Periyodik Fonksiyon

Aldığı değerler ve grafiği \( x \) ekseni boyunca düzenli aralıklarla kendini tekrarlayan fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir.

Periyodik fonksiyon
Periyodik fonksiyon

\( T \) bir periyodik fonksiyonun periyodu ise \( T \)'nin tam sayı katları için de aşağıdaki eşitlik sağlanır.

Buna göre, \( T \) bir fonksiyonun periyodu ise \( T \)'nin tam sayı katları (\( 2T, 3T \) vb.) da fonksiyonun birer periyodu olur. Bu şekildeki pozitif periyot değerlerinin en küçüğüne fonksiyonun esas periyodu denir. Bir fonksiyonun periyodu dendiğinde anlamamız gereken fonksiyonun esas periyodudur.

Aşağıdaki \( f \) fonksiyonu, kendini tekrarlayan bir periyoda sahip olmadığı (her salınımda \( y \) gittikçe büyüyen değerler aldığı) için periyodik değildir. \( g \) fonksiyonu, ardışık salınımları özdeş olmasa da iki salınımda bir kendini tekrar ettiği için periyodiktir.

Periyodik olan ve olmayan fonksiyonlar
Periyodik olan ve olmayan fonksiyonlar

Örnek Periyodik Fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonların tümü periyodiktir. Sinüs (grafik), kosinüs (grafik), sekant (grafik) ve kosekant (grafik) fonksiyonlarının esas periyodu \( 2\pi \), tanjant (grafik) ve kotanjant (grafik) fonksiyonlarının esas periyodu \( \pi \)'dir.

Sabit fonksiyonlar periyodik fonksiyon tanımını sağladıkları için periyodiktir, ancak her pozitif reel sayı birer periyodu olduğu için esas periyotları yoktur.

Ayrıca özel fonksiyonlar bölümünde göreceğimiz ondalık kısım fonksiyonu (grafik) da esas periyodu 1 olan bir periyodik fonksiyondur.

Periyodik Fonksiyonlarda Dönüşüm

Fonksiyon dönüşümleri konusunda detaylı göreceğimiz üzere, bir fonksiyonun tanımında belirli değişiklikler yaparak fonksiyon grafiğinde \( y \) ve \( x \) eksenleri boyunca şekil ve konum değişiklikleri yapılabilir.

Dikey dönüşümler (\( a \) ve \( k \) değerleri) fonksiyon grafiğinde \( y \) ekseni boyunca değişikliklere yol açtığı için periyodik bir fonksiyonun periyodunu değiştirmez.

Yatay öteleme dönüşümü (\( c \) değeri) fonksiyon grafiğinin şeklini değiştirmeden \( x \) ekseni boyunca konum değişikliğine yol açtığı için periyodik bir fonksiyonun periyodunu değiştirmez.

\( b \) katsayısının işaretini negatife çevirmek fonksiyon grafiğinin \( y \) eksenine göre yansımasını aldığı için periyodik bir fonksiyonun periyodunu değiştirmez.

\( b \) katsayısının mutlak değer olarak değerindeki değişiklikler ise fonksiyon grafiğinde \( x \) ekseni boyunca daralma/genişlemeye yol açar ve fonksiyonun esas periyodu bu sayı ile ters orantılı olarak değişir.

Yukarıda bahsettiğimiz dönüşümler periyodik bir fonksiyon olan sinüs fonksiyonuna uygulandığında fonksiyon grafiği aşağıdaki şekillerde değişim gösterir.

Periyodik Fonksiyonlar Arasında İşlemler

Periyodik \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının esas periyotları sırasıyla \( p \) ve \( q \) olsun. Bu iki fonksiyon arasındaki herhangi bir aritmetik işlem (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) sonucunda oluşan yeni fonksiyona \( h \) diyelim.

\( p \) ve \( q \) periyotlarının en küçük ortak katı (EKOK'u) tanımlı ise \( h \) fonksiyonu da periyodik bir fonksiyondur ve periyotlarından biri \( EKOK(p, q) \) olur. \( h \) fonksiyonunun esas periyodu ise bu EKOK değeri olabilir ya da bir tam sayı katı bu EKOK değeri olan daha küçük bir değer olabilir.

\( p \) ve \( q \) periyot değerlerinin EKOK'u tanımlı değilse \( h \) fonksiyonu burada detaylarına girmeyeceğimiz istisnai bazı fonksiyonlar dışında periyodik olmaz.

İki sayının EKOK'unun tanımlı olmadığı durum, sayıların birbirine oranının rasyonel sayı olmadığı durumdur. Örneğin aşağıdaki sayı ikililerinin EKOK'ları tanımlı değildir.

Aşağıdaki sayı ikililerinin ikisi de irrasyonel olsa da oranları rasyonel sayı olduğu için EKOK'ları tanımlıdır.

Periyodu \( T \) olan bir periyodik fonksiyonun pozitif tam sayı kuvvetleri de periyodiktir. Fonksiyonun tek sayı kuvvetlerinin periyodu yine \( T \) olurken çift sayı kuvvetlerinin periyodu fonksiyonun grafik özelliklerine göre \( T \) ya da \( \frac{T}{2} \) olabilir.

  • Sinüs, kosinüs, sekant ve kosekant fonksiyonlarının periyodu \( 2\pi \)'dir. Bu fonksiyonların tek sayı kuvvetlerinin periyodu yine \( 2\pi \) iken çift sayı kuvvetlerinin periyodu \( \pi \) olur.
  • Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu \( \pi \)'dir. Bu fonksiyonların hem tek hem çift sayı kuvvetlerinin periyodu yine \( \pi \) olur.
SORU 1:

\( f(x) \) fonksiyonunun periyodu 5, \( g(x) \) fonksiyonunun periyodu 6'dır.

\( f(48) = 2 \) ve \( g(49) = 3 \) olduğuna göre,

\( \dfrac{f(23) + g(19)}{(f \circ g)(1)} \) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 2:

Her \( x \in [-15, 15] \) için \( f(x) = \abs{3x} \)

Her \( x \in \mathbb{R} \) için \( f(x) = f(x + 30) \) olduğuna göre, \( f(257) \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:

Reel sayılarda tanımlı ve sabit fonksiyon olmayan \( f \) fonksiyonunun periyodu 6'dır.

Buna göre \( g(x) = f(\frac{3x + 4}{2}) + 1 \) fonksiyonunun periyodu kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( f(x) = 4\tan^5(2x + 1) - \sin^3(3x + 2) \) fonksiyonunun periyodu kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( f(x) = 3 + \tan^2(8x + 5) \)

\( g(x) = 5 + \cot^4(-4x + 2) \)

\( h(x) = \sin^6(-16x + 8) \)

olduğuna göre, \( f + g + h \) fonksiyonunun periyodu kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 6:

\( f \) ve \( g \) periyodik fonksiyonlardır.

\( f(4 - 3x) = g(x + 5) \)

\( f \) fonksiyonunun periyodu 6 olduğuna göre, \( g \) fonksiyonunun periyodu kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 7:

\( f(x) \) fonksiyonunun esas periyodu 5, \( g(x) \) fonksiyonunun esas periyodu 2'dir.

Buna göre \( h(x) = f(\frac{x}{3})g(x) + g(2x)f(x) \) fonksiyonunun periyodu kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 8:

\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

\( f(x) = \cos^k(kx) \) fonksiyonunun esas periyodu \( \frac{\pi}{4} \) olduğuna göre, \( k \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

« Önceki
Birebir Fonksiyon
Sonraki »
Bileşke Fonksiyon


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır