Rasyonel Fonksiyonlarda Asimptot

Önceki bölümde fonksiyonlarda asimptot kavramını ve tiplerini incelemiştik, bu bölümde rasyonel fonksiyonlarda hangi tip asimptotların hangi durumlarda oluştuğunu öğreneceğiz.

Dikey Asimptot

Rasyonel fonksiyonlarda dikey asimptotlar fonksiyonu tanımsız yapan \( x \) değerlerinde oluşur, bu değerler de paydadaki fonksiyonu sıfır yapan, ama paydaki fonksiyonu sıfır yapmayan değerlerdir. Dolayısıyla, bir rasyonel fonksiyonunun dikey asimptotlarını bulmak için, pay ve paydanın ortak çarpanlarını sadeleştirdikten sonra paydadaki polinom fonksiyonunun reel köklerini bulmamız yeterli olacaktır.

Bir önceki bölümde dikey asimptotlara aşağıdaki iki örneği vermiştik. Her ikisinin de grafiğine baktığımızda oluşan dikey asimptotların paydadaki polinom fonksiyonunu sıfır yapan \( x \) değerleri olduğunu görebiliriz.

İki dikey asimptotlu fonksiyon
İki dikey asimptotlu fonksiyon
Asimptot olarak y ekseni
Asimptot olarak y ekseni

Bir fonksiyon grafiği her zaman dikey asimptota yaklaşır, ancak hiçbir zaman onu kesmez.

\( n \). dereceden bir polinom fonksiyonunun en fazla \( n \) kökü olabileceği için, paydası \( n \). dereceden olan bir rasyonel fonksiyonun en az sıfır en fazla \( n \) dikey asimptotu olabilir. Tek dereceli bir polinom \( x \) eksenini en az bir noktada kestiği, dolayısıyla \( y = 0 \) değerini en az bir kez aldığı için, paydası tek dereceli bir polinom olan rasyonel polinomların en az bir dikey asimptotu vardır.

Bir rasyonel fonksiyonun pay ve paydasının ortak çarpanları birer dikey asimptota karşılık gelmezler, grafikte o \( x \) değerlerinde tanımsız birer nokta oluşur. Aşağıda böyle bir rasyonel fonksiyonun denklemi ve grafiği verilmiştir. Görülebileceği gibi, pay ve paydanın ortak çarpanı olan \( x = 2 \)'de bir dikey asimptot değil, tanımsız bir nokta oluşmuştur.

Pay ve paydada ortak çarpan ve tanımsızlık
Pay ve paydada ortak çarpan ve tanımsızlık

Yatay/Eğik/Eğri Asimptotlar

Bir rasyonel fonksiyon yatay, eğik ve eğri asimptot tiplerinden sadece birine sahip olabilir, hangi tip asimptotu olacağını anlamak için aşağıdaki yöntemi uygulayabiliriz.

Bir rasyonel fonksiyonun payındaki ve paydasındaki polinom fonksiyonlarının derecelerine sırasıyla \( m \) ve \( n \), her iki polinomun başkatsayılarına da sırasıyla \( a \) ve \( b \) diyelim.

Bir rasyonel fonksiyonun yatay/eğik/eğri asimptotunun denklemini bulmak için, paydaki polinomun paydadaki polinoma bölümünü bulmamız gerekir.

Polinomlarda bölme işlemi
Polinomlarda bölme işlemi

\( K(x) \) kalan polinomunu dikkate almadan, \( Q(x) \) bölüm polinomu bize aynı zamanda asimptot denklemini verecektir. Bu bölüm işleminin sonucunu dört farklı durum altında inceleyebiliriz.

Payın Derecesi Paydanınkinden Küçük (\( m \lt n \))

Bu durumda bölüm polinomu \( Q(x) = 0 \) olacağı için, asimptot denklemi de \( y = 0 \) olacaktır, dolayısıyla \( x \) ekseni ile çakışık yatay bir asimptot oluşacaktır.

Payının derecesi sıfır, paydasının derecesi bir olan \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) fonksiyonu örnek olarak alırsak, fonksiyonun yukarıdaki grafiğinde \( y = 0 \) denklemli bir yatay asimptotu olduğunu görebiliriz.

Payın Derecesi Paydanınkine Eşit (\( m = n \))

Bu durumda bölüm polinomunun derecesi sıfır (sabit fonksiyon), asimptot denklemi de pay ve paydanın başkatsayılarının oranı olacaktır, dolayısıyla yine bir yatay asimptot oluşacaktır.

Bu duruma aşağıdaki rasyonel fonksiyonu örnek olarak verebiliriz.

Yatay asimptot
Yatay asimptot

Payın Derecesi Eksi Paydanın Derecesi Bire Eşit (\( m - n = 1 \))

Bu durumda bölüm polinomu birinci dereceden bir polinom, asimptot denklemi de \( y = mx + c \) şeklinde doğrusal ama eğik bir asimptot olacaktır. Bu şekilde iki polinomun bölüm polinomunu bulmak için uzun polinom bölmesi yapmamız gerekecektir.

Bu duruma bir önceki bölümde verdiğimiz örneği verebiliriz.

Eğik asimptot
Eğik asimptot

Payın Derecesi Eksi Paydanın Derecesi Birden Büyük (\( m - n \gt 1 \))

Bu durumda bölüm polinomunun ve dolayısıyla asimptot denkleminin derecesi bu farka eşit olacaktır, yani ikinci ya da daha yüksek dereceden bir eğri asimptot oluşacaktır. Bu şekilde iki polinomun bölüm polinomunu bulmak için yine uzun polinom bölmesi yapmamız gerekecektir.

Bu duruma yine bir önceki bölümde verdiğimiz örneği verebiliriz.

Eğri asimptot
Eğri asimptot

« Önceki
Asimptot Kavramı
Sonraki »
Rasyonel Fonksiyonların Tanımsız Olduğu Noktalar


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır