Fonksiyonlarla İşlemler

Eşit Fonksiyonlar

Tanım kümeleri aynı olan ve tanım kümesindeki her eleman için fonksiyonların görüntüleri birbirine eşit olan fonksiyonlara eşit fonksiyon denir. Eşit fonksiyonlar \( f = g \) şeklinde gösterilirler.

SORU 1:

\( f(x) = (m + 3)x^2 - 3x + np \)

\( g(x) = mnx + 5 \)

\( f(x) = g(x) \) olduğuna göre, \( m + n + p \) kaçtır?

İki polinom fonksiyonunun eşit olabilmesi için (aynı girdi değerleri için aynı çıktı değerlerini üretebilmesi için) aynı dereceli terimlerinin katsayıları eşit olmasıdır.

\( g \) fonksiyonunda \( x^2 \)'li bir terim olmadığı için \( f \) fonksiyonunda \( x^2 \)'li terimin katsayısı 0 olmalıdır.

\( m + 3 = 0 \Longrightarrow m = -3 \)

İki fonksiyonda \( x \)'li terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.

\( -3 = mn Longrightarrow n = 1 \)

İki fonksiyonda sabit terimler birbirlerine eşit olmalıdır.

\( np = 5 Longrightarrow p = 5 \)

\( m + n + p = (-3) + 1 + 5 = 3 \) bulunur.

Fonksiyonlarla İşlemler

Tanım kümelerinin kesişimi boş küme olmayan fonksiyonlar arasında toplama/çarpma gibi temel işlemler yapılabilir ve bu işlemlerin sonucunda yeni birer fonksiyon elde edilir.

Fonksiyonlar arası işlemler
Fonksiyonlar arası işlemler

İki ya da daha fazla fonksiyon arasında yapılan işlemin sonucunun tanım kümesi, işlemin terimi olan fonksiyonların tanım kümelerinin kesişim kümesine eşittir.

İşlem sonucunun tanım kümesi
İşlem sonucunun tanım kümesi

Bir işlemin terimi olan fonksiyonların değer kümeleri aynı olmalıdır ve bu değer kümesi sonuç fonksiyonunun da değer kümesi olur.

Fonksiyonlar arasındaki işlemleri aşağıdaki iki örnek fonksiyon üzerinden inceleyelim.

Toplama İşlemi

İki fonksiyon arasındaki toplama işleminde fonksiyonların tanım kümelerindeki ortak elemanların görüntüleri toplanır.

Çıkarma İşlemi

İki fonksiyon arasındaki çıkarma işleminde fonksiyonların tanım kümelerindeki ortak elemanların görüntülerinin farkı alınır.

Çarpma İşlemi

Bir fonksiyonun sabit bir sayı ile çarpma işleminde fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların görüntüleri bu sayı ile çarpılır.

İki fonksiyon arasındaki çarpma işleminde fonksiyonların tanım kümelerindeki ortak elemanların görüntüleri birbiriyle çarpılır.

Bölme İşlemi

İki fonksiyon arasındaki bölme işleminde fonksiyonların tanım kümelerindeki ortak elemanların görüntüleri birbirine bölünür.

Üs Alma İşlemi

Bir fonksiyonun üssünü alma işleminde fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların görüntülerinin üssü alınır.

SORU 2:

\( f = \{(1, 7), (2, 6), (3, 4)\} \)

\( g = \{(0, 2), (1, 4), (2, -3), (4, 10)\} \)

olduğuna göre, \( f - g \) fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?

\( f - g \) fonksiyonunun tanım kümesi iki kümenin tanım kümelerinin kesişim kümesinden oluşur.

\( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{1, 2, 3\} \) ve \( g \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{0, 1, 2, 4\} \) olduğu için, \( f - g \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{1, 2\} \) olur.

\( 1 \) elemanının \( f - g \) fonksiyonuna göre görüntüsünü bulalım.

\( f(1) = 7 \)

\( g(1) = 4 \)

\( (f - g)(1) = 7 - 4 = 3 \)

\( 2 \) elemanının \( f - g \) fonksiyonuna göre görüntüsünü bulalım.

\( f(2) = 6 \)

\( g(2) = -3 \)

\( (f - g)(2) = 6 - (-3) = 9 \)

\( f - g \) fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.

\( f - g = \{(1, 3), (2, 9)\} \)

Buna göre \( f - g \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( \{3, 9\} \) olur.


SORU 3:

\( f = \{(-1, 2), (0, 3), (1, -2)\} \)

\( g = \{(-1, 5), (0, 4), (1, -1)\} \) olduğuna göre,

\( \dfrac{(f \cdot g)(1)}{(f + g)(0)} \) ifadesinin değeri kaçtır?

\( \dfrac{(f \cdot g)(1)}{(f + g)(0)} = \dfrac{f(1) \cdot g(1)}{f(0) + g(0)} \)

\( = \dfrac{-2 \cdot (-1)}{3 + 4} = \dfrac{2}{7} \) bulunur.


SORU 4:

\( f \) doğrusal ve birebir bir fonksiyon olmak üzere,

\( (f + f)(x) = (f \circ f)(x) \) olduğuna göre, \( f(5) \) kaçtır?

\( f \) fonksiyonu doğrusal olduğu için \( f(x) = ax + b \) olarak kabul edelim.

\( (f + f)(x) = (f \circ f)(x) \)

\( (ax + b) + (ax + b) = a(ax + b) + b \)

\( 2ax + 2b = a^2x + ab + b \)

\( x \)'li terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.

\( 2a = a^2 \Longrightarrow a \in \{0, 2\} \)

Fonksiyonun birebir olduğu verildiği için \( a = 0 \) olamaz, olması durumunda sabit fonksiyon olur ve birebir olmaz.

\( a = 2 \)

Sabit terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.

\( 2b = 2b + b \Longrightarrow b = 0 \)

Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 2x \)

\( f(5) = 10 \) olarak bulunur.


SORU 5:

\( (f + g)(x) = x^2 + 3 \)

\( (f - g)(2x) = x + 2 \)

olduğuna göre, \( f(2) \cdot g(2) \) kaçtır?

\( (f + g)(2) = f(2) + g(2) \)

\( (f - g)(2) = f(2) - g(2) \)

Birinci eşitlikte \( x = 2 \), ikinci eşitlikte \( x = 1 \) yazalım.

\( f(2) + g(2) = 2^2 + 3 = 7 \)

\( f(2) - g(2) = 1 + 2 = 3 \)

Elde ettiğimiz iki denklemi taraf tarafa toplayalım ve \( f(2) \) ve \( g(2) \) değerleri için çözelim.

\( 2f(2) = 10 \)

\( f(2) = 5 \)

\( g(2) = 2 \)

\( f(2) \cdot g(2) = 5 \cdot 2 = 10 \) olarak bulunur.


SORU 6:

\( a \ge 0 \) olmak üzere,

\( f(x) = x - 4a \)

\( g(x) = \abs{x + 2a} \)

\( (f \circ g)(1) = 0 \)

olduğuna göre, \( (f + g)(-3) \) kaçtır?

\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)

\( = \abs{x + 2a} - 4a \)

Fonksiyonun \( x = 1 \) için değerini bulalım.

\( (f \circ g)(1) = \abs{1 + 2a} - 4a = 0 \)

\( \abs{1 + 2a} = 4a \)

\( a \) pozitif olduğu için mutlak değer içi de pozitiftir.

\( 1 + 2a = 4a \)

\( a = \dfrac{1}{2} \)

Buna göre fonksiyon tanımlarını aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = x - 4\frac{1}{2} = x - 2 \)

\( g(x) = \abs{x + 2\frac{1}{2}} = \abs{x + 1} \)

İki fonksiyonun toplam fonksiyonunu bulalım.

\( (f + g)(x) = (x - 2) + \abs{x + 1} \)

Fonksiyonun \( x = -3 \) için değerini bulalım.

\( (f + g)(-3) = -3 - 2 + \abs{-3 + 1} \)

\( = -5 + 2 = -3 \) bulunur.


SORU 7:

\( f(x) = \ln{\dfrac{e - x}{e + x}} \) fonksiyonu veriliyor.

\( f(a) + f(a + 1) = 0 \) ise \( a \) kaçtır?

\( f(a) + f(a + 1) = 0 \)

\( \ln{\dfrac{e - a}{e + a}} + \ln{\dfrac{e - (a + 1)}{e + (a + 1)}} = 0 \)

\( \ln{\dfrac{e - a}{e + a}} + \ln{\dfrac{e - a - 1}{e + a + 1}} = 0 \)

Aynı tabanda iki logaritma ifadesinin toplamı ifadelerin çarpımının logaritmasına eşittir.

\( \ln(\dfrac{e - a}{e + a} \cdot \dfrac{e - a - 1}{e + a + 1}) = 0 \)

Doğal logaritma ifadesinden kurtulalım.

\( \dfrac{e - a}{e + a} \cdot \dfrac{e - a - 1}{e + a + 1} = e^0 = 1 \)

\( (e - a)(e - a - 1) = (e + a)(e + a + 1) \)

\( e^2 - ea - e - ea + a^2 + a = e^2 + ea + e + ea + a^2 + a \)

\( - ea - e - ea = ea + e + ea \)

\( 4ea = -2e \)

\( a = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.


SORU 8:

\( f \) reel sayılarda tanımlı bir fonksiyon olmak üzere,

\( f(x) + 2f(3 - x) = x^2 \) eşitliği veriliyor.

Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun eşitini bulunuz.

\( f(x) + 2f(3 - x) = x^2 \) eşitliğinde \( x \) yerine \( 3 - x \) yazalım.

\( f(3 - x) + 2f(3 - (3 - x)) = (3 - x)^2 \)

\( f(3 - x) + 2f(x) = (3 - x)^2 \)

Eşitliğin taraflarını 2 ile çarpalım.

\( 2f(3 - x) + 4f(x) = 2(3 - x)^2 \)

Bu eşitlikten soruda verilen eşitliği taraf tarafa çıkaralım.

\( 4f(x) - f(x) = 2(3 - x)^2 - x^2 \)

\( 3f(x) = 18 - 12x + 2x^2 - x^2 \)

\( 3f(x) = x^2 - 12x + 18 \)

\( f(x) = \dfrac{x^2}{3} - 4x + 6 \) bulunur.


SORU 9:
Soru

Yukarıdaki şekilde \( (y - x) \)'in \( (y + x) \)'e göre grafiği verilmiştir.

Buna göre \( y \)'nin \( x \)'e göre grafiğini çiziniz.

Verilen şekilde grafiğin eğiminin 2 olduğunu görüyoruz.

\( \dfrac{y - x}{y + x} = \dfrac{6}{3} = 2 \)

\( y - x = 2y + 2x \)

\( y = -3x \)

Buna göre \( y \)'nin \( x \)'e göre grafiği \( y = -3x \) doğrusudur.

Soru
SORU 10:

\( f(x) = 2f(x - 1) - x \) ve \( f(0) = 1 \) olduğuna göre \( f(3) \) kaçtır?

\( f(1) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 1 \) yazalım.

\( f(1) = 2f(0) - 1 \)

\( f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \)

\( f(2) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 2 \) yazalım.

\( f(2) = 2f(1) - 2 \)

\( f(2) = 2 \cdot 1 - 2 = 0 \)

\( f(3) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 3 \) yazalım.

\( f(3) = 2f(2) - 3 \)

\( f(3) = 2 \cdot 0 - 3 = -3 \)


SORU 11:

\( f(x + 1) = f(x) + 2 \) ve \( f(1) = 2 \)

olduğuna göre, \( f(32) \) kaçtır?

İfadede \( x = 1 \) yazarak \( f(2) \)'yi bulalım.

\( f(1 + 1) = f(1) + 2 \)

\( f(2) = 2 + 2 = 4 \)

İfadede \( x = 2 \) yazarak \( f(3) \)'ü bulalım.

\( f(2 + 1) = f(2) + 2 \)

\( f(3) = 4 + 2 = 6 \)

Görüldüğü üzere, \( x \) bir arttıkça \( f(x) \) iki artmaktadır.

Bu örüntüyü kullanarak fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.

\( f(x) = 2x \)

\( f(32) \) değerini bulmak için \( x = 32 \) yazalım.

\( f(32) = 64 \) bulunur.


SORU 12:

\( f(x + 2) = f(x) + x \) ve \( f(2) = -8 \) olduğuna göre, \( f(8) \) kaçtır?

\( f(4) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 2 \) yazalım.

\( f(2 + 2) = f(2) + 2 \)

\( f(4) = -8 + 2 = -6 \)

\( f(6) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 4 \) yazalım.

\( f(4 + 2) = f(4) + 4 \)

\( f(6) = -6 + 4 = -2 \)

\( f(8) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 6 \) yazalım.

\( f(6 + 2) = f(6) + 6 \)

\( f(8) = -2 + 6 = 4 \) bulunur.


SORU 13:

\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\( f(4n - 2) = f(4n) - 2 \)

\( f(4n) = f(n) \)

\( f(6) = 7 \)

eşitlikleri veriliyor. Buna göre \( f(22) \) kaçtır?

\( f(4n - 2) = f(4n) - 2 \) eşitliğinde \( n = 6 \) yazalım.

\( f(4 \cdot 6 - 2) = f(4 \cdot 6) - 2 \)

\( f(22) = f(24) - 2 \)

\( f(4n) = f(n) \) eşitliğinde \( n = 6 \) yazalım.

\( f(24) = f(6) \)

Yukarıda bulduğumuz eşitlikte \( f(24) = f(6) \) yazalım.

\( f(22) = f(6) - 2 = 7 - 2 = 5 \) bulunur.


SORU 14:

Bir \( f \) fonksiyonunun tanımı \( x \ge 1 \) için aşağıdaki şekilde veriliyor.

  • \( x \) 2'ye bölünüp 5'e bölünmüyorsa: \( f(x) = f(x - 1) + 2 \)
  • \( x \) 5'e bölünüp 2'ye bölünmüyorsa: \( f(x) = f(x - 1) - 3 \)
  • \( x \) hem 2'ye hem 5'e bölünüyorsa: \( f(x) = f(x - 1) + 4 \)
  • \( x \) ne 2'ye ne 5'e bölünmüyorsa: \( f(x) = f(x - 1) + 1 \)

\( f(0) = 0 \) olduğuna göre, \( f(4000) \) kaçtır?

Verilen fonksiyonu incelediğimizde her tam sayının görüntüsü ile bir eksiğinin görüntüsü arasında bir eşitlik kurulduğunu görüyoruz.

1 - 4000 arasındaki tam sayıları inceleyerek sadece 2'ye bölünen, sadece 5'e bölünen, iki sayıya da bölünen ve iki sayıya da bölünmeyen kaç tam sayı olduğunu bulalım.

2'ye bölünen sayılar:

\( x \in \{2, 4, \ldots, 3998, 4000\} \)

2'ye bölünen 2000 tam sayı bulunur.

5'e bölünen sayılar:

\( x \in \{5, 10, \ldots, 3995, 4000\} \)

5'e bölünen 800 tam sayı bulunur.

Hem 2'ye hem 5'e (10'a) bölünen sayılar:

\( x \in \{10, 20, \ldots, 3990, 4000\} \)

10'a bölünen 400 tam sayı bulunur.

2'ye bölünen ama 5'e bölünmeyen \( 2000 - 400 = 1600 \) tam sayı bulunur.

5'e bölünen ama 2'ye bölünmeyen \( 800 - 400 = 400 \) tam sayı bulunur.

Ne 2'ye ne de 5'e bölünen \( 4000 - 1600 - 400 - 400 = 1600 \) tam sayı bulunur.

Buna göre fonksiyon \( f(1) \) ve \( f(4000) \) arasında 1600 kez 2 artacak, 400 kez 3 azalacak, 400 kez 4 artacak, 1600 kez de 1 artacaktır.

Buna göre \( f(4000) \) değerini bulalım.

\( f(4000) = 0 + 1600 \cdot 2 + 400 \cdot (-3) + 400 \cdot 4 + 1600 \cdot 1 \)

\( = 3200 - 1200 + 1600 + 1600 \)

\( = 5200 \) olarak bulunur.


SORU 15:

\( x \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

\( f(x + 1) = f(x) + f(x - 1) \)

\( f(7) = 102, \quad f(11) = 849 \)

Buna göre \( f(6) \) kaçtır?

Sırayla \( x = 7 \), \( x = 8 \), \( x = 9 \), \( x = 10 \) verelim.

\( f(8) = f(7) + f(6) \)

\( f(9) = f(8) + f(7) \)

\( f(10) = f(9) + f(8) \)

\( f(11) = f(10) + f(9) \)

Sırayla bilinmeyen terimlerin yerine bir üstteki karşılığını koyalım.

\( f(9) = f(8) + f(7) \)

\( = f(7) + f(6) + f(7) \)

\( = 2f(7) + f(6) \)

\( f(10) = f(9) + f(8) \)

\( = 2f(7) + f(6) + f(7) + f(6) \)

\( = 3f(7) + 2f(6) \)

\( f(11) = f(10) + f(9) \)

\( = 3f(7) + 2f(6) + 2f(7) + f(6) \)

\( = 5f(7) + 3f(6) \)

Soruda verilen değerleri bu eşitlikte yerine koyalım.

\( f(11) = 5f(7) + 3f(6) \)

\( 849 = 5(102) + 3f(6) \)

\( 3f(6) = 339 \)

\( f(6) = 113 \) bulunur.


SORU 16:

\( f(n) \) yinelemeli bir fonksiyon olmak üzere,

\( f(n) = \begin{cases} f(n - 1) + 1 & n \text{ tek sayı ise} \\ f(n - 3) + 4 & n \text{ çift sayı ise} \end{cases} \)

\( f(2) = 2 \) olduğuna göre, \( f(2023) \) kaça eşittir?

Bir örüntü bulabilmek için \( n \)'ye birkaç değer verelim.

\( n = 2023 \Longrightarrow f(2023) = f(2022) + 1 \)

\( n = 2022 \Longrightarrow f(2022) = f(2019) + 4 \)

\( f(2022) \) değerini birinci eşitlikte yerine koyalım.

\( f(2023) = f(2022) + 1 = f(2019) + 4 + 1 \)

\( = f(2019) + 5 \)

Uyguladığımız iki adım sonunda \( n \) yine tek sayı olduğu için bu döngü her iki adımda bir tekrarlanacaktır.

Buna göre bu iki adımı tek adım olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( n \) tek sayı olmak üzere,

\( f(n) = f(n - 4) + 5 \)

\( 4 \cdot 505 + 3 = 2023 \)

Buna göre \( f(2023) \) değeri \( f(3) \) değerine 505 kez 5 eklenmesi ile oluşur.

\( f(2023) = f(3) + 505 \cdot 5 \)

\( = f(3) + 2525 \)

Orijinal fonksiyon tanımını kullanarak \( f(3) \) değerini \( f(2) \) cinsinden yazalım.

\( f(3) = f(2) + 1 \)

\( f(2023) = f(3) + 2525 \)

\( = f(2) + 1 + 2525 \)

\( = 2 + 1 + 2525 \)

\( = 2528 \) bulunur.

Özel Fonksiyonel İlişkiler

İki sayının toplamının görüntüsü, sayıların ayrı ayrı görüntülerinin toplamına eşit ise bu fonksiyon bir doğrusal fonksiyondur.

