Fonksiyonlara Giriş
Konu tekrarı için: Sıralı İkililer | Kartezyen Çarpımı | Bağıntı
\( A \) ve \( B \) boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, \( A \) kümesinin her elemanını \( B \) kümesinin sadece bir elemanı ile eşleyen bağıntıya \( A \)'dan \( B \)'ye tanımlı fonksiyon denir.
Fonksiyonlar genellikle \( f \), \( g \), \( h \) gibi küçük harflerle gösterilirler. Sıklıkla kullanılan \( \sin \), \( \cos \), \( \tan \), \( \log \), \( \ln \) gibi ifadeler de ilgili trigonometrik ve logaritmik fonksiyonlar için kullanılan benzer kısaltmalardır.
\( A \) kümesinin elemanlarını \( B \) kümesinin elemanları ile eşleyen \( f \) fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( f: A \to B \)
Bu tanımdaki aşağıda detayları verilen üç bileşen bir fonksiyonun ayrılmaz birer parçasıdır ve herhangi biri olmadan bir fonksiyon tanımlanamaz.
- \( A \) kümesine tanım kümesi denir. Bir fonksiyon tanım kümesinin her elemanını \( B \) kümesinin bir elemanı ile eşler.
- \( B \) kümesine değer kümesi denir. Bu küme \( A \) kümesinin elemanlarının eşlenebileceği değerleri içeren kümedir.
- \( f \) iki küme arasındaki eşleme kuralını içeren fonksiyonun adıdır.
Bir fonksiyonun tanım ve değer kümeleri farklı tipte kümeler olabilir:
- Sayı kümeleri: \( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Z^+}, \mathbb{R} \) vb.
- Sayı kümelerinin herhangi bir alt kümesi: \( (0, 10) \), \( [-2\pi, +2\pi] \), \( \{1, 2, 3\} \) vb.
- Herhangi bir sonlu küme: Bir sınıftaki öğrenciler, alfabedeki harfler, ülkeler vb.
Tanım ve değer kümeleri aynı olan (\( \mathbb{R} \to \mathbb{R}, A \to A \)) fonksiyonlar için "reel sayılarda tanımlı fonksiyon", "\( A \) kümesi üzerinde tanımlı fonksiyon" gibi ifadeler de kullanılabilir.
Bir \( f \) fonksiyonunda tanım kümesindeki bir \( a \) elemanının değer kümesinde eşlendiği \( b \) elemanına \( a \)'nın \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü denir ve \( f(a) = b \) şeklinde gösterilir.
Bir fonksiyonun tanım ve değer kümelerini ve iki kümenin elemanları arasındaki eşlemeleri yukarıdaki örnekteki gibi Venn şeması ve oklar yardımıyla tanımlayabiliriz.
Bu tanımlamayı yapabileceğimiz ikinci bir yöntem kümeler konusunda gördüğümüz liste yöntemidir. Örneğin aşağıdaki fonksiyon bir okulda 10. sınıftaki öğrencilerin şubelerle eşlemelerini listelemektedir.
\( A = \{ \text{Ali}, \text{Ela}, \ldots, \text{Cem} \} \)
\( B = \{ \text{10-A}, \text{10-B}, \text{10-C}, \text{10-D} \} \) olmak üzere,
\( g: A \to B \)
\( g = \{ (\text{Ali}, \text{10-B}), (\text{Ela}, \text{10-D}), \ldots, (\text{Cem}, \text{10-B}) \} \)
\( g(\text{Ela}) = \text{10-D} \)
Bu örnekte görebileceğimiz gibi, tanım ve değer kümelerinin elemanları arasındaki eşlemeleri "\( (\text{Ela}, \text{10-D}) \)" şeklinde birer sıralı ikili olarak ifade edebiliriz. Bu açıdan baktığımızda bir fonksiyonu elemanları birer sıralı ikili olan bir küme olarak da düşünebiliriz.
En sık şekilde kullanacağımız bir diğer yöntemde ise eşleme kuralını bir matematiksel ifade şeklinde tanımlayabiliriz. Örneğin aşağıdaki fonksiyon derece cinsinden bir sıcaklığı Fahrenheit karşılığı ile eşlemektedir.
\( h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( h(x) = 1.8x + 32 \)
\( h = \{ \ldots, (0, 32), \ldots, (10, 50), \ldots \} \)
\( h(10) = 50 \)
Tanım kümesinin elemanlarını ifade etmek için en sık kullanılan değişken \( x \) olsa da, farklı değişkenler de kullanılabilir.
\( f(t) = 3t^2 - 4 \)
\( f(2) = 3(2)^2 - 4 = 8 \)
\( g(\theta) = 90 + \frac{\theta}{2} \)
\( g(60) = 90 + \frac{60}{2} = 120 \)
Bir fonksiyonun matematiksel tanımının bileşenleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
\( f \) ve \( f(x) \) arasındaki ayrımı vurgulamamız gerekirse \( f \) fonksiyonun adı, \( f(x) \) ise fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri için ürettiği fonksiyon değeridir.
