Limit Hesaplama

Şu ana kadar bir fonksiyonun bir noktadaki limitini bulabilmek için dört yöntem gördük.

  • Fonksiyon grafiği: Fonksiyonun grafiği verilmişse ya da bir program yardımıyla oluşturabiliyorsak, ilgili noktadaki soldan ve sağdan limitlere bakarak bu noktada limitin tanımlı olup olmadığını, tanımlı ise değerini bulabiliriz.
  • Değer tablosu: Limiti alınan noktaya soldan ve sağdan gitgide yaklaşan değerler vererek fonksiyonun soldan ve sağdan aynı değere yaklaşıp yaklaşmadığını kontrol edebiliriz. Bu yöntemin dezavantajı hem çok işlem gerektirmesi, hem de limiti alınan noktaya ne kadar yakın değer verirsek verelim bazı fonksiyonlarda o nokta civarındaki davranış hakkında kesin fikir sahibi olamamamızdır.
  • Limit kuralları: Limit kurallarını kullanarak geniş bir fonksiyon ailesi için limit değerini hesaplayabiliriz.
  • Direkt yerine koyma yöntemi: Önceki bölümde bahsettiğimiz koşulların sağlanması durumunda limiti alınan değeri fonksiyonda yerine koyarak limit değerini hesaplayabiliriz.

Limit hesaplamalarında tanımlı ve reel sayı limit değerlerine ulaşabildiğimiz gibi aşağıda tanımsız ve belirsiz olarak detaylandıracağımız durumlarla da karşılaşabiliriz. Bu bölümde limit konusunun önemli bir alt başlığı olan bu farklı durumlara giriş yapacağız.

Tanımlı Limit

Limitin tanımında belirttiğimiz gibi, bir fonksiyonun bir noktada limitinin tanımlı olabilmesi için soldan ve sağdan limitlerin birer reel sayı olarak tanımlı olması ve bu iki değerin birbirine eşit olması gerekir. Sonsuz reel bir değer olmadığı için, soldan ve sağdan limitlerin en az birinin pozitif ya da negatif sonsuz olması bu noktadaki limitin tanımsız olması anlamına gelir.

Rasyonel fonksiyonlarda payın sıfır, paydanın sıfırdan farklı bir reel sayı olduğu durumlarda limit tanımlıdır ve değeri sıfırdır. Aşağıdaki örnekte elde ettiğimiz \( \frac{0}{5} \) değeri tanımsız ya da belirsiz bir ifade değildir ve bu durum aşağıda bahsedeceğimiz tanımsızlık ve belirsizlik durumları ile karıştırılmamalıdır.

Tanımsızlık

Belirli bir noktada limitin tanımlı olmama durumu farklı şekillerde oluşabilir.

Soldan ve Sağdan Limitler Tanımlı ancak Farklı

Bu tanımsızlık durumunda soldan ve sağdan limitler reel sayı olarak tanımlıdır, ancak birbirinden farklıdır.

Soldan/sağdan limitler reel ve farklı
Soldan/sağdan limitler reel ve farklı

Bu tip tanımsızlık en çok parçalı fonksiyonlarda ve bir parçalı fonksiyon olarak ifade edilebilen mutlak değer fonksiyonlarında karşımıza çıkmaktadır. Bu fonksiyonların kritik noktalarının sol ve sağ taraflarında farklı fonksiyon tanımları söz konusu olduğu için, bu noktalarda fonksiyonların yaklaştıkları değerler farklı olabilmektedir.

Ayrıca özel fonksiyonlar bölümünde gördüğümüz taban ve tavan fonksiyonlarında \( x \)'in tam sayı değerlerinde ve işaret fonksiyonunda \( x = 0 \) noktasında soldan ve sağdan limitler tanımlı, ancak farklıdır, dolayısıyla bu noktalarda limit tanımsızdır.

Soldan ve/veya Sağdan Limit Sonsuz

Bu tanımsızlık durumunda soldan ve sağdan limitlerin en az biri pozitif ya da negatif sonsuz olur. Soldan ve sağdan limitlerin ikisinin de pozitif ya da negatif sonsuz olması o noktada limiti tanımlı yapmaz, limitin tanımlı olması için bu iki limitin birer reel sayı olması ve birbirine eşit olması gerekir.

Soldan/sağdan limitler pozitif/negatif sonsuz
Soldan/sağdan limitler pozitif/negatif sonsuz

Bu tip tanımsızlığın karşımıza çıktığı durumlardan biri rasyonel fonksiyonlarda payın limitinin sıfırdan farklı bir reel sayı, paydanın limitinin de sıfır olduğu durumdur. Bu durum aşağıda göreceğimiz belirsizlik durumlarından farklıdır ve bu tanımsızlığı gidermek için yapabileceğimiz ek bir işlem yoktur.

Bu tip tanımsızlıkla karşılaşabileceğimiz bir diğer durum tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanımsız olduğu noktalardır.

Bu tanımsızlık durumunda fonksiyon grafiğinde dikey asimptot oluşur, dolayısıyla limit değeri tanımsız olsa da sonsuz olarak da gösterilebilir. Aşağıda tanjant fonksiyon grafiği üzerinde bu dikey asimptotlar gösterilmiştir (mavi kesikli çizgiler).

Tanjant fonksiyon grafiği
Tanjant fonksiyon grafiği

Belirli Bir Değere Yaklaşmayan Limit

Bazı fonksiyonlar limiti alınan noktaya yaklaşırken salınım (osilasyon) hareketi yapmaya başlar ve fonksiyonun yaklaştığı değer kesin bir reel sayı olarak ifade edilemez. Bu tip fonksiyonların soldan ve sağdan limitleri tanımsızdır, dolayısıyla bu noktadaki limit de tanımsızdır.

Böyle bir fonksiyonun grafiği ve denklemi aşağıda verilmiştir.

Salınım (osilasyon) süreksizliği
Salınım (osilasyon) süreksizliği

Belirsizlik

Matematiksel işlemlerde sonucu tanımlı olan ama değerini belirleyemediğimiz ifadeler belirsiz olarak adlandırılırlar.

İki fonksiyondan oluşan bir ifadede bu fonksiyonların limitleri ayrı ayrı \( 0 \), \( 1 \) ya da \( \pm\infty \) olarak bulunuyorsa ve tüm ifadenin limiti için aşağıdaki 7 sonuçtan biri elde ediliyorsa bir belirsizlik durumu söz konusudur.

Belirsizlik durumları tanımsızlık gibi fonksiyonun o noktada limitinin olmadığı anlamına gelmeyebilir. Bir belirsizlik durumunu ortadan kaldırmak ve fonksiyonun o noktada bir limiti varsa bu limit değerini bulmak için kullanabileceğimiz yöntemleri önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.


« Önceki
Sonsuzda Limit
Sonraki »
Belirsizlik Durumları


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır