Örten ve İçine Fonksiyon

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların değer kümesindeki elemanlarla eşlenmesi sonucunda değer kümesinde hiçbir eleman açıkta kalmıyorsa bu fonksiyona örten fonksiyon ya da sürjektif fonksiyon denir. Bir diğer ifadeyle, bir örten fonksiyonda değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsüdür.

Aşağıdaki fonksiyon değer kümesinde hiçbir eleman açıkta kalmadığı için örtendir.

Örten fonksiyon
Örten fonksiyon

Bir fonksiyon örten değilse, yani değer kümesinde açıkta eleman kalıyorsa bu fonksiyona içine fonksiyon denir. Buna göre, bir fonksiyon ya örtendir ya da içinedir.

Aşağıdaki fonksiyon değer kümesindeki son eleman açıkta kaldığı için içine fonksiyondur.

İçine fonksiyon
İçine fonksiyon

Örten fonksiyonlarda değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olduğu için görüntü kümesi değer kümesine eşittir. İçine fonksiyonlarda değer kümesinde açıkta eleman(lar) kaldığı için görüntü kümesi değer kümesinin bir öz alt kümesidir.

İçine bir fonksiyon değer kümesi görüntü kümesine eşit olacak şekilde daraltılarak örten bir fonksiyona dönüştürülebilir. Benzer şekilde, örten bir fonksiyon değer kümesi genişletilerek içine bir fonksiyona dönüştürülebilir.

Bir fonksiyonun örten olabilmesi için gerekli koşullardan biri, tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan büyük olmasıdır. Aksi takdirde tanım kümesinde değer kümesindeki tüm elemanları "örtecek" kadar eleman bulunmaz.

Örten ve İçine Fonksiyon Sayısı

Örten fonksiyon sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.

Yukarıdaki formülde üçüncü durumdaki formülün mantığını ve nasıl türetildiğini "Sayma" konusu altındaki dahil etme - hariç bırakma prensibi ve örten fonksiyon sayısı sayfalarında inceleyeceğiz.

İki küme arasında tanımlanabilecek içine fonksiyon sayısı, bu iki küme arasında tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısı ile örten fonksiyon sayısının farkına eşittir.

Örten ve İçine Fonksiyonların Grafik Yorumu

Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için değer kümesindeki tüm \( y \) değerleri için \( x \) eksenine paralel doğrular çizilir. Yatay doğru testi adı verilen bu yöntemde eğer doğruların tümü grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir, doğruların bir kısmı grafiği kesmiyorsa fonksiyon içinedir.

Aşağıda farklı fonksiyonların örten ya da içine olma durumları yatay doğru testi ile yorumlanmıştır. Bu fonksiyonlarda değer kümeleri tüm reel sayılar olarak alınmıştır. Yukarıda bahsettiğimiz gibi fonksiyonların değer kümesi genişletilerek/daraltılarak örten bir fonksiyon içine bir fonksiyona, içine bir fonksiyon da örten bir fonksiyona dönüştürülebilir.

Fonksiyon Grafik

Sabit fonksiyon

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = c \)

Sabit fonksiyonlar görüntü kümeleri tek elemanlı olduğu için örten değil, içinedir.

Sabit fonksiyonda örten fonksiyon testi

Doğrusal fonksiyon

\( a \ne 0 \) olmak üzere,

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = ax + b \)

Doğrusal fonksiyonlar her reel sayı değerini alabildikleri için örtendir.

Doğrusal fonksiyonda örten fonksiyon testi

Mutlak değer fonksiyonu

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = \abs{x} \)

Mutlak değer fonksiyonu negatif değer alamadığı için örten değil, içinedir.

Mutlak değer fonksiyonunda örten fonksiyon testi

2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol)

\( a \ne 0 \) olmak üzere,

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

2. dereceden polinom fonksiyonu \( a \gt 0 \) için tepe noktasının ordinat değerinden küçük, \( a \lt 0 \) için büyük değer alamaz, dolayısıyla örten değil, içinedir.

Derecesi çift sayı olan tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir.

2. dereceden polinom fonksiyonunda örten fonksiyon testi

3. dereceden polinom fonksiyonu

\( a \ne 0 \) olmak üzere,

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

3. dereceden polinom fonksiyonu \( a \gt 0 \) için negatif sonsuzdan gelip pozitif sonsuza, \( a \lt 0 \) için pozitif sonsuzdan gelip negatif sonsuza gider, dolayısıyla tüm reel sayı değerlerini alır ve bu yüzden örtendir.

Derecesi tek sayı olan tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir.

