Bir \( f: A \to B \) fonksiyonunun girdisini temsil eden \( A \) kümesine fonksiyonun tanım kümesi, çıktısını temsil eden \( B \) kümesine de fonksiyonun değer kümesi denir.
Fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri ile eşlediği \( y = f(x) \) değerine \( x \)'in \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü denir. \( A \) tanım kümesinin tüm elemanlarının görüntülerinin oluşturduğu kümeye fonksiyonun görüntü kümesi denir ve \( f(A) \) ile gösterilir. Görüntü kümesi değer kümesinin bir alt kümesidir.
Fonksiyon tanımı gereği tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü olmak zorundadır.
Bir fonksiyonun tanım ve değer kümeleri o fonksiyon tanımının ayrılmaz birer parçasıdır. Aşağıdaki örnekte verilen denklem, reel sayılardan reel sayılara, tam sayılardan tam sayılara, pozitif tam sayılardan pozitif tam sayılara ya da herhangi iki küme arasında tanımlanabilir ve bunların her biri ayrı birer fonksiyon olur.
Bir fonksiyonun girdisini oluşturan \( x \) değerlerinin oluşturduğu küme tanım kümesini, çıktısını oluşturan \( f(x) \) değerlerinin oluşturduğu küme de görüntü kümesini teşkil eder.
Bir fonksiyonun grafiği üzerinde de tanım ve görüntü kümelerini aşağıdaki şekilde gösterebiliriz. Buna göre, fonksiyon grafiği üzerindeki tüm noktaların \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümleri bize tanım kümesini, \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümleri de görüntü kümesini verir.
SORU:
\( f = \{ (1, b), (2, b), (3, c), (4, a) \} \) olmak üzere \( f \) fonksiyonu ile ilgili aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. Tanım kümesi \( \{ 1, 2, 3, 4 \} \)'tür.
II. Görüntü kümesi \( \{ a, b, c \} \)'dir.
III. Değer kümesi \( \{ a, b, c, d, e \} \) olabilir.
Çözümü Göster
Fonksiyon tanımındaki sıralı ikililerin birinci bileşenlerinin oluşturduğu küme tanım kümesini verir. I. öncül doğrudur.
Fonksiyon tanımındaki sıralı ikililerin ikinci bileşenlerinin oluşturduğu küme görüntü kümesini verir. II. öncül doğrudur.
Değer kümesinin görüntü kümesini kapsayan bir küme olması yeterlidir, içinde başka elemanlar olabilir ya da olmayabilir. III. öncül doğrudur.
Buna göre tüm öncüller doğrudur.
SORU:
\( A = \{ -1, 2, 4 \} \)
\( f : A \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = x^2 + x - 1 \) olduğuna göre fonksiyonun görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster
Görüntü kümesini bulmak için tanım kümesindeki elemanları sırayla fonksiyonda yerine koyup her birinin görüntüsünü buluruz.
\( f(-1) = (-1)^2 + (-1) - 1 = -1 \)
\( f(2) = 2^2 + 2 - 1 = 5 \)
\( f(4) = 4^2 + 4 - 1 = 19 \)
Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdaki gibidir.
\( f(A) = \{ -1, 5, 19 \} \)
SORU:
\( f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{4x - 8}}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü Göster
Köklü ifadenin içi negatif olamayacağı için kök içini negatif yapan \( x \) değerleri tanım kümesinde yer alamaz.
\( 4x - 8 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 2 \)
İfadenin paydası 0 olmayacağı için paydayı sıfır yapan \( x \) değerleri de tanım kümesinde yer alamaz.
\( 4x - 8 \ne 0 \Longrightarrow x \ne 2 \)
Bu iki koşulu sağlayan tüm reel sayılar fonksiyonun en geniş tanım kümesini oluşturur.
