Fonksiyonların Grafiksel Gösterimi
Tanım ve değer kümeleri reel sayıların alt kümeleri olan bir \( f: A \to B \) fonksiyonu koordinat düzleminde grafikle gösterilebilir. Bir fonksiyonun girdi ve çıktı değerleri arasındaki ilişki ve fonksiyonun davranışı hakkında birçok bilgi, bir fonksiyonun grafiği incelenerek elde edilebilir.
Fonksiyon Grafiğini Okuma
Bir \( f: A \to B \) fonksiyonunun koordinat düzlemindeki grafiği ile ilgili önemli bazı noktalar şunlardır.
- Tanım kümesindeki değerler grafik üzerindeki noktaların \( x \) koordinatlarını oluşturur.
- Bu \( x \) değerlerinin görüntüleri olan \( f(x) \) değerleri ise noktaların \( y \) koordinatlarını oluşturur.
- Her \( a \in A \) elemanının ve görüntüsünün oluşturduğu \( (a, f(a)) \) sıralı ikilisi, koordinat düzleminde apsisi \( a \) ve ordinatı \( f(a) \) olan bir noktaya karşılık gelir.
- Her \( a \in A \) için bu noktaların oluşturduğu küme, \( f \) fonksiyonunun grafiği ve aynı zamanda fonksiyonun kendisidir.
\( G_f = \{ (x, f(x)) \mid x \in A \} \)
Bir fonksiyonun \( x = a \) için aldığı değeri grafikten bulmak için \( x = a \) noktasından \( x \) eksenine dik bir doğru çizilir. Bu doğrunun fonksiyon grafiğini kestiği noktanın ordinatı \( f(a) \) değeridir.
Yukarıdaki grafiğe göre, \( x = 10 \) için düşey kesikli mavi doğru grafiği ordinatı 8 olan noktada keser, dolayısıyla 10 elemanının görüntüsü 8'dir.
\( f(10) = 8 \)
Görüntüsü belirli bir değer olan \( x \) değerlerini bulmak için ise, \( y \) ekseni üzerinde ordinatı bu değer olan noktadan \( y \) eksenine dik bir doğru çizilir ve doğrunun fonksiyon grafiğini kestiği noktaların apsis değerleri bulunur.
Yukarıdaki grafiğe göre, görüntüsü \( y = 4 \) olan \( x \) değerleri, yatay kesikli kırmızı doğrunun grafiği kestiği noktaların apsis değerleri olan \( x \in \{ 2, 6, 9 \} \) değerleridir.
\( f(2) = f(6) = f(9) = 4 \)
Bu örneklerde de görülebileceği üzere, düşey doğru grafiği her zaman (fonksiyon olmanın teklik koşulu gereği) en fazla bir noktada keser. Yatay doğru ise bir ya da birden fazla noktada kesebilir ya da hiç kesmeyebilir.
Değer Tablosu ile Fonksiyon Grafiği Çizme
Bir fonksiyonun davranışı hakkında tüm ayrıntıları göstermese de, değer tablosu fonksiyon grafiğinin yaklaşık biçimini elde etmek için kullanılabilecek basit yöntemlerden biridir.
Aşağıdaki fonksiyonun grafiğini bir değer tablosu yardımıyla çizelim.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = (x - 3)^2 - 4 \)
Önce bir değer tablosu oluşturarak bazı \( x \) değerleri için fonksiyon değerlerini hesaplayalım ve fonksiyon grafiğindeki noktalara karşılık gelen \( (x, f(x)) \) sıralı ikililerini bulalım.
| \( x \) | \( y = f(x) \) | Nokta \( (x, f(x)) \) |
|---|---|---|
| \( -1 \) | \( f(-1) = (-1 - 3)^2 - 4 = 12 \) | \( (-1, 12) \) |
| \( 0 \) | \( f(0) = (0 - 3)^2 - 4 = 5 \) | \( (0, 5) \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = (1 - 3)^2 - 4 = 0 \) | \( (1, 0) \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = (2 - 3)^2 - 4 = -3 \) | \( (2, -3) \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = (3 - 3)^2 - 4 = -4 \) | \( (3, -4) \) |
| \( 4 \) | \( f(4) = (4 - 3)^2 - 4 = -3 \) | \( (4, -3) \) |
| \( 5 \) | \( f(5) = (5 - 3)^2 - 4 = 0 \) | \( (5, 0) \) |
| \( 6 \) | \( f(6) = (6 - 3)^2 - 4 = 5 \) | \( (6, 5) \) |
| \( 7 \) | \( f(7) = (7 - 3)^2 - 4 = 12 \) | \( (7, 12) \) |
Bulunan noktalar koordinat düzleminde işaretlendiğinde aşağıdaki kırmızı noktalar elde edilir. Fonksiyonun ikinci derece bir fonksiyon olduğunu dikkate alarak bu noktalardan geçen düzgün parabol çizildiğinde grafiğin yaklaşık çizimi elde edilir.
Dikey Doğru Testi
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını bulmak için, bağıntının tanım kümesindeki (eksen üzerinde kırmızı doğru ile gösterilen aralık) tüm noktalardan \( x \) eksenine dik doğrular çizilir. Dikey doğru testi adı verilen bu yöntemde, doğruların tümü grafiği bir ve yalnız bir noktada kesiyorsa bağıntı bir fonksiyondur.
Aşağıda fonksiyon olma koşullarını, dolayısıyla dikey doğru testini sağlayan iki bağıntının grafiği verilmiştir. Bu grafiklerde dikey doğrular grafiği bir ve yalnız bir noktada kestikleri için (yani \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin bir ve yalnız bir elemanıyla eşlendiği için) bu bağıntılar birer fonksiyondur.
Aşağıda ikinci fonksiyon olma koşulunu, dolayısıyla dikey doğru testini sağlamayan iki bağıntının grafiği verilmiştir. Bu grafiklerde grafiği birden fazla noktada kesen dikey doğrular bulunduğu için (yani \( A \) kümesinin bazı elemanları \( B \) kümesinde birden fazla elemanla eşlendiği için) bu bağıntılar birer fonksiyon değildir.
Aşağıda birinci fonksiyon olma koşulunu, dolayısıyla dikey doğru testini sağlamayan tüm reel sayılarda tanımlı bir bağıntının grafiği verilmiştir. Bu grafikte \( x = 1 \) noktasında bağıntının bir görüntüsü olmadığı için (yani nokta \( B \) kümesinde hiçbir elemanla eşlenmediği için) dikey doğru bu noktada grafiği hiçbir noktada kesmemektedir.
Yukarıdaki \( y = f(x) \) grafiğine göre,
\( \dfrac{f(4) + f(-3)}{f(3) + f(7) + f(0)} \) sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSorudaki ifadedeki fonksiyon değerlerini bulalım.
\( f(4) = 4 \)
\( f(-3) = -7 \)
\( f(3) = 0 \)
\( f(7) = 6 \)
\( f(0) = -5 \)
Bu değerleri verilen ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{f(4) + f(-3)}{f(3) + f(7) + f(0)} = \dfrac{4 + (-7)}{0 + 6 + (-5)} \)
\( = -3 \) bulunur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 3ax + 5 - b \) fonksiyonunun grafiği \( (2, 3) \) ve \( (-1, -2) \) noktalarından geçtiğine göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterBir fonksiyonun grafiği belirli bir noktadan geçiyorsa o noktanın koordinatları fonksiyon tanımını sağlar.
\( f(2) = 2^2 - 3a(2) + 5 - b = 3 \)
\( 6a + b = 6 \)
\( f(-1) = (-1)^2 - 3a(-1) + 5 - b = -2 \)
\( 3a - b = -8 \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = -\dfrac{2}{9}, \quad b = \dfrac{22}{3} \)
\( ab = -\dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{22}{3} = -\dfrac{44}{27} \) bulunur.
Yukarıda verilen \( f \) fonksiyon grafiğine göre, aşağıdaki öncüllerden hangileri doğrudur?
I. \( f(-2) \ge 0 \)
II. \( f(-4) \cdot f(2) \lt 0 \)
III. \( f(0) + f(3) \lt 0 \)
IV. \( f(-6) + f(6) \le 0 \)
Çözümü GösterVerilen öncülleri sırayla inceleyelim.
I. öncül:
\( f(-2) \ge 0 \)
Fonksiyon \( x = -2 \) noktasında \( x \) eksenini kestiği için \( f(-2) = 0 \) olur.
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
\( f(-4) \cdot f(2) \lt 0 \)
Fonksiyon \( (-6, -2) \) aralığında negatif olduğu için \( f(-4) \lt 0 \) olur.
Fonksiyon \( (-2, 4) \) aralığında pozitif olduğu için \( f(2) \gt 0 \) olur.
\( f(-4) \cdot f(2) \lt 0 \)
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( f(0) + f(3) \lt 0 \)
Fonksiyon \( y \) eksenini pozitif tarafta kestiği için \( f(0) \gt 0 \) olur.
Fonksiyon \( (-2, 4) \) aralığında pozitif olduğu için \( f(3) \gt 0 \) olur.
\( f(0) + f(3) \gt 0 \)
III. öncül yanlıştır.
IV. öncül:
\( f(-6) + f(6) \le 0 \)
Fonksiyon \( x = -6 \) ve \( x = 6 \) noktalarında \( x \) eksenini kestiği için \( f(-6) = f(6) = 0 \) olur.
\( f(-6) + f(6) = 0 \)
IV. öncül doğrudur.
Buna göre I., II. ve IV. öncüller doğrudur.
Yukarıdaki grafiğe göre, \( a \in (1, 2) \) olmak üzere,
\( f(a) = b \)
\( g(b) = c \)
\( h(c) = d \)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( b \gt a \)
II. \( b \gt d \)
III. \( a \gt c \)
Çözümü Göster\( a \in (1, 2) \) olduğu biliniyor.
\( f(a) = b \) olduğuna göre \( b \in (3, 4) \) olur.
\( g(b) = c \) olduğuna göre \( c \in (2, 3) \) olur.
\( h(c) = d \) olduğuna göre \( d \in (2, 3) \) olur.
Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.