Fonksiyon Tanımı
\( A \) ve \( B \) boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, \( A \) kümesinin her elemanını \( B \) kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen bağıntıya fonksiyon denir.
\( A \) ve \( B \) farklı tipte kümeler olabilir:
- Sayı kümeleri (\( \mathbb{N} \), \( \mathbb{Z} \), \( \mathbb{R} \) vb.)
- Bu sayı kümelerinin bir alt kümesi olan herhangi bir aralık (\( \mathbb{Z^+} \), \( (0, 10) \), \( [-2\pi, +2\pi] \) vb.)
- Belirli elemanlardan oluşan herhangi bir sonlu küme (Türkiye'nin illeri, bir sınıftaki öğrenciler, alfabedeki harfler vb.)
Fonksiyon Olma Koşulları
Her fonksiyon bir bağıntıdır, ancak her bağıntı bir fonksiyon değildir. Bir bağıntı bir \( A \) kümesinin elemanlarını diğer bir \( B \) kümesinin elemanları ile herhangi bir koşul olmadan eşlerken, bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki koşulun sağlanması gerekir:
- \( A \) kümesinde \( B \) kümesinin bir elemanıyla eşleşmemiş açıkta eleman kalmaması gerekir.
- \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinde yalnız bir elemanla eşleşmelidir (iyi tanımlılık).
Aşağıda Venn şeması verilmiş iki küme arasında tanımlı bir bağıntı üzerinden bu koşulları inceleyelim.
- \( A \) kümesinde \( B \) kümesinin bir elemanı ile eşleşmemiş açıkta eleman kalmamıştır, buna göre birinci koşul sağlanmaktadır.
- \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinde yalnız bir elemanla eşleşmiştir, buna göre ikinci koşul da sağlanmaktadır.
Venn şeması gösteriminde bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için \( A \) kümesinin her elemanından çıkan bir ve yalnız bir ok olduğuna bakmamız yeterlidir. \( B \) kümesinde eşleşmelerin nasıl gerçekleştiğinin ya da \( B \) kümesinde açıkta eleman kalıp kalmadığının bir bağıntının fonksiyon olup olmaması açısından bir önemi yoktur.
Bağıntı ve Fonksiyon Örnekleri
Aşağıda fonksiyon olma koşullarını sağlayan iki bağıntı verilmiştir. Bu bağıntılar \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinde bir ve yalnız bir elemanla eşleştiği için birer fonksiyondur.
Aşağıda fonksiyon olma koşullarını sağlamayan iki bağıntı verilmiştir. Birinci örnekteki bağıntı, \( A \) kümesinin son elemanı açıkta kaldığı için (birinci fonksiyon koşulu), ikinci örnekteki bağıntı, \( A \) kümesinin ilk elemanı \( B \) kümesinde iki elemanla eşleştiği için (ikinci fonksiyon koşulu) bir fonksiyon değildir.
Aşağıda örnek bazı bağıntılar ve her bağıntının bir fonksiyon olup olmadığı açıklamasıyla birlikte verilmiştir.
| Bağıntı | Fonksiyon? | Açıklama |
|---|---|---|
| Bir sınıftaki öğrenciler (A) ve doğum günleri (B) arasındaki eşleşmeler | Fonksiyon | Her öğrencinin mutlaka bir ve sadece bir doğum günü vardır. Belirli bir günde doğmuş öğrenci olmaması ya da birden fazla öğrenci olması bağıntının fonksiyon olmasına engel değildir. |
| Reel sayılar ve kareleri (A) | Fonksiyon | Her reel sayının mutlaka ve tek bir karesi vardır. |
| Bir okuldaki öğrenciler (A) ve yerleştikleri bölümler (B) arasındaki eşleşmeler | Fonksiyon Değil | Her öğrenci sadece bir bölüme yerleşebilir, ama bir bölüme yerleşmemiş öğrenciler de olabilir, dolayısıyla fonksiyon olmanın birinci koşulu sağlanmaz. (A) kümesi sınavda bir bölüme yerleşen öğrenciler olarak tanımlanırsa bu bağıntı bir fonksiyon olacaktır. |
| Bir üniversitedeki öğrenciler (A) ve devam ettikleri bölümler (B) arasındaki eşleşmeler | Fonksiyon Değil | Her öğrenci mutlaka bir bölüme kayıtlıdır, ama bazı öğrenciler ÇAP programı kapsamında birden fazla bölüme de kayıtlı olabilir, dolayısıyla fonksiyon olmanın ikinci koşulu sağlanmaz. |
\( A = \{ -1, 0, 1 \} \) ve \( B = \{ 2, 3 \} \) olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi \( A \)'dan \( B \)'ye bir fonksiyondur?
I. \( \{ (-1, 3), (0, 2), (1, 3) \} \)
II. \( \{ (-1, 2), (1, 3) \} \)
III. \( \{ (1, 2), (0, 2), (0, 3), (-1, 2) \} \)
Çözümü Göster
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) olduğuna göre, aşağıdaki bağıntılardan hangisi/hangileri fonksiyondur?
\( f = \{ (1, 3),(3, 1),(2, 4),(4, 2) \} \)
\( g = \{ (1, 1),(2, 3),(3, 2),(2, 4) \} \)
\( h = \{ (1, 1),(2, 1),(3, 1),(4, 1) \} \)
\( k = \{ (1, 3),(2, 4),(4, 1) \} \)
Çözümü Göster
Fonksiyon Sayısı
Bağıntı konusunda \( A \) ve \( B \) kümeleri arasında tanımlanabilecek bağıntı sayısını aşağıdaki şekilde göstermiştik.
\( s(A) = m, \quad s(B) = n \) olmak üzere,
\( A \to B \) bağıntı sayısı \( = A \times B \) kartezyen çarpımının alt küme sayısı
\( s(A \times B) = m \cdot n \)
\( A \to B \) bağıntı sayısı \( = 2^{s(A \times B)} = 2^{m \cdot n} \)
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek farklı fonksiyon sayısı \( B \) kümesinin eleman sayısının \( A \) kümesinin eleman sayısı kadar kuvvetine eşittir.
\( A \to B \) fonksiyon sayısı \( = \underbrace{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_\text{m adet} = n^m \)
Bu formülü şu şekilde açıklayabiliriz: \( A \) kümesinden \( B \) kümesine bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için, iki küme arasında toplam \( m \) adet ok çizilmesi/eşleşme olması gerekir, çünkü daha az sayıda ok \( A \) kümesinde açıkta eleman kalması, daha fazla sayıda ok \( A \) kümesinin bir elemanı için birden fazla eşleşme olması anlamına gelir. Her bir ok \( A \) kümesinin \( m \) elemanının birinden \( B \) kümesinin \( n \) elemanından herhangi birine çizilebileceği için, tanımlanabilecek farklı fonksiyon sayısı \( n^m \) olur.
\( A = \{ -1, 0, 1, 2 \} \) ve \( B = \{ x, y, z, t \} \) olmak üzere, \( A \)'dan \( B \)'ye \( f(0) = x \) koşulunu sağlayan kaç \( f \) fonksiyonu yazılabilir?
\( A \)'dan \( B \)'ye \( f(0) = x \) koşulunu sağlayan kaç \( f \) fonksiyonu yazılabilir?
Çözümü Göster
\( f: A \to B \), \( A = \{ 3, 4, 5 \} \), \( B = \{ 4, 5, 6, 7 \} \) olduğuna göre,
Her \( m \in A \) için \( m + f(m) \le 9 \) koşulunu sağlayan kaç farklı fonksiyon yazılabilir?
Çözümü Göster