Fonksiyon - Makine Benzetmesi
Sık kullanılan ve faydalı bir benzetmeye göre, bir \( f \) fonksiyonunu tanım kümesindeki elemanları (\( x \)) girdi olarak alan ve her elemanı değer kümesinin tek bir elemanı (\( f(x) \)) ile eşleyerek bir çıktıya dönüştüren bir makine şeklinde düşünebiliriz.
Bağımsız ve Bağımlı Değişkenler
Bir fonksiyonun girdisini temsil eden \( x \) değişkenine aynı zamanda bağımsız değişken, çıktısını temsil eden \( y \) değişkenine de bağımlı değişken denir.
Bir fonksiyonda davranışını incelediğimiz değişken bağımlı değişkendir. Bağımlı değişkenin davranışını anlayabilmemiz ve yorumlayabilmemiz için bağımsız değişkene farklı değerler vererek bağımlı değişken üzerindeki etkisini gözlemleriz.
\( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) olduğuna göre, \( f(3) + f(0) + f(-2) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonda \( x \) yerine sırayla 3, 0 ve -2 yazarak fonksiyon değerlerini bulalım.
\( f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 = 6 \)
\( f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3 \)
\( f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + 3 = 11 \)
\( f(3) + f(0) + f(-2) = 6 + 3 + 11 = 20 \) bulunur.
\( f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonu tanım kümesindeki her sayıyı o sayıya en yakın tam kare sayının karekökü ile eşlemektedir.
Buna göre, \( f(45) - f(11) \) kaçtır?
Çözümü GösterTam kare sayılar bir doğal sayının karesi olan sayılardır.
45'e en yakın tam kare sayı 49'dur ve karekökü 7'dir.
\( f(45) = 7 \)
11'e en yakın tam kare sayı 9'dur ve karekökü 3'tür.
\( f(11) = 3 \)
\( f(45) - f(11) = 7 - 3 = 4 \) bulunur.
\( f(x) = \dfrac{x - 3}{2} \)
\( g(x) = 2x + 1 \)
\( f(2a + 1) + g(a - 1) = 10 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen girdi değerleri için fonksiyon değerlerini bulalım.
\( f(2a + 1) = \dfrac{(2a + 1) - 3}{2} = a - 1 \)
\( g(a - 1) = 2(a - 1) + 1 = 2a - 1 \)
Bu ifadeleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( f(2a + 1) + g(a - 1) = 10 \)
\( a - 1 + 2a - 1 = 10 \)
\( 3a - 2 = 10 \)
\( a = 4 \) bulunur.
Bir fonksiyon makinesi girdi olarak aldığı her \( x \) değeri için çıktı olarak \( 2x + 5 \) değeri üretmektedir.
Bu fonksiyon makinesine \( K = \{ -\frac{1}{2}, 2, 3, \frac{7}{2} \} \) kümesinin elemanları girdi olarak verildiğinde elde edilen çıktı değerlerinin toplamı kaç olur?
Çözümü GösterBu fonksiyonun tanımını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(x) = 2x + 5 \)
\( K \) kümesinin elemanlarını fonksiyonda yerine koyarak çıktı değerlerini bulalım.
\( f(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2}) + 5 = 4 \)
\( f(2) = 2(2) + 5 = 9 \)
\( f(3) = 2(3) + 5 = 11 \)
\( f(\frac{7}{2}) = 2(\frac{7}{2}) + 5 = 12 \)
Elde ettiğimiz çıktı değerlerinin toplamı \( 4 + 9 + 11 + 12 = 36 \) olarak bulunur.
\( f(4x + 5) = x^2 - 4x - 7 \) olduğuna göre, \( f(-3) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( x \)'in hangi değerinde verilen fonksiyon tanımında \( f(-3) \) ifadesini elde edeceğimizi bulmak için parantez içindeki ifadeyi -3'e eşitleyelim.
\( 4x + 5 = -3 \)
\( x = -2 \)
Verilen fonksiyon tanımında \( x = -2 \) yazalım.
\( f(4(-2) + 5) = (-2)^2 - 4(-2) - 7 \)
\( f(-3) = 4 + 8 - 7 = 5 \) bulunur.
4 yanlışın bir doğruyu götürdüğü 25 soruluk bir sınavda tüm soruları cevaplayan ve doğru cevap sayısı \( n \) olan bir öğrencinin net sayısını veren fonksiyon nedir?
Çözümü GösterÖğrencinin \( n \) adet cevabı doğru ise \( 25 - n \) adet cevabı yanlıştır.
4 yanlış 1 doğruyu götürdüğü için \( 25 - n \) yanlış \( \frac{25 - n}{4} \) doğruyu götürür.
Buna göre öğrencinin net sayısını veren fonksiyon aşağıdaki gibi olur.
\( f(n) = n - \dfrac{25 - n}{4} = \dfrac{5n - 25}{4} \)
\( f: \{ 1, 2, 3, 4 \} \to B \) fonksiyonunun değer tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( x \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( 3 \) | \( 4 \) |
|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | \( 3 \) | \( a \) | \( 2 \) | \( a - 4 \) |
\( f(1) \cdot f(3) = f(2) \cdot f(4) + 10 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterTabloya göre her bir eleman için fonksiyon değeri aşağıdaki gibidir.
\( f(1) = 3, f(2) = a, f(3) = 2, f(4) = a - 4 \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( f(1) \cdot f(3) = f(2) \cdot f(4) + 10 \)
\( 3 \cdot 2 = a \cdot (a - 4) + 10 \)
\( a^2 - 4a + 4 = 0 \)
\( (a - 2)^2 = 0 \)
\( a = 2 \) bulunur.
\( f(x) = \abs{\abs{x - 2} - 3} \) fonksiyonunda \( f(x) \le 6 \) şartını sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü GösterSoruda \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü 6 ya da 6'dan küçük olan tam sayı \( x \) değerlerini bulmamız isteniyor.
\( \abs{\abs{x - 2} - 3} \le 6 \)
\( -6 \le \abs{x - 2} - 3 \le 6 \)
\( -3 \le \abs{x - 2} \le 9 \)
Mutlak değerli bir ifade negatif değer alamayacağı için eşitsizliğin alt sınırını 0 yapalım.
\( 0 \le \abs{x - 2} \le 9 \)
\( -9 \le x - 2 \le 9 \)
\( -7 \le x \le 11 \)
Bu aralıktaki tam sayıların toplamını bulalım.
\( [-7, 7] \) aralığındaki tam sayıların toplamı sıfırdır, dolayısıyla bu aralıktaki tam sayıların toplamı \( 8 + 9 + 10 + 11 = 38 \) olarak bulunur.
\( f(x) = ax^2 + bx \) fonksiyonunun katsayıları ardışık tam sayılardır.
\( f(2) - f(1) = 35 \) olduğuna göre, \( f(-1) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyon tanımı hangi katsayının büyük olduğuna göre iki şekilde olabilir.
Durum 1:
\( f(x) = ax^2 + (a + 1)x \)
\( f(2) \) ve \( f(1) \) değerlerini bulalım.
\( f(2) = a(2)^2 + (a + 1)(2) = 6a + 2 \)
\( f(1) = a(1)^2 + (a + 1)(1) = 2a + 1 \)
\( f(2) - f(1) = 4a + 1 = 35 \)
\( a = \dfrac{34}{4} \)
\( a \) bir tam sayı olarak bulunmadığı için bu fonksiyon geçerli bir cevap değildir.
Durum 2:
\( f(x) = ax^2 + (a - 1)x \)
\( f(2) \) ve \( f(1) \) değerlerini bulalım.
\( f(2) = a(2)^2 + (a - 1)(2) = 6a - 2 \)
\( f(1) = a(1)^2 + (a - 1)(1) = 2a - 1 \)
\( f(2) - f(1) = 4a - 1 = 35 \)
\( a = 9 \)
Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibidir.
\( f(x) = 9x^2 + 8x \)
\( f(-1) \) değerini bulalım.
\( f(-1) = 9(-1)^2 + 8(-1) = 1 \) bulunur.
\( f \) pozitif tam sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
\( f \) fonksiyonu girdi değerine eşit ya da ondan küçük olan asal sayıların çarpımını çıktı olarak vermektedir.
\( f(a) = 30030 \) olduğuna göre, \( a \) sayısının alabileceği tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster30030 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 30030 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \)
30030 sayısı 2 ve 13 arasındaki asal sayıların çarpımına eşittir.
Buna göre 30030 sayısı 13 asal çarpanını içerdiği için \( a \) sayısı 13'ten küçük olamaz. Ayrıca 30030 sayısı bir sonraki asal sayı olan 17 çarpanını içermediği için \( a \) sayısı 17 ya da daha büyük olamaz
\( a \in \{ 13, 14, 15, 16 \} \)
\( a \) sayısının alabileceği tam sayı değerlerin toplamını bulalım.
\( 13 + 14 + 15 + 16 = 58 \) bulunur.
\( f(x) = \ln{\dfrac{e - x}{e + x}} \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(a) + f(a + 1) = 0 \) ise \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(a) + f(a + 1) = 0 \)
\( \ln{\dfrac{e - a}{e + a}} + \ln{\dfrac{e - (a + 1)}{e + (a + 1)}} = 0 \)
\( \ln{\dfrac{e - a}{e + a}} + \ln{\dfrac{e - a - 1}{e + a + 1}} = 0 \)
Aynı tabanda iki ifadenin logaritmalarının toplamı, çarpımlarının logaritmasına eşittir.
\( \ln\left( \dfrac{e - a}{e + a} \cdot \dfrac{e - a - 1}{e + a + 1} \right) = 0 \)
Logaritma ifadesini üstel ifade olarak yazalım.
\( \dfrac{e - a}{e + a} \cdot \dfrac{e - a - 1}{e + a + 1} = e^0 = 1 \)
\( (e - a)(e - a - 1) = (e + a)(e + a + 1) \)
\( e^2 - ea - e - ea + a^2 + a = e^2 + ea + e + ea + a^2 + a \)
\( - ea - e - ea = ea + e + ea \)
\( 4ea = -2e \)
\( a = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.