Özel Fonksiyonlar

Bazı daha az bilinen fonksiyonlar ismen olmasa da grafikleriyle karşımıza çıkabilmektedir. Tanımları ve grafikleri hakkında bilgi sahibi olmak adına bu bölümde birkaç özel fonksiyondan bahsedeceğiz.

İşaret Fonksiyonu

İşaret fonksiyonu \( x \) sayısı pozitif ise \( +1 \), negatif ise \( -1 \), sıfır ise 0 değeri veren bir parçalı fonksiyondur ve kısaca \( \sgn(x) \) olarak gösterilir. İşaret fonksiyonu bir değişkenin pozitif/negatif olarak işaretini verdiği için bu adı almıştır.

\( \sgn(x) = \begin{cases} 1 & x \gt 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x \lt 0 \end{cases} \)

ÖRNEK:

\( \sgn(3) = 1 \)

\( \sgn(0) = 0 \)

\( \sgn(-8) = -1 \)

İşaret fonksiyonu \( x = 0 \) noktasında limitsizdir, süreksizdir ve türevlenebilir değildir.

İşaret fonksiyonuna benzer bir diğer fonksiyon aşağıdaki gibidir. Bu fonksiyonun yukarıdaki fonksiyondan farkı \( x = 0 \) noktasında tanımsız olmasıdır.

\( f: \mathbb{R} - \{ 0 \} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = \dfrac{\abs{x}}{x} = \dfrac{x}{\abs{x}} \)

SORU 1:

\( x \lt y \lt 0 \) olmak üzere,

\( \sgn(x + y) + \sgn(x - y) + \sgn(-x) \) ifadesinin sonucu kaçtır?

Çözümü Göster

SORU 2:

\( \sgn(x^2 + 3x + 2) = -1 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözümü Göster

SORU 3:

\( f(x) = \sgn(x^2 + 4x + 7) \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.

Çözümü Göster

SORU 4:

\( a, b, c, d \in \mathbb{R} - \{0\} \) olmak üzere,

\( a + b + c + d = 0 \) eşitliği veriliyor.

\( \sgn(x) \) işaret fonksiyonu olmak üzere, \( \sgn(a) + \sgn(b) + \sgn(c) + \sgn(d) + \sgn(abcd) \) ifadesinin alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

Taban Fonksiyonu

Taban fonksiyonu girdi olarak aldığı \( x \) değerinden küçük ya da \( x \)'e eşit en büyük tam sayıyı verir. Taban işlemi \( \floor{x} \) şeklinde gösterilir. Bu fonksiyonun bir diğer adı tam değer fonksiyonudur.

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z} \)

\( f(x) = \floor{x} \)

ÖRNEK:

\( f(3) = f(3,2) = 3 \)

\( f(-2) = f(-1,5) = -2 \)

Taban fonksiyonu \( x \)'in tam sayı değerleri için limitsizdir, süreksizdir ve türevlenebilir değildir.

Tavan Fonksiyonu

Tavan fonksiyonu girdi olarak aldığı \( x \) değerinden büyük ya da \( x \)'e eşit en küçük tam sayıyı verir. Tavan işlemi \( \ceiling{x} \) şeklinde gösterilir.

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z} \)

\( f(x) = \ceiling{x} \)

ÖRNEK:

\( f(3,2) = f(4) = 4 \)

\( f(-1,5) = f(-1) = -1 \)

Tavan fonksiyonu \( x \)'in tam sayı değerleri için limitsizdir, süreksizdir ve türevlenebilir değildir.

SORU 5:

Tavan fonksiyonu girdi olarak aldığı \( x \) değerinden büyük ya da \( x \)'e eşit en küçük tam sayıyı verir. Bir sayının tavan değeri \( \ceiling{x} \) şeklinde gösterilir.

\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{N}{\ceiling{\dfrac{2}{3} + \dfrac{n}{45}}} = 111 \) ise \( N \) kaçtır?

Çözümü Göster

Ondalık Kısım Fonksiyonu

Ondalık kısım fonksiyonu girdi olarak aldığı \( x \) değeri ile bu değerin taban fonksiyon değeri arasındaki farkı verir. Ondalık kısım fonksiyonu \( \{x\} \) şeklinde gösterilir.

\( f: \mathbb{R} \to [0, 1) \)

\( f(x) = \{x\} = x - \floor{x} \)

ÖRNEK:

\( \{3,2\} = 3,2 - 3 = 0,2 \)

\( \{2\} = 2 - 2 = 0 \)

\( \{-1,75\} = -1,75 - (-2) = 0,25 \)

\( \{\pi\} = \pi - 3 = 0,1415... \)

Ondalık kısım fonksiyonu \( x \)'in tam sayı değerleri için limitsizdir, süreksizdir ve türevlenebilir değildir.