Tanım kümesi \( = (2, +\infty) \)
SORU:
\( f(x) = 2x^2 + 2 \) fonksiyonunun tanım aralığı \( (-1, 4] \) olduğuna göre görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster
Bir parabol olan bu fonksiyonun başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı bakar ve en geniş tanım aralığında en küçük değerini tepe noktasında alır.
\( T(r, k) \) parabolün tepe noktası olmak üzere,
\( a = 2, \quad b = 0, \quad c = 2 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = 0 \)
\( x = 0 \) noktası fonksiyonun verilen \( (-1, 4] \) tanım aralığında olduğu için fonksiyon en küçük değerini bu noktada alır.
\( f(0) = 2 \cdot 0^2 + 2 = 2 \)
Fonksiyonun en büyük değerini bulmak için tanım aralığının sınır değerlerindeki fonksiyon değerlerini bulalım.
\( f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 2 = 4 \)
\( f(4) = 2 \cdot 4^2 + 2 = 34 \)
Fonksiyonun en büyük değerini aldığı \( x = 4 \) noktası tanım aralığına dahil olduğu için bu noktadaki fonksiyon değeri de görüntü kümesine dahil olur.
Buna göre görüntü kümesi \( [2, 34] \) olur.
SORU:
\( f(x) = 3^{2 - x} + 5 \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster
Fonksiyonun tanımsız olduğu bir değer olmadığı için en geniş tanım aralığı tüm reel sayılardır.
\( 3^{2 - x} \) ifadesi bir üstel fonksiyondur ve grafiğini düşündüğümüzde fonksiyon en küçük değerini üssünün en küçük değerinde, en büyük değerini de üssünün en büyük değerinde alır.
\( 3^{2 - x} \) ifadesinin üssü olan \( 2 - x \) ifadesi bir doğrusal fonksiyondur ve en küçük değeri \( -\infty \), en büyük değeri \( +\infty \)'dur.
\( 2 - x \) ifadesi \( +\infty \)'a giderken \( 3^{2 - x} \) ifadesi 0'a yaklaşır, ama 0 değerini almaz. Bu durumda fonksiyon değeri sabit terim olan 5 değerine yaklaşır, ama 5 değerini almaz.
\( 2 - x \) ifadesi \( -\infty \)'a giderken \( 3^{2 - x} \) ifadesi ve \( f(x) \) değeri \( +\infty \)'a gider.
Bu durumda fonksiyonun en geniş görüntü kümesi \( (5, +\infty) \) olur.
SORU:
\( f(x) = 3 + 2^{2x - x^2} \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster
Fonksiyonun tanımsız olduğu bir değer olmadığı için en geniş tanım aralığı tüm reel sayılardır.
\( 2^{2x - x^2} \) ifadesi bir üstel fonksiyondur ve grafiğini düşündüğümüzde fonksiyon en küçük değerini üssünün en küçük değerinde, en büyük değerini de üssünün en büyük değerinde alır.
\( 2^{2x - x^2} \) ifadesinin üssü olan \( 2x - x^2 \) ifadesi bir paraboldür ve başkatsayısı negatif olduğu için en küçük değeri \( -\infty \) olur ve en büyük değerini tepe noktasında alır.
\( T(r, k) \) parabolün tepe noktası olmak üzere,
\( a = -1, \quad b = 2, \quad c = 0 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{-2} = 1 \)
Buna göre \( x = 1 \) noktasında \( 2x - x^2 \) parabolü, dolayısıyla \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi ve \( f(x) \) en büyük değerini alır. Bu noktadaki fonksiyon değerini bulalım.
\( f(1) = 3 + 2^{2 \cdot 1 - 1^2} = 5 \)
Fonksiyonun en küçük değerini bulmak için, \( 2x - x^2 \) ifadesinin değeri negatif sonsuza giderken \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi 0'a yaklaşır, ama 0 değerini almaz. \( f(x) \) de bu durumda sabit terimin değeri olan 3'e yaklaşır, ama 3 değerini almaz.
Buna göre fonksiyonun en geniş görüntü kümesi \( (3, 5] \) olur.
SORU:
\( f(x) = \dfrac{3x + 1}{\abs{x + 1} - 2} \) fonksiyonun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü Göster
Verilen rasyonel fonksiyon paydasını sıfır yapan değerler hariç tüm reel sayılarda tanıımlıdır.
Buna göre paydayı sıfır yapan değer(ler)i bulalım.
\( \abs{x + 1} - 2 = 0 \)
\( x + 1 = 2 \) veya \( x + 1 = -2 \)
\( x = 1 \) veya \( x = -3 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
\( x \in \mathbb{R} - \{-3, 1\} \)
SORU:
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3} + \sqrt{7 - x}}{x^2 - 9x + 20} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Köklü ifadelerin kök içi negatif olamaz.
\( x - 3 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 3 \)
\( 7 - x \ge 0 \Longrightarrow x \le 7 \)
\( 3 \le x \le 7 \)
Ayrıca bir rasyonel ifadede payda 0 olamaz.
\( x^2 - 9x + 20 \ne 0 \)
\( (x - 4)(x - 5) \ne 0 \)
\( x \ne 4 \) ve \( x \ne 5 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayı değerleri \( \{ 3, 6, 7 \} \) olur.
\( 3 + 6 + 7 = 16 \)
SORU:
\( f: A \to B \), \( f(A) = \{ -1, 5, 11 \} \) ve \( f(x) = 3x + 5 \) olduğuna göre \( A \) kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Görüntü kümesindeki her eleman için \( A \) kümesinde bu elemanla eşleşen elemanı bulalım.
\( 3x + 5 = -1 \Longrightarrow x = -2 \)
\( 3x + 5 = 5 \Longrightarrow x = 0 \)
\( 3x + 5 = 11 \Longrightarrow x = 2 \)
Buna göre \( A \) kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( A = \{ -2, 0, 2 \} \)
Buna göre \( A \) kümesinin elemanları toplamı \( -2 + 0 + 2 = 0 \) olur.
SORU:
\( f(x) = 4x^2 - 5 \) fonksiyonunun tanım kümesi \( A = (-1, 4] \) olduğuna göre \( f(A) \) kümesi nedir?
Çözümü Göster
Fonksiyon kolları yukarı yönlü olan bir paraboldür.
Tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( r = -\dfrac{b}{2a} = 0 \)
\( k = 4(0)^2 - 5 = -5 \)
\( x = 0 \) noktası tanım aralığında bulunduğu için fonksiyonun en küçük değeri \( f(0) = -5 \) olur.
En büyük değer için fonksiyonun tanım aralığının sınır değerlerine bakmamız gerekir. Parabol tepe noktasından geçen simetri eksenine göre simetriktir ve tepe noktasının apsisinden daha uzak \( x \) değerleri için daha büyük değerler alır.
\( f(4) \gt f(-1) \)
\( f(4) = 4(4)^2 - 5 = 59 \)
4 değeri tanım kümesine dahil olduğu için 59 değeri de görüntü kümesine dahildir.
Buna göre \( f \) kümesinin görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Görüntü kümesi \( = [-5, 59] \)
SORU:
\( f(x) = \sqrt{3 - |x + 1|} \) olduğuna göre, \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç tam sayı eleman vardır?
Çözümü Göster
Bir karekök ifadesinin içi negatif değer alamaz.
\( 3 - |x + 1| \ge 0 \)
\( |x + 1| \le 3 \)
\( -3 \le x + 1 \le 3 \)
\( -4 \le x \le 2 \)
Buna göre \( A \) kümesindeki tam sayı eleman sayısı \( 2 - (-4) + 1 = 7 \) olur.
SORU:
\( f: (-2, 4] \to \mathbb{R} \) ve \( f(x) = \dfrac{4x + 1}{2} \) olduğuna göre fonksiyonun görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Fonksiyon doğrusal olduğu için tanım kümesinin uç değerlerini fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesinin uç değerlerini bulabiliriz.