3. dereceden polinom fonksiyonunda örten fonksiyon testi

Üstel fonksiyon

\( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere,

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = a^x \)

Üstel fonksiyon sıfır ve negatif değer alamadığı için örten değil, içinedir.

Üstel fonksiyonda örten fonksiyon testi

Logaritma fonksiyonu

\( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere,

\( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = \log_a{x} \)

Logaritma fonksiyonu tüm reel sayı değerlerini alabildiği için örtendir.

Logaritma fonksiyonunda örten fonksiyon testi

Yukarıda paylaştığımız örten fonksiyon tanımı ile yatay doğru testi arasındaki paralelliğin anlaşılması önem taşımaktadır. Örten bir fonksiyonda değer kümesinde açıkta eleman kalmadığını belirtmiştik. Yatay doğru testi de fonksiyonun değer kümesindeki tüm elemanların (grafiğin \( y \) değerleri) tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olup olmadığını test etmektedir.

Bir fonksiyonun örten ya da içine bir fonksiyon olduğunu fonksiyon grafiğinden bir şekilde daha anlayabiliriz. Grafik üzerindeki tüm noktaların \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümleri işaretlendiğinde tüm değer kümesi kapsanmış oluyorsa bu fonksiyon örtendir. Eğer \( y \) ekseni üzerinde değer kümesinde olup işaretlenmemiş değerler ya da aralıklar kalıyorsa bu fonksiyon örten değil, içinedir.

Yukarıdaki tabloda yatay doğru testi uyguladığımız iki fonksiyona aşağıda bu testi uygulayarak aynı sonuca ulaşabiliriz.

Fonksiyon Grafik

2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol)

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( a \ne 0 \)

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Grafik üzerindeki tüm noktaların \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümlerini mavi renkle işaretlediğimizde tepe noktasının alt kısmında kırmızı ile işaretlenmiş kısmın açıkta kaldığını görebiliriz. Bu yüzden bu fonksiyon örten değil, içinedir.

Örten bir fonksiyonda görüntü kümesinin izdüşümü

3. dereceden polinom fonksiyonu

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( a \ne 0 \)

\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)

Grafik üzerindeki tüm noktaların \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümlerini mavi renkle işaretlediğimizde grafiğin \( y \) ekseninin tümünü kapsadığını görebiliriz. Bu yüzden bu fonksiyon örtendir.

Örten olmayan bir fonksiyonda görüntü kümesinin izdüşümü
SORU 1:

\( A = \{ 1, 2, 3 \} \) olmak üzere aşağıdaki gibi bir \( f \) fonksiyonu tanımlanıyor.

\( f : A \to A \)

\( f = \{ (3, 1), (2, 3b - a - 2), (2a - 2b, 2) \} \)

\( f \) fonksiyonu örten olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 2:

\( A = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} \)

\( f : A \to B \)

\( f(x) = x^2 + 2x + 2 \) olmak üzere,

\( f \) fonksiyonu içine olduğuna göre, \( B \) kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:

\( s(A) = x^2 - 4 \) ve \( s(B) = 5x + 2 \) olmak üzere,

\( f: A \to B \) şeklinde tanımlı olan fonksiyon örtendir.

Buna göre \( B \) kümesi en az kaç elemanlıdır?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 \)

\( g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \quad g(x) = x + 2 \)

\( h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = x \cdot \abs{x} + 2 \)

\( k: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad k(x) = 5x - 7 \)

fonksiyonlarından hangileri içine fonksiyondur?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( A = \{ 2, 4, 6, 8 \} \) ve \( B = \{ a, b, c, d \} \) olduğuna göre,

\( A \)'dan \( B \)'ye kaç farklı içine fonksiyon yazılabilir?

Çözümü Göster
SORU 6:

\( f: A \to B \)

\( B = \{-2, 0, 2, 4\} \)

\( f(x) = 2x - 4 \) fonksiyonu içine olduğuna göre, \( A \) kümesinin elemanları toplamı en fazla kaç olabilir?

Çözümü Göster
SORU 7:

\( A = \{1, 2, 3\} \)

\( B = \{3, 4, 5\} \)

\( f: A \to B \) olmak üzere,

\( f \) fonksiyonu içine olduğuna göre, \( f(1) + f(2) + f(3) \) toplamı kaç farklı değer alabilir?

Çözümü Göster
SORU 8:

\( f: \mathbb{R} \to B \)

\( f(x) = \begin{cases} -x + 8 & x \lt 3 \\ x + 1 & x \ge 3 \end{cases} \)

\( f \) fonksiyonu örten olduğuna göre, \( B \) kümesini bulunuz.

Çözümü Göster

« Önceki
Parçalı Fonksiyon
Sonraki »
Birebir Fonksiyon


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır