Fonksiyonların Grafik Gösterimi

Bir fonksiyonun girdi ve çıktı değerleri arasındaki ilişki ve fonksiyonun davranışı hakkında en detaylı yorumları fonksiyonun grafiğini inceleyerek yapabiliriz. Bu yüzden farklı fonksiyon tiplerinin (kuvvet, kök, trigonometri, üstel, logaritma vb) grafiklerinin okunması, çizilmesi ve yorumlanması oldukça önem taşımaktadır.

Fonksiyon Grafiğini Okuma

Bir fonksiyonun değeri fonksiyonun belirli bir \( x = a \) girdi değerini eşlediği \( y = f(a) \) çıktı değeridir.

Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini grafik üzerinde bulmak için, \( x \) ekseni üzerinde apsisi bu değer olan noktadan \( y \) eksenine paralel bir doğru çizer ve doğrunun fonksiyon grafiğini kestiği noktanın ordinat değerini buluruz.

Bir fonksiyonun belirli bir değeri aldığı noktaları bulmak için, \( y \) ekseni üzerinde ordinatı bu değer olan noktadan \( x \) eksenine paralel bir doğru çizer ve doğrunun fonksiyon grafiğini kestiği nokta(lar)ın apsis değer(ler)ini buluruz.

Fonksiyon grafiğini okuma
Fonksiyon grafiğini okuma

Yukarıdaki grafiğe göre, fonksiyonun \( x = 10 \) için değeri dikey mavi kesikli doğrunun grafiği kestiği noktanın ordinatı olan \( y = 8 \)'dir.

Fonksiyonun \( y = 4 \) değerini aldığı noktalar yatay kırmızı kesikli doğrunun grafiği kestiği noktaların apsis değerleri olan \( x = \{ 2, 6, 9 \} \)'dur.

Fonksiyon Grafiğini Çizme

Bir \( f: A \to B \) fonksiyonunun analitik düzlemdeki grafiği ile ilgili bilmemiz gereken bazı temel noktalar şunlardır:

Fonksiyonun analitik düzlemde gösterimi
Fonksiyonun analitik düzlemde gösterimi
  • Fonksiyonun girdi değerlerini oluşturan \( A \) kümesi \( x \) eksenine karşılık gelir.
  • Fonksiyonun çıktı değerlerini oluşturan \( B \) kümesi \( y \) eksenine karşılık gelir.
  • \( a \in A \) olmak üzere, bir \( a \) değeri ve bu değerin \( B \) kümesinde eşleştiği \( f(a) \) değerinin oluşturduğu \( (a, f(a)) \) sıralı ikilisi, analitik düzlemde apsisi \( a \) ve ordinatı \( f(a) \) olan bir noktaya karşılık gelir.
  • \( A \) kümesinin tüm elemanları için yazılacak bu sıralı ikililerinin oluşturduğu noktalar kümesi fonksiyonun grafiğini oluşturur.

Bir örnek üzerinden bir fonksiyonun grafiğini nasıl çizebileceğimizi görelim:

Önce bir değer tablosu oluşturarak, örnek bazı \( x \) değerleri için fonksiyon değerlerini ve \( (x, f(x)) \) sıralı ikililerini bulalım:

\( x \) \( y = f(x) \) Nokta \( (x, f(x)) \)
\( -1 \) \( f(-1) = (-1 - 3)^2 - 4 = 12 \) \( (-1, 12) \)
\( 0 \) \( f(0) = (0 - 3)^2 - 4 = 5 \) \( (0, 5) \)
\( 1 \) \( f(1) = (1 - 3)^2 - 4 = 0 \) \( (1, 0) \)
\( 2 \) \( f(2) = (2 - 3)^2 - 4 = -3 \) \( (2, -3) \)
\( 3 \) \( f(3) = (3 - 3)^2 - 4 = -4 \) \( (3, -4) \)
\( 4 \) \( f(4) = (4 - 3)^2 - 4 = -3 \) \( (4, -3) \)
\( 5 \) \( f(5) = (5 - 3)^2 - 4 = 0 \) \( (5, 0) \)
\( 6 \) \( f(6) = (6 - 3)^2 - 4 = 5 \) \( (6, 5) \)
\( 7 \) \( f(7) = (7 - 3)^2 - 4 = 12 \) \( (7, 12) \)

Elde ettiğimiz bu noktaları analitik düzlemde işaretlediğimizde aşağıdaki kırmızı noktaları elde ederiz. Bu noktaları birleştirdiğimizde aşağıdaki parabol grafiğini elde ederiz.