\( \dfrac{4(-2) + 1}{2} = -\dfrac{7}{2} \)
\( \dfrac{4(4) + 1}{2} = \dfrac{17}{2} \)
Görüntü kümesi: \( [-\frac{7}{2}, \frac{17}{2}) \)
Buna göre görüntü kümesindeki tam sayılar aşağıdaki gibi olur.
\( \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \)
Bu sayıların toplamı \( 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 \) olur.
SORU:
\( f(x) = \sqrt{6 - \sqrt{x}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç farklı tam sayı vardır?
Çözümü Göster
Karekök ifadelerinin içi negatif değer alamaz.
İçteki karekök ifadesi için (\( \sqrt{x} \)):
\( x \ge 0 \)
Dıştaki karekök ifadesi için (\( 6 - \sqrt{x} \)):
\( 6 - \sqrt{x} \ge 0 \)
\( \sqrt{x} \le 6 \)
\( x \le 36 \)
Yukarıdaki iki aralığın kesişimini alalım.
\( 0 \le x \le 36 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım aralığında \( 36 - 0 + 1 = 37 \) farklı tam sayı vardır.
SORU:
\( f(x) = 2^{1 - x} + 2 \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster
Üstel fonksiyonların en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
\( x \) pozitif sonsuza giderken \( 1 - x \) ifadesi negatif sonsuza gider, \( 2^{1 - x} \) ifadesi de 0'a yaklaşır. Bu durumda \( 2^{2 - x} + 2 \) ifadesi 2'ye yaklaşır ama 2 değerini almaz.
\( x \) negatif sonsuza giderken \( 1 - x \) ve \( 2^{1 - x} \) ifadeleri de pozitif sonsuza gider.
Buna göre \( f \) kümesinin en geniş görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Görüntü kümesi \( = (2, \infty) \)
SORU:
\( f(x) = 6 - \sqrt{x - 5} \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster
Karekök içindeki ifadenin alabileceği en küçük değer 0 olduğu için fonksiyonun en büyük değeri 6'dır.
Karekök içindeki ifadenin alabileceği en büyük değer pozitif sonsuz olduğu için fonksiyonun en küçük değeri negatif sonsuzdur.
Buna göre fonksiyonun en geniş görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Görüntü kümesi \( = (- \infty, 6] \)
SORU:
\( f(x) = \dfrac{2xf(x) + 3x + 1}{3x - 2} \) olduğuna göre \( f(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( f(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( f(x)(3x - 2) = 2xf(x) + 3x + 1 \)
\( 3xf(x) - 2f(x) = 2xf(x) + 3x + 1 \)
\( f(x)(x - 2) = 3x + 1 \)
\( f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2} \)
\( f \) bir rasyonel fonksiyondur ve en geniş tanım kümesi paydayı 0 yapan değerler hariç tüm reel sayılardır.
Buna göre \( f \) kümesinin en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Tanım kümesi \( = \mathbb{R} - \{ 2 \} \)
SORU:
\( f(x) = \dfrac{2x + 6}{x^2 - 2x - 8} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü Göster
\( f \) bir rasyonel fonksiyondur ve en geniş tanım kümesi paydayı 0 yapan değerler hariç tüm reel sayılardır.
\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)
\( (x + 2)(x - 4) = 0 \)
Buna göre fonksiyon -2 ve 4 değerlerinde tanımsızdır ve en geniş tanım kümesi bu iki değer hariç tüm reel sayılar olur.
Tanım kümesi \( = \mathbb{R} - \{ -2, 4 \} \)
SORU:
\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x - 21} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü Göster
Kareköklü bir ifadenin içi negatif olamaz.
\( x^2 + 4x - 21 \ge 0 \)
\( (x + 7)(x - 3) \ge 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-\infty, -7] \cup [3, \infty) \) aralığıdır.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Tanım kümesi \( = (-\infty, -7] \cup [3, \infty) \)
