Örten ve İçine Fonksiyon

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki elemanlar değer kümesindeki tüm elemanlarla eşleşiyorsa, bir diğer deyişle değer kümesinde hiçbir eleman açıkta kalmıyorsa bu fonksiyona örten fonksiyon ya da sürjektif fonksiyon denir.

Aşağıdaki fonksiyon bir örten fonksiyondur.

Örten fonksiyon
Örten fonksiyon

Bir fonksiyon örten değilse, yani değer kümesinde açıkta eleman kalıyorsa bu fonksiyona içine fonksiyon denir. Buna göre, bir fonksiyon ya örtendir ya da içinedir.

Aşağıdaki fonksiyon değer kümesindeki son eleman açıkta kaldığı için bir içine fonksiyondur.

İçine fonksiyon
İçine fonksiyon

Örten fonksiyonlarda değer kümesindeki tüm elemanlar tanım kümesinin bir elemanı ile eşleştiği için görüntü kümesi değer kümesine eşittir. İçine fonksiyonlarda değer kümesinde tanım kümesinin bir elemanı ile eşleşmeyen eleman(lar) kaldığı için görüntü kümesi değer kümesinin bir özalt kümesidir.

Bir fonksiyonun örten olabilmesi için yeterli olmasa da gerekli bir koşul, tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan büyük olmasıdır. Aksi takdirde tanım kümesinde değer kümesindeki tüm elemanları "örtecek" kadar eleman bulunmayacaktır.

Örten ve İçine Fonksiyon Sayısı

Verilen bir tanım ve değer kümesi arasında tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısını aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz:

Yukarıdaki formülde üçüncü durumdaki formülü detaylı şekilde "Sayma" konusu altındaki "Dahil Etme - Hariç Bırakma Prensibi" başlığı altında inceleyeceğiz.

İki küme arasında tanımlanabilecek içine fonksiyon sayısı bu iki küme arasında tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısı ile örten fonksiyon sayısının farkına eşittir.

Örten ve İçine Fonksiyonların Grafik Yorumu

Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için değer kümesindeki tüm \( y \) değerleri için \( x \) eksenine paralel doğrular çizilir. Yatay doğru testi denen bu yöntemde eğer doğruların tümü grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir. Eğer doğruların bir kısmı grafiği kesiyor bir kısmı kesmiyorsa fonksiyon içinedir.

Aşağıda farklı fonksiyonların örten ya da içine olma durumları yatay doğru testi ile yorumlanmıştır. Bu fonksiyonların tümünde değer kümesi tüm reel sayılar olarak alınmıştır. Eğer bir fonksiyonun değer kümesi sadece görüntü kümesi ile sınırlı tutulursa örten olmayan bir fonksiyon örten olacaktır.

Fonksiyon Grafik Notlar

Sabit fonksiyon

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = c \)

Sabit fonksiyonda örten fonksiyon testi

Sabit fonksiyonlar görüntü kümeleri tek elemanlı olduğu için örten değildir, içinedir.

Doğrusal fonksiyon

\( a \ne 0 \) olmak üzere,

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = ax + b \)

Doğrusal fonksiyonda örten fonksiyon testi

Doğrusal fonksiyonlar her reel sayı değerini alabildikleri için örtendir.

Mutlak değer fonksiyonu

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = \abs{x} \)

Mutlak değer fonksiyonunda örten fonksiyon testi

Mutlak değer fonksiyonları negatif değer alamadıkları için örten değildir, içinedir.

2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol)

\( a \ne 0 \) olmak üzere,

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

2. dereceden polinom fonksiyonunda örten fonksiyon testi

2. dereceden polinom fonksiyonları (parabol) \( a \gt 0 \) için tepe noktasının ordinat değerinden küçük, \( a \lt 0 \) için büyük değer alamazlar. Dolayısıyla 2. dereceden polinom fonksiyonları örten değildir, içinedir.

Derecesi çift sayı olan tüm daha yüksek dereceli polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir.