Örnek fonksiyon grafiği
Örnek fonksiyon grafiği

Fonksiyon Grafiğini Yorumlama

Fonksiyon grafikleri ile ilgili olarak aşağıdaki konuları ileriki bölümlerde detaylı şekilde inceliyor olacağız. Her bir başlıkla ilgili bilgi düzeyimiz denklemi verilen bir fonksiyonun grafiğini ve fonksiyonun temsil ettiği değişkenlerin davranışını farklı açılardan yorumlama konusunda işimizi kolaylaştıracaktır.

  • Temel fonksiyonların grafikleri (doğrusal, kuvvet, kök, mutlak değer, polinom, trigonometri, üstel, logaritma, rasyonel, parçalı vb.)
  • Grafiklerin eksenleri kestikleri noktalar
  • Fonksiyon grafiklerinin dönüşümü (öteleme, daralma, genişleme, döndürme)
  • Artan, azalan ve sabit aralıklar
  • Grafiklerde simetri (tek ve çift fonksiyonlar)
  • Minimum ve maksimum noktaları
  • Büküm noktaları
  • Konveks ve konkav grafikler
  • Asimptot kavramı
  • Grafiklerde süreklilik
  • Grafiklerin belirli noktalardaki eğimi
  • Grafiklerin altında kalan alan

Dikey Doğru Testi

Fonksiyon tanımında bir bağıntının fonksiyon olma kuralı olarak iki koşuldan bahsetmiştik. Bir bağıntının bu koşulları sağlayıp sağlamadığını bağıntının grafiğinden de anlayabiliriz.

Buna göre, grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, \( x \) ekseni üzerinde bağıntının tanımlı olduğu aralıktaki (eksen üzerinde kırmızı doğru ile gösterilen aralık) tüm noktalardan \( y \) eksenine paralel doğrular çizilir. Dikey doğru testi denen bu yöntemde doğruların tümü grafikte bir ve yalnız bir noktayı kesiyorsa bu bağıntı bir fonksiyondur.

Aşağıda dikey doğru testini ve dolayısıyla fonksiyon olma koşullarını sağlayan iki bağıntının grafiği verilmiştir. Bu grafiklerde dikey doğrular grafiği bir ve yalnız bir noktada kestikleri için (yani \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinde sadece bir elemanla eşleştiği için) birer fonksiyondur.

Fonksiyon tanımına uyan bir grafik
Fonksiyon tanımına uyan bir grafik
Fonksiyon tanımına uyan bir grafik
Fonksiyon tanımına uyan bir grafik

Aşağıda ikinci fonksiyon olma koşulunu, dolayısıyla dikey doğru testini sağlamayan iki bağıntının grafiği verilmiştir. Bu grafiklerde dikey doğrular grafiği birden fazla noktada kestikleri için (yani \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinde birden fazla elemanla eşleştiği için) birer fonksiyon değildir.

Fonksiyon tanımına uymayan bir grafik
Fonksiyon tanımına uymayan bir grafik
Fonksiyon tanımına uymayan bir grafik
Fonksiyon tanımına uymayan bir grafik

Aşağıda birinci fonksiyon olma koşulunu, dolayısıyla dikey doğru testini sağlamayan bir bağıntının grafiği verilmiştir. Bu grafikte \( x = 0 \) noktasında fonksiyon tanımsız olduğu için (yani nokta \( B \) kümesinde hiçbir elemanla eşleşmediği için) dikey doğru bu noktada grafiği hiçbir noktada kesmemektedir.

Fonksiyon tanımına uymayan bir grafik
Fonksiyon tanımına uymayan bir grafik

« Önceki
Fonksiyon Kavramı
Sonraki »
Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır