Sıralı İkili
\( (a, b) \) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadelere sıralı ikili denir. \( (a, b) \) sıralı ikilisinde \( a \) birinci bileşen, \( b \) ikinci bileşendir.
Sıralı ikililerde bileşenlerin sırası önemlidir.
\( a \ne b \) olmak üzere,
\( (a, b) \ne (b, a) \)
\( (2, 3) \ne (3, 2) \)
İki sıralı ikili birbirine eşitse birinci ve ikinci bileşenler ayrı ayrı birbirine eşittir. Benzer şekilde, iki sıralı ikilinin birinci ve ikinci bileşenleri birbirine eşitse bu iki sıralı ikili birbirine eşittir.
\( (a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a = c \) ve \( b = d \)
\( (a, b) \) şeklindeki bir sıralı ikilinin farklı kullanım alanlarına aşağıdaki gibi örnekler verilebilir.
- Analitik düzlemde apsis değeri \( a \), ordinat değeri \( b \) olan noktanın koordinatları
- \( a \in A \) ve \( b \in B \) olmak üzere, \( A \times B \) kartezyen çarpımının bir elemanı
- \( a \in A \) ve \( b \in B \) olmak üzere, \( \beta: A \to B \) bağıntısının bir elemanı
- \( a \in A \) ve \( b \in B \) olmak üzere, \( f: A \to B \) fonksiyonunun bir elemanı
- \( x \) ve \( y \) değişkenlerinden oluşan iki bilinmeyenli bir denklemin \( x = a \) ve \( y = b \) değerlerinden oluşan bir çözümü
Sıralı ikililer birer küme değildir, ancak çoğu zaman aşağıdaki örneklerdeki gibi kümelerin birer elemanı olarak karşımıza çıkarlar.
Bir \( ABC \) üçgeninin köşelerinin koordinatları:
\( A = \{(1, 5), (3, -1), (-2, 2)\} \)
\( s(A) = 3 \)
\( A \times B \) kartezyen çarpımının elemanları:
\( A \times B = \{(a, 1), (a, 2), (a, 3), \ldots \} \)
\( \beta: A \to B \) bağıntısının elemanları:
\( \beta = \{(1, x), (3, z), (7, t), \ldots \} \)
\( f: A \to B \) fonksiyonunun elemanları:
\( f = \{(1, 1), (2, 4), (3, 9), \ldots \} \)
\( y = x^2 - 2 \) denkleminin çözüm kümesi:
\( (x, y) \in \{(1, -1), (2, 2), (3, 7), \ldots \} \)
Yukarıdaki tanıma bağlı kalarak, sıralı üçlü, sıralı dörtlü ve sıralı n'liler de tanımlanabilir.
Sıralı üçlü: \( (a, b, c) \)
Sıralı dörtlü: \( (a, b, c, d) \)
Sıralı n'li: \( (a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) \)
Sıralı ikililerde olduğu gibi, iki sıralı \( n \)'li birbirine eşitse tüm bileşenleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( (a_1, b_1, c_1, d_1) = (a_2, b_2, c_2, d_2) \) ise,
\( a_1 = a_2, \quad b_1 = b_2, \quad c_1 = c_2, \quad d_1 = d_2 \)
\( (3, 2a, 3b) = (a, b + 2, 2c) \) ise,
\( 3 = a, \quad 2a = b + 2, \quad 3b = 2c \)
\( a = 3, \quad b = 4, \quad c = 6 \)
\( (3, 2a, 3b) = (3, 6, 12) \)
\( ( 2a + 3 , 32) = (15 , 5b - 8) \)
olduğuna göre, \( (3a, 2b) \) sıralı ikilisi nedir?
İki sıralı ikili birbirine eşitse birinci ve ikinci bileşenler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( ( 2a + 3 , 32) = (15 , 5b - 8) \)
\( 2a + 3 = 15 \)
\( a = 6 \)
\( 5b - 8 = 32 \)
\( b = 8 \)
\( (3a, 2b) = (18, 16) \) olarak bulunur.
\( a \) ve \( b \) birer rakam olmak üzere,
\( a^2 - b^2 = 4a - 4b \) eşitliğini sağlayan kaç \( (a, b) \) sıralı ikilisi yazılabilir?
Hatalı çözüm:
\( a^2 - b^2 = 4a - 4b \)
\( (a - b)(a + b) = 4(a - b) \)
\( a - b \) çarpanlarını sadeleştirelim (bu işlemin hatalı olduğunu aşağıda göstereceğiz).
\( a + b = 4 \)
Buna göre aşağıdaki beş \( (a, b) \) sıralı ikilisi soruda verilen eşitliği sağlar.
\( (a, b) \in \{(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)\} \)
Verilen eşitliği sağlayan tüm \( (a, b) \) sıralı ikililerini bulduğumuzu düşünsek de, örneğin \( (3, 3) \) sıralı ikilisinin de eşitliği sağladığını görebiliriz.
\( 3^2 - 3^2 = 4 \cdot 3 - 4 \cdot 3 \)
\( 0 = 0 \)
Dolayısıyla verilen eşitliğin tüm çözümlerini bulamadığımız sonucuna varabiliriz.
Doğru çözüm:
Bir denklemin doğru çözüm yöntemi, tüm terimleri eşitliğin aynı tarafında toplayıp ifadeyi sıfıra eşitlemek, daha sonra bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak ve her çarpanı sıfır yapan bilinmeyen değerlerini bulmaktır.
\( a^2 - b^2 = 4a - 4b \)
\( a^2 - b^2 - (4a - 4b) = 0 \)
\( (a - b)(a + b) - 4(a - b) = 0 \)
\( (a + b - 4)(a - b) = 0 \)
Buna göre denklemin çözüm kümesi aşağıdaki iki eşitliği sağlayan \( a \) ve \( b \) değerleridir.
\( a + b - 4 = 0 \Longrightarrow a + b = 4 \)
\( a - b = 0 \Longrightarrow a = b \)
Dolayısıyla yukarıda bulduğumuz beş sıralı ikili ile birlikte aşağıdaki 10 sıralı ikili de denklemin çözümüdür.
\( (a, b) \in \{(0, 0), (1, 1), \ldots, (9, 9)\} \)
Buna göre, her iki listede de bulunan \( (2, 2) \) sıralı ikilisini bir kez sayarsak verilen eşitliği sağlayan \( (a, b) \) sıralı ikililerinin sayısı 14 olur.