3. dereceden polinom fonksiyonu

\( a \ne 0 \) olmak üzere,

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

3. dereceden polinom fonksiyonunda örten fonksiyon testi

3. dereceden polinom fonksiyonları \( a \gt 0 \) için negatif sonsuzdan gelip pozitif sonsuza, \( a \lt 0 \) için pozitif sonsuzdan gelip negatif sonsuza giderler. Dolayısıyla tüm reel sayı değerlerini alırlar ve bu yüzden örtendirler.

Derecesi tek sayı olan tüm daha yüksek dereceli polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir.

Üstel fonksiyon

\( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere,

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = a^x \)

Üstel fonksiyonda örten fonksiyon testi

Üstel fonksiyonlar sadece \( (0, +\infty) \) aralığında değer alabildikleri için örten değildirler, içinedirler.

Logaritma fonksiyonu

\( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere,

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = \log_a{x} \)

Logaritma fonksiyonunda örten fonksiyon testi

Logaritma fonksiyonları tüm reel sayı değerlerini alabildikleri için örtendirler.

Yukarıda paylaştığımız örten fonksiyon tanımı ile yatay doğru testi arasındaki paralelliği anlamamız önem taşımaktadır. Örten bir fonksiyonda değer kümesinde açıkta hiç eleman kalmaması gerektiğini belirtmiştik. Yatay doğru testi de fonksiyonun değer kümesindeki tüm elemanların (grafiğin \( y \) değerleri) tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olup olmadığını test etmektedir.

Bir fonksiyonun örten ya da içine bir fonksiyon olduğunu fonksiyon grafiğinden bir şekilde daha anlayabiliriz. Grafik üzerindeki tüm noktaların \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümlerini işaretlediğimizde tüm değer kümesini kapsamış oluyorsak bu fonksiyon örtendir. Eğer \( y \) ekseni üzerinde değer kümesinde olup işaretlenmemiş değerler ya da aralıklar kalıyorsa bu fonksiyon örten değil, içinedir.

Yukarıdaki tabloda yatay doğru testi uyguladığımız iki fonksiyona aşağıda bu testi uygulayarak aynı sonuca ulaşabiliriz.

Fonksiyon Grafik Notlar

2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol)

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( a \ne 0 \)

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Örten bir fonksiyonda görüntü kümesinin izdüşümü

Grafik üzerindeki tüm noktaların \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümlerini mavi renkle işaretlersek, tepe noktasının alt kısmında kırmızı ile işaretlenmiş kısmın açıkta kaldığını görebiliriz. Bu yüzden bu fonksiyon örten değildir, içinedir.

3. dereceden polinom fonksiyonu

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( a \ne 0 \)

\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

Örten olmayan bir fonksiyonda görüntü kümesinin izdüşümü

Grafik üzerindeki tüm noktaların \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümlerini mavi renkle işaretlersek, grafiğin \( y \) ekseninin tümünü kapsadığını görebiliriz. Bu yüzden bu fonksiyon örtendir.

SORU:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 \)

\( g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \quad g(x) = x + 2 \)

\( h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = x \cdot \abs{x} + 2 \)

\( k: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad k(x) = 5x - 7 \)

fonksiyonlarından hangileri içine fonksiyondur?

Çözümü Göster


SORU:

\( s(A) = x^2 - 4 \) ve \( s(B) = 5x + 2 \) olmak üzere, \( f: A \to B \) şeklinde tanımlı olan fonksiyon örtendir.

Buna göre \( B \) kümesi en az kaç elemanlıdır?

Çözümü Göster


SORU:

\( A = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} \)

\( f : A \to B \)

\( f(x) = x^2 + 2x + 2 \) olmak üzere,

\( f \) fonksiyonu içine olduğuna göre, \( B \) kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

Çözümü Göster


SORU:

\( A = \{ 2, 4, 6, 8 \} \) ve \( B = \{ a, b, c, d \} \) olduğuna göre, \( A \)'dan \( B \)'ye kaç farklı içine fonksiyon yazılabilir?

Çözümü Göster


« Önceki
Parçalı Fonksiyon
Sonraki »
Birebir Fonksiyon


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır