\( f: A \to B \) şeklindeki bir fonksiyon tanımında \( A \) tanım kümesi, \( B \) değer kümesidir. Tanım kümesi her bir elemanı değer kümesinin bir elemanı ile eşlenecek değerleri, değer kümesi de tanım kümesindeki elemanların eşlenebileceği değerleri içerir.
Tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesinde eşlendiği elemana bu elemanın \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü denir. Fonksiyon tanımı gereği tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde sadece bir görüntüsü olmak zorundadır.
Tanım kümesinin tüm elemanlarının görüntülerinin oluşturduğu kümeye fonksiyonun görüntü kümesi denir ve \( f(A) \) ile gösterilir.
Tanım kümesindeki elemanların görüntüleri değer kümesindeki tüm elemanları kapsıyorsa görüntü kümesi değer kümesine eşit olur (\( f(A) = B \)), aksi takdirde (değer kümesinde açıkta elemanlar kalıyorsa) görüntü kümesi değer kümesinin bir öz alt kümesi olur (\( f(A) \subset B \)).
Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki tüm noktaların \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümleri tanım kümesini, \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümleri de görüntü kümesini verir.
Tanım ve değer kümelerinin fonksiyon tanımında belirtilmediği durumlarda tanım kümesi fonksiyonun reel sayı sonuç verdiği en geniş aralık (örneğin polinom fonksiyonları için tüm reel sayılar, \( \sqrt{x} \) için negatif olmayan reel sayılar), değer kümesi de reel sayılar kümesi olarak kabul edilebilir.
Tanımsız Noktalar
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her eleman için bir değeri olması gerektiği için fonksiyonu tanımsız yapan \( x \) değerleri tanım kümesinin dışında tutulmalıdır. Bu tanımsızlık durumları aşağıdaki şekillerde olabilir.
Paydayı Sıfır Yapan Değerler
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan \( x \) değerleri ifadeyi tanımsız yapar.
İfade
Tanımsız Değerler
\( \dfrac{1}{x - 2} \)
Paydayı sıfır yapan \( x = 2 \) değerinde ifade tanımsız olur.
\( \dfrac{1}{x^2 - 5x + 6} \)
Paydayı sıfır yapan \( x \in \{ 2, 3 \} \) değerlerinde ifade tanımsız olur.
\( \dfrac{1}{x^2 - 4} + \dfrac{1}{x - 5} \)
Paydaları sıfır yapan \( x \in \{ -2, 2, 5 \} \) değerlerinde ifade tanımsız olur.
\( \dfrac{1}{\sin{x} - 1} \)
Paydayı sıfır yapan \( x \in \{\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) değerlerinde ifade tanımsız olur.
Çift Dereceli Köklü İfadeler
Derecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içi negatif olamayacağı için kök içini negatif yapan \( x \) değerleri ifadeyi tanımsız yapar.
İfade
Tanımsız Değerler
\( \sqrt{x} \)
Kök içini negatif yapan \( x \lt 0 \) aralığında ifade tanımsız olur.
\( \sqrt{x - 2} - \sqrt[4]{6 - x} \)
Kök içini negatif yapan \( x \lt 2 \) ve \( x \gt 6 \) aralıklarında ifade tanımsız olur.
\( \sqrt{(x - 1)(x - 4)} \)
Kök içini negatif yapan \( 1 \lt x \lt 4 \) aralığında ifade tanımsız olur.
Tanımsızlık İçeren Fonksiyonlar
Bir trigonometrik ya da logaritmik fonksiyonu tanımsız yapan \( x \) değerleri bu fonksiyonları içeren fonksiyonları da tanımsız yapar.