İki sayının toplamının görüntüsü, sayıların ayrı ayrı görüntülerinin çarpımına eşit ise bu fonksiyon bir üstel fonksiyondur.

İki sayının çarpımının görüntüsü, sayıların ayrı ayrı görüntülerinin toplamına eşit ise bu fonksiyon bir logaritma fonksiyonudur.

İki sayının çarpımın görüntüsü, sayıların ayrı ayrı görüntülerinin çarpımına eşit ise bu fonksiyon bir kuvvet fonksiyonudur.

SORU 17:

\( f(x \cdot y) = f(x) + f(y) \) ve \( f(3) = 6 \) olduğuna göre, \( f(27) \) kaçtır?

\( f(27) = f(3 \cdot 9) = f(3) + f(9) \)

\( = f(3) + f(3 \cdot 3) = f(3) + f(3) + f(3) \)

\( = 6 + 6 + 6 = 18 \) bulunur.


SORU 18:

\( f(a - b) = f(a) - f(b) \) olarak veriliyor.

\( f(5) = m + 2 \) ve \( f(6) = 5m - 2 \) olduğuna göre, \( f(3) \) kaçtır?

İlk olarak \( f(1) \)'i bulalım. \( f(6) \) ve \( f(5) \)'i bildiğimiz için \( a = 6 \), \( b = 5 \) verelim.

\( f(6 - 5) = f(6) - f(5) \)

\( f(1) = (5m - 2) - (m + 2) = 4m - 4 \)

\( f(1) \)'i kullanarak \( f(4) \)'ü bulalım.

\( f(5 - 1) = f(5) - f(1) \)

\( f(4) = (m + 2) - (4m - 4) = -3m + 6 \)

Şimdi de \( f(3) \)'ü bulalım.

\( f(4 - 1) = f(4) - f(1) \)

\( f(3) = (-3m + 6) - (4m - 4) = -7m + 10 \)

\( f(3) \)'ü farklı iki sayının farkı üzerinden bulalım.

\( f(6 - 3) = f(6) - f(3) \)

\( f(3) = (5m - 2) - (-7m + 10) = 12m - 12 \)

Bulduğumuz iki sonucu birbirlerine eşitleyelim

\( -7m + 10 = 12m - 12 \)

\( m = \dfrac{22}{19} \)

\( f(3) = 12 \cdot \dfrac{22}{19} - 12 \)

\( = \dfrac{264 - 228}{19} = \dfrac{36}{19} \) bulunur.


SORU 19:

\( f(a + b) = f(a) \cdot f(b) \)

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri her \( a \) ve \( b \) reel sayısı için yukarıdaki eşitliği sağlar?

I. \( f(x) = 3x \)

II. \( g(x) = x^3 \)

III. \( h(x) = 3^x \)

IV. \( k(x) = \log_3{x} \)

\( f(a + b) = 3(a + b) \)

\( f(a) = 3a, \quad f(b) = 3b \)

\( 3(a + b) \ne 3a \cdot 3b \)

I. öncül verilen koşulu sağlamaz.

\( g(a + b) = (a + b)^3 \)

\( g(a) = a^3, \quad g(b) = b^3 \)

\( (a + b)^3 \ne a^3 \cdot b^3 \)

II. öncül verilen koşulu sağlamaz.

\( h(a + b) = 3^{a + b} \)

\( h(a) = 3^a, \quad h(b) = 3^b \)

\( 3^{a + b} = 3^a \cdot 3^b \)

III. öncül verilen koşulu sağlar.

\( k(a + b) = \log_3(a + b) \)

\( k(a) = \log_3{a}, \quad k(b) = \log_3{b} \)

\( \log_3(a + b) \ne \log_3{a} \cdot \log_3{b} \)

IV. öncül verilen koşulu sağlamaz.

Sadece III. öncüldeki fonksiyon verilen koşulu sağlar.


« Önceki
Ters Fonksiyon
Sonraki »
Çok Değişkenli Fonksiyonlar


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır