çakışmamalıdır.
Parçalı fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri ile ilgili üç önemli nokta aşağıdaki gibidir.
- Bir parçalı fonksiyonun parçalarının tanım aralıkları birbirinden ayrık olmalı, yani kesişim kümeleri boş küme olmalıdır.
- Bir parçalı fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun parçalarının tanım aralıklarının birleşim kümesine eşittir.
- Bir parçalı fonksiyonun görüntü kümesi, fonksiyonun parçalarının görüntülerinin birleşim kümesine eşittir.
Mutlak değer içindeki ifadenin işaretine göre iki farklı tanıma sahip olan mutlak değer fonksiyonu bir parçalı fonksiyon olarak aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.
\( f(x) = \abs{x} = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x \lt 0 \end{cases} \)
\( f(4) = 4 = \abs{4} \)
\( f(-4) = -(-4) = 4 = \abs{-4} \)
Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz özel tanımlı bir fonksiyon olan işaret fonksiyonunun parçalı fonksiyon tanımı ve grafiği de aşağıdaki gibidir.
\( g(x) = \sgn(x) = \begin{cases} 1 & x \gt 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x \lt 0 \end{cases} \)
\( g(4) = 1 \)
\( g(-4) = -1 \)
\( f(x)= \begin{cases} x^2 + 4 & x \lt -1 \\ 2x + 5 & x \ge -1 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( \dfrac{f(-2)}{f(2) + f(-1)} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x = -2 \) parçalı fonksiyonun birinci parçasında tanımlıdır.
\( f(-2) = (-2)^2 + 4 = 8 \)
\( x = 2 \) parçalı fonksiyonun ikinci parçasında tanımlıdır.
\( f(2) = 2(2) + 5 = 9 \)
\( x = -1 \) parçalı fonksiyonun ikinci parçasında tanımlıdır.
\( f(-1) = 2(-1) + 5 = 3 \)
\( \dfrac{f(-2)}{f(2) + f(-1)} = \dfrac{8}{9 + 3} = \dfrac{2}{3} \) olarak bulunur.
\( f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( f(x)= \begin{cases} x^2 - 2 & x \bmod{3} = 0 \\ x + 2 & x \bmod{3} = 1 \\ x^2 + 2 & x \bmod{3} = 2 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( f(4) + f(5) + f(6) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon tanımına göre, \( x \) sayısı 3 ile tam bölünüyorsa birinci parça, 1 kalanını veriyorsa ikinci parça, 2 kalanını veriyorsa üçüncü parça geçerlidir.
4 sayısı 3'e bölündüğünde 1 kalanını verdiği için ikinci parça geçerlidir.
\( f(4) = 4 + 2 = 6 \)
5 sayısı 3'e bölündüğünde 2 kalanını verdiği için üçüncü parça geçerlidir.
\( f(5) = 5^2 + 2 = 27 \)
6 sayısı 3'e tam bölündüğü için birinci parça geçerlidir.
\( f(6) = 6^2 - 2 = 34 \)
\( f(4) + f(5) + f(6) = 6 + 27 + 34 = 67 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} x + 1 & x \lt 0 \\ 3x - 4 & x \ge 0 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( f(x + 2) \) fonksiyonunun tanımını bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun tanımında tüm \( x \) değişkenleri yerine \( x + 2 \) yazalım.
\( f(x + 2) = \begin{cases} (x + 2) + 1 & x + 2 \lt 0 \\ 3(x + 2) - 4 & x + 2 \ge 0 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} x + 3 & x \lt -2 \\ 3x + 2 & x \ge -2 \end{cases} \)
\( f(x)= \begin{cases} 5x - 2 & x \lt 1 \\ 2x + 1 & x \ge 1 \end{cases} \)
\( g(x)= \begin{cases} 2x + 4 & x \le 3 \\ 6x - 1 & x \gt 3 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (g \circ f)(1) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( (g \circ f)(1) = g(f(1)) \)
\( x = 1 \) değeri \( f \) parçalı fonksiyonunun ikinci parçasında tanımlıdır.
\( f(1) = 2(1) + 1 = 3 \)
\( g(f(1)) = g(3) \)
\( x = 3 \) değeri \( g \) parçalı fonksiyonun birinci parçasında tanımlıdır.
\( g(3) = 2(3) + 4 = 10 \)
\( g(f(1)) = g(3) = 10 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1 & x \lt 3 \\ x^2 + x + 1 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x & x \le 1 \\ 8 - 7x & x \gt 1 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (f + g)(x) \) fonksiyonunun tanımını bulunuz.
Çözümü Gösterİki fonksiyon da tüm reel sayılarda tanımlıdır.
Daha rahat işlem yapmak için parçalı fonksiyonları tanım aralıkları aynı olacak şekilde düzenleyelim.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1 & x \le 1 \\ x^2 - x + 1 & 1 \lt x \lt 3 \\ x^2 + x + 1 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x & x \le 1 \\ 8 - 7x & 1 \lt x \lt 3 \\ 8 - 7x & x \ge 3 \end{cases} \)
Birbirine karşılık gelen aralıklar arasında toplama işlemi yaparak \( f + g \) fonksiyonunu bulalım.
\( (f + g)(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 - 8x + 9 & 1 \lt x \lt 3 \\ x^2 - 6x + 9 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} (x + 1)^2 & x \le 1 \\ x^2 - 8x + 9 & 1 \lt x \lt 3 \\ (x - 3)^2 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( f(x) = \begin{cases} 2x & x \le 1 \\ x^{2} & x \gt 1 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x - 2 & x \lt 0 \\ x - 1 & x \ge 0 \end{cases} \)
olduğuna göre, \( (f \cdot g)(x) \) fonksiyonunun tanımını bulunuz.
Çözümü Gösterİki fonksiyon da tüm reel sayılarda tanımlıdır.
Daha rahat işlem yapmak için parçalı fonksiyonları tanım aralıkları aynı olacak şekilde düzenleyelim.
\( f(x) = \begin{cases} 2x & x \lt 0 \\ 2x & 0 \le x \le 1 \\ x^{2} & x \gt 1 \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} 3x - 2 & x \lt 0 \\ x - 1 & 0 \le x \le 1 \\ x - 1 & x \gt 1 \end{cases} \)
Birbirine karşılık gelen aralıklar arasında çarpma işlemi yaparak \( f \cdot g \) fonksiyonunu bulalım.
\( (f \cdot g)(x) = \begin{cases} 6x^{2} - 4x & x \lt 0 \\ 2x^{2} - 2x & 0 \le x \le 1 \\ x^{3} - x^{2} & x \gt 1 \end{cases} \)
\( f \) fonksiyonu \( x \) sayısı 4'ten büyük ise \( x + f(x - 2) \), 4'ten küçük ya da 4'e eşit ise \( 3x \) şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre \( f(11) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( f(x) = \begin{cases} 3x & x \le 4 \\ x + f(x - 2) & x \gt 4 \end{cases} \)
\( f(11) = 11 + f(9) \)
\( f(9) = 9 + f(7) \)
\( f(7) = 7 + f(5) \)
\( f(5) = 5 + f(3) \)
\( f(3) = 3 \cdot 3 = 9 \)
Yukarıdaki eşitlikleri taraf tarafa topladığımızda \( f(11) \) dışındaki fonksiyon terimleri birbirini götürür.
\( f(11) = 11 + 9 + 7 + 5 + 9 = 41 \) bulunur.
\( f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( f(n) = \begin{cases} 2n & n \text{ tek ise} \\ n + 5 & n \text{ çift ise} \end{cases} \)
\( f(f(f(k))) = 30 \) olduğuna göre, \( k \) tam sayısı kaça eşittir?
Çözümü Göster\( k \) değerini bulmak için \( f(f(f(k))) = 30 \) ifadesini dıştan içe doğru inceleyelim.
\( f(f(k)) = a, \quad f(a) = 30 \)
Görüntüsü 30 olan \( a \) değerini bulmak için fonksiyonun iki parçasını ayrı ayrı 30'a eşitleyelim.
\( n \) tek ise:
\( 2a = 30 \Longrightarrow a = 15 \)
\( n \) çift ise:
\( n + 5 = 30 \Longrightarrow a = 25 \)
25 çift sayı olmadığı için bu parça geçerli değildir.
Buna göre \( a = 15 \) olur.
\( f(f(k)) = a = 15 \)
\( f(k) = b, \quad f(b) = 15 \)
Görüntüsü 15 olan \( b \) değerini bulmak için fonksiyonun iki parçasını ayrı ayrı 15'e eşitleyelim.
\( n \) tek ise:
\( 2b = 15 \Longrightarrow b = 7,5 \)
7,5 tam sayı (ve tek sayı) olmadığı için bu parça geçerli değildir.
\( n \) çift ise:
\( b + 5 = 15 \Longrightarrow b = 10 \)
Buna göre \( b = 10 \) olur.
\( f(k) = b = 10 \)
Görüntüsü 10 olan \( k \) değerini bulmak için fonksiyonun iki parçasını ayrı ayrı 10'a eşitleyelim.
\( n \) tek ise:
\( 2k = 10 \Longrightarrow k = 5 \)
\( n \) çift ise:
\( k + 5 = 10 \Longrightarrow k = 5 \)
5 çift sayı olmadığı için bu parça geçerli değildir.
Buna göre \( k = 5 \) olur.
Bulduğumuz sonucun sağlamasını yapalım.
\( f(f(f(5))) = f(f(10)) = f(15) = 30 \)