Fonksiyon
Tanımsız Değerler
\( \tan{x} \)
Fonksiyon içini \( \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \cot{x} \)
Fonksiyon içini \( \{k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \sec{x} \)
Fonksiyon içini \( \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \csc{x} \)
Fonksiyon içini \( \{k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \arcsin{x} \)
Fonksiyon içini \( [-1, 1] \) aralığı dışında bir değer yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \arccos{x} \)
Fonksiyon içini \( [-1, 1] \) aralığı dışında bir değer yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \arcsec{x} \)
Fonksiyon içini \( [-1, 1] \) aralığında bir değer yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \arccsc{x} \)
Fonksiyon içini \( [-1, 1] \) aralığında bir değer yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \log{x} \)
Logaritma içini sıfır ya da negatif yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \ln{x} \)
Logaritma içini sıfır ya da negatif yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
Görüntü Kümesinin Bulunması
Bir fonksiyonun grafiği verildiyse grafik üzerindeki tüm noktaların \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümlerinin oluşturduğu küme görüntü kümesini verir.
Bir fonksiyonun grafiği verilmediyse ancak fonksiyonun grafik ve görüntü kümesi özellikleri biliniyorsa bu özellikler yardımıyla görüntü kümesi bulunabilir.
Ters fonksiyon konusunda göreceğimiz üzere, bir \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi ters fonksiyonu olan \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi ile, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi de \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesi ile aynıdır. Buna göre bir fonksiyonun ters fonksiyonunu ve ters fonksiyonunun tanım kümesini bulduğumuzda fonksiyonun görüntü kümesini de bulmuş oluruz.
I. öncül: Fonksiyonun \( x = 0 \) noktasındaki değeri 2 değil 7'dir. Bu öncül doğrudur.
II. öncül: Fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsız olduğu için tanım kümesi \( [-3, 6) - \{4\} \) olur. Bu öncül yanlıştır.
III. öncül: Fonksiyon \( [-3, 7] \) aralığındaki tüm değerleri alır. Bu öncül doğrudur.
IV. öncül: Fonksiyonun belirtilen aralıkta tanımsız olduğu noktalar \( x = 4 \) ve \( x = 6 \)'dır. Fonksiyon \( x = 0 \) noktasında tanımlıdır ve değeri 7'dir. Bu öncül yanlıştır.
V. öncül: Fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsızdır. Bu öncül yanlıştır.
Buna göre parabolün \( x \in [2, 8] \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.
Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri \( B \) noktasındaki \( y = 3 \) değeri, en büyük değeri de tepe noktasındaki \( y = 11 \) değeridir.
Tanım kümesi 4 elemanlı olduğu için bu 4 eleman hiçbir zaman değer kümesindeki 5 elemanla eşlenemez, dolayısıyla görüntü kümesi 1, 2, 3 ya da 4 elemanlı olabilir.
5 elemanlı değer kümesinin elemanları içinden belirli sayıda eleman aşağıdaki şekillerde seçilebilir.
1 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 1) = 5 \)
2 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 2) = 10 \)
3 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 3) = 10 \)
4 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 4) = 5 \)
Buna göre görüntü kümesi \( 5 + 10 + 10 + 5 = 30 \) farklı şekilde olabilir.
I. öncül: \( y = -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir ve görüntü kümesi \( [-3 , +\infty) \) aralığıdır. Bu öncül doğrudur.
II. öncül: \( 2f(x) \) fonksiyonunda grafik üzerindeki tüm noktalar \( x \) ekseninden iki kat uzaklaşır ve görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) olur. Bu öncül doğrudur.
III. öncül: \( f^2(x) \) fonksiyonunda ordinat değeri 0 ya da pozitif olan noktaların ordinat değerlerinin karesi alınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, 9] \) olur. Ordinat değeri negatif olan noktalar ise eksenin pozitif tarafına taşınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, +\infty] \) olur. Sonuç olarak fonksiyonun görüntü kümesi \( [0, +\infty] \) olur. Bu öncül yanlıştır.
Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için tanımsız olduğu bir nokta yoktur, dolayısıyla payda hiçbir \( x \) değeri için sıfır olmamalıdır.
Paydadaki \( x \)'in katsayısı sıfırdan farklı olduğunda paydayı sıfır yapan bir \( x \) değeri mutlaka olacağı için \( x \)'in katsayısı sıfır olmalıdır.
Derecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içini negatif yapan ve rasyonel bir ifadenin paydasını sıfır yapan \( x \) değerleri fonksiyonu tanımsız yapar.
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Paydaki köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( 25 - x^2 \ge 0 \)
\( x^2 \le 25 \)
\( -5 \le x \le 5 \)
Paydadaki köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( x - 4 \ge 0 \)
\( x \ge 4 \)
Paydadaki köklü ifadenin içi sıfır olamaz.
\( x \ne 4 \)
Yukarıda bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( f \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( x \in (4, 5] \)
\( g \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( \dfrac{25 - x^2}{x - 4} \ge 0 \)
Bu eşitsizliği çözmek için işaret tablosu yapalım.
Buna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki aralıktır.
\( x \in (-\infty, -5] \cup (4, 5] \)
Paydadaki köklü ifadenin içi sıfır olamaz.
\( x \ne 4 \)
Bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( g \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Fonksiyonun tanımsız olduğu bir değer olmadığı için en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
\( 2^{2x - x^2} \) ifadesi tabanı 1'den büyük olan bir üstel fonksiyondur ve grafiğini düşündüğümüzde fonksiyon en küçük değerini üssünün en küçük değerinde, en büyük değerini üssünün en büyük değerinde alır.
\( 2x - x^2 \) ifadesi bir paraboldür ve başkatsayısı negatif olduğu için en küçük değeri \( -\infty \) olur, en büyük değerini de tepe noktasında alır.
\( T(r, k) \) parabolün tepe noktası olmak üzere,
\( a = -1, \quad b = 2, \quad c = 0 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{-2} = 1 \)
Buna göre \( x = 1 \) noktasında \( 2x - x^2 \) parabolü, dolayısıyla \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi ve \( f(x) \) en büyük değerini alır.
\( f(1) = 3 + 2^{2 \cdot 1 - 1^2} = 5 \)
Fonksiyonun en küçük değerini bulalım.
\( 2x - x^2 \) ifadesi negatif sonsuza giderken \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi 0'a yaklaşır, ama 0 değerini almaz. \( f(x) \) de bu durumda sabit terim olan 3'e yaklaşır, ama 3 değerini almaz.
Buna göre fonksiyonun en geniş görüntü kümesi \( (3, 5] \) olur.
İlk iki terim tam kare ifadeler olduğu için negatif olamazlar. \( x = 0 \) olduğunda iki ifadenin de içi sıfır olduğu için bu iki ifade ayrı ayrı sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olur.
Ayrıca \( x \) pozitif sonsuza giderken iki ifade de ayrı ayrı pozitif sonsuza gider.
\( f(x) = 3\sqrt{4 - x^2} \) fonksiyonun reel sayılardaki en geniş tanım kümesi \( A \) ve görüntü kümesi \( B \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
Derecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
\( 4 - x^2 \ge 0 \)
\( (2 - x)(2 + x) \ge 0 \)
\( x \in [-2, 2] \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( A = [-2, 2] \) olur. I. öncül doğrudur.
Kök içindeki ifade negatif başkatsayılı bir paraboldür ve kolları aşağı yönlüdür. Bu parabolün alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmak için tepe noktasındaki ve tanım kümesinin sınır değerlerindeki fonksiyon değerlerini bulalım.
Denklemi \( y = 4 - x^2 \) olan parabolün tepe noktasının apsis değeri \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{-2} = 0 \) olur.
\( f(0) = 3\sqrt{4 - 0^2} = 6 \)
\( f(-2) = 3\sqrt{4 - (-2)^2} = 0 \)
\( f(2) = 3\sqrt{4 - 2^2} = 0 \)
Buna göre fonksiyonun tanım aralığında aldığı en küçük ve en büyük değerler \( 0 \) ve \( 6 \)'dır, dolayısıyla görüntü kümesi \( B = [0, 6] \) olur. II. öncül doğrudur.
Tanım ve görüntü kümelerinin kesişimi \( A \cap B = [0, 2] \) aralığıdır. III. öncül yanlıştır.