\( (a, b) \) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadelere sıralı ikili denir. \( (a, b) \) sıralı ikilisinde \( a \) birinci bileşen, \( b \) ikinci bileşendir.
Sıralı ikililerde bileşenlerin sırası önemlidir.
\( a \ne b \) olmak üzere,
\( (a, b) \ne (b, a) \)
\( (2, 3) \ne (3, 2) \)
İki sıralı ikili birbirine eşitse birinci ve ikinci bileşenler ayrı ayrı birbirine eşittir. Benzer şekilde, iki sıralı ikilinin birinci ve ikinci bileşenleri birbirine eşitse bu iki sıralı ikili birbirine eşittir.
\( (a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a = c \) ve \( b = d \)
\( (a, b) \) şeklindeki bir sıralı ikilinin farklı kullanım alanlarına aşağıdaki gibi örnekler verebiliriz.
Analitik düzlemde apsis değeri \( a \), ordinat değeri \( b \) olan noktanın koordinatları
\( a \in A \) ve \( b \in B \) olmak üzere, \( A \times B \) kartezyen çarpımının bir elemanı
\( a \in A \) ve \( b \in B \) olmak üzere, \( \beta: A \to B \) bağıntısının bir elemanı
\( a \in A \) ve \( b \in B \) olmak üzere, \( f: A \to B \) fonksiyonunun bir elemanı
\( x \) ve \( y \) değişkenlerinden oluşan iki bilinmeyenli bir denklemin \( x = a \) ve \( y = b \) değerlerinden oluşan bir çözümü
Sıralı ikililer birer küme değildir, ancak çoğu zaman aşağıdaki örneklerdeki gibi kümelerin birer elemanı olarak karşımıza çıkarlar.
Bir \( ABC \) üçgeninin köşelerinin koordinatları:
\( A = \{(1, 5), (3, -1), (-2, 2)\} \)
\( s(A) = 3 \)
\( A \times B \) kartezyen çarpımının elemanları:
\( A \times B = \{(a, 1), (a, 2), (a, 3), \ldots \} \)
\( \beta: A \to B \) bağıntısının elemanları:
\( \beta = \{(1, x), (3, z), (7, t), \ldots \} \)
\( f: A \to B \) fonksiyonunun elemanları:
\( f = \{(1, 1), (2, 4), (3, 9), \ldots \} \)
\( y = x^2 - 2 \) denkleminin çözüm kümesi:
\( Ç.K. = \{(1, -1), (2, 2), (3, 7), \ldots \} \)
Yukarıdaki tanıma bağlı kalarak, sıralı üçlü, sıralı dörtlü ve sıralı n'liler de tanımlayabiliriz.
Sıralı üçlü: \( (a, b, c) \)
Sıralı dörtlü: \( (a, b, c, d) \)
Sıralı n'li: \( (a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) \)
Sıralı ikililere benzer şekilde, iki sıralı \( n \)'li birbirine eşitse tüm bileşenleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
Verilen eşitliği sağlayan tüm \( (a, b) \) sıralı ikililerini bulduğumuzu düşünsek de, örneğin \( (3, 3) \) sıralı ikilisinin de eşitliği sağladığını görebiliriz.
\( 3^2 - 3^2 = 4 \cdot 3 - 4 \cdot 3 \)
\( 0 = 0 \)
Dolayısıyla verilen eşitliğin tüm çözümlerini bulamadığımız sonucuna varabiliriz.
Doğru çözüm:
Bir denklemin doğru çözümü her zaman tüm terimleri eşitliğin bir tarafında toplayıp ifadeyi sıfıra eşitlemek, daha sonra sıfıra eşitlediğimiz ifadeyi çarpanlarına ayırmak ve her çarpanı sıfır yapan bilinmeyen değerlerini bulmaktır.
\( a^2 - b^2 = 4a - 4b \)
\( a^2 - b^2 - (4a - 4b) = 0 \)
\( (a - b)(a + b) - 4(a - b) = 0 \)
\( (a + b - 4)(a - b) = 0 \)
Buna göre denklemin çözüm kümesi aşağıdaki iki eşitliği sağlayan \( a \) ve \( b \) değerleridir.
\( a + b - 4 = 0 \Longrightarrow a + b = 4 \)
\( a - b = 0 \Longrightarrow a = b \)
Dolayısıyla yukarıda bulduğumuz 5 sıralı ikilisi ile birlikte aşağıdaki 10 sıralı ikili de denklemin çözümü olur.
Buna göre, her iki listede de bulunan \( (2, 2) \) sıralı ikilisini bir kez sayarsak verilen eşitliği sağlayan \( (a, b) \) sıralı ikililerinin sayısı 14 olur.