Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi

Tanım kümesindeki elemanların görüntüsünü bularak \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.

\( f(4) = 3(4) - 2 = 10 \)

\( f(5) = 3(5) - 2 = 13 \)

\( f(7) = 3(7) - 2 = 19 \)

\( f(8) = 3(8) - 2 = 22 \)

\( f(A) = \{10, 13, 19, 22\} \) olarak bulunur.

\( f(A) \) fonksiyonun görüntü kümesidir.

Bu görüntü değerlerini veren tanım kümesindeki \( x \) değerlerini bulalım.

\( \dfrac{x - 2}{2} = 2 \Longrightarrow x = 6 \)

\( \dfrac{x - 2}{2} = 4 \Longrightarrow x = 10 \)

\( \dfrac{x - 2}{2} = 6 \Longrightarrow x = 14 \)

\( A = \{ 6, 10, 14 \} \) olarak bulunur.

I. öncül:

Fonksiyonun \( x = 0 \) noktasındaki değeri 2 değil 7'dir.

Bu öncül doğrudur.

II. öncül:

Fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsız olduğu için tanım kümesi \( [-3, 6) - \{4\} \) olur.

Bu öncül yanlıştır.

III. öncül:

Fonksiyon \( [-3, 7] \) aralığındaki tüm değerleri alır.

Bu öncül doğrudur.

IV. öncül:

Fonksiyonun belirtilen aralıkta tanımsız olduğu noktalar \( x = 4 \) ve \( x = 6 \)'dır. Fonksiyon \( x = 0 \) noktasında tanımlıdır ve değeri 7'dir.

Bu öncül yanlıştır.

V. öncül:

Fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsızdır.

Bu öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.

Fonksiyonun elemanı olan ikililerdeki birinci bileşenler tanım kümesini oluşturur. Buna göre \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{ 1, 2, 3, 4 \} \) olur.

Fonksiyonun elemanı olan ikililerdeki ikinci bileşenler görüntü kümesini oluşturur. Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( \{ 1, 2, 4 \} \) olur.

Değer kümesi görüntü kümesini kapsayan herhangi bir küme olabilir. \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) görüntü kümesini kapsadığı için fonksiyonun değer kümesi olabilir.

Buna göre sadece değer kümesi \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olabilir.

Bir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.

Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.

\( \abs{x + 1} - 2 = 0 \)

\( \abs{x + 1} = 2 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x + 1 = 2 \)

\( x = 1 \)

Durum 2:

\( x + 1 = -2 \)

\( x = -3 \)

Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.

Tanım kümesi: \( \mathbb{R} - \{-3, 1\} \)

Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.

\( x^2 + 4x - 21 \ge 0 \)

\( (x + 7)(x - 3) \ge 0 \)

Bu eşitsizliği çözüm kümesi \( (-\infty, -7] \cup [3, \infty) \) aralığıdır.

Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.

Tanım kümesi \( = (-\infty, -7] \cup [3, \infty) \)

Bir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.

Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)

\( (x + 2)(x - 4) = 0 \)

Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.

Tanım kümesi \( = \mathbb{R} - \{ -2, 4 \} \)

Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.

\( x - 3 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 3 \)

\( 7 - x \ge 0 \Longrightarrow x \le 7 \)

\( 3 \le x \le 7 \)

Bir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.

\( x^2 - 9x + 20 \ne 0 \)

\( (x - 4)(x - 5) \ne 0 \)

\( x \ne 4 \) ve \( x \ne 5 \)

Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayı değerleri \( \{ 3, 6, 7 \} \) olur.

\( 3 + 6 + 7 = 16 \) bulunur.

Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.

\( 3 - \abs{x + 1} \ge 0 \)

\( \abs{x + 1} \le 3 \)

\( -3 \le x + 1 \le 3 \)

\( -4 \le x \le 2 \)

Buna göre fonksiyonun en geniş tanım aralığında \( 2 - (-4) + 1 = 7 \) tam sayı eleman vardır.

Parabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür.

\( f(x) = (x - r)^2 + k \) formundaki bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) noktasıdır.

Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(3, 2) \) olur.

\( x = 1 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

\( f(1) = (1 - 3)^2 + 2 = 6 \)

Buna göre parabolün \( x \in [1, \infty) \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.

Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri tepe noktasındaki \( y = 2 \) değeridir, ayrıca parabol \( x \) sonsuza giderken pozitif sonsuza gider.

Görüntü kümesi: \( f(x) \in [2, \infty) \)

Parabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{4}{2(-\frac{1}{2})} = 4 \)

\( k = f(4) \)

\( = -\dfrac{1}{2}(4)^2 + 4(4) + 3 = 11 \)

Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(4, 11) \) olur.

Fonksiyonun tanım kümesinin uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2)^2 + 4(2) + 3 = 9 \)

\( f(8) = -\dfrac{1}{2}(8)^2 + 4(8) + 3 = 3 \)

Buna göre parabolün \( x \in [2, 8] \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.

Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri \( B \) noktasındaki \( y = 3 \) değeri, en büyük değeri tepe noktasındaki \( y = 11 \) değeridir.

Görüntü kümesi: \( f(x) \in [3, 11] \)

Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.

\( 4x - 8 \ge 0 \)

\( x \ge 2 \)

Bir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.

\( \sqrt{4x - 8} - 2 \ne 0 \)

\( \sqrt{4x - 8} \ne 2 \)

\( 4x - 8 \ne 4 \)

\( x \ne 3 \)

Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.

Tanım kümesi: \( [2, \infty) - \{3\} \)

\( f(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( f(x)(3x - 2) = 2xf(x) + 3x + 1 \)

\( 3xf(x) - 2f(x) = 2xf(x) + 3x + 1 \)

\( xf(x) - 2f(x) = 2xf(x) + 3x + 1 \)

\( f(x)(x - 2) = 3x + 1 \)

\( f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2} \)

Bu rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x = 2 \) değerinde tanımsızdır.

Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.

Tanım kümesi \( = \mathbb{R} - \{ 2 \} \)

Fonksiyonu tanımsız yapan bir ifade olmadığı için fonksiyonun en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.

\( 3^{2 - x} = (\dfrac{1}{3})^{x - 2} \)

\( = (\dfrac{1}{3})^x \cdot (\dfrac{1}{3})^{-2} = 9 \cdot (\dfrac{1}{3})^x \)

\( (\frac{1}{3})^x \) ifadesi bir üstel fonksiyondur ve grafiğini düşündüğümüzde görüntü kümesi tüm pozitif reel sayılardır.

Bu aralığa sabit terim olarak 5 eklediğimizde görüntü kümesi aşağıdaki gibi olur.

Görüntü kümesi: \( f(x) \in (5, \infty) \)

Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.

İçteki karekök ifadesi için:

\( x \ge 0 \)

Dıştaki karekök ifadesi için:

\( 6 - \sqrt{x} \ge 0 \)

\( \sqrt{x} \le 6 \)

\( 0 \le x \le 36 \)

Bu iki aralığın kesişim kümesi \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesidir.

\( 0 \le x \le 36 \)

Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesinde \( 36 - 0 + 1 = 37 \) tam sayı eleman vardır.

Fonksiyonu düzenleyelim.

\( f(x) = 2x + \dfrac{1}{2} \)

Fonksiyon bir doğru olduğu için tanım kümesinin sınır değerlerini fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesinin sınır değerlerini bulabiliriz.

\( \dfrac{4(-2) + 1}{2} = -\dfrac{7}{2} \)

\( \dfrac{4(4) + 1}{2} = \dfrac{17}{2} \)

Görüntü kümesi: \( (-\frac{7}{2}, \frac{17}{2}] \)

Fonksiyon sürekli olduğu için bu aralıktaki her reel sayı değeri alır.

Buna göre görüntü kümesindeki tam sayı değerler aşağıdaki gibidir.

\( \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \)

Bu sayıların toplamı \( 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 \) olur.

Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için tanımsız olduğu bir nokta yoktur, dolayısıyla payda hiçbir \( x \) değeri için sıfır olmamalıdır.

Paydadaki \( x \)'in katsayısı sıfırdan farklı olduğunda paydayı sıfır yapan bir \( x \) değeri mutlaka olur, dolayısıyla \( x \)'in katsayısı sıfır olmalıdır.

\( 2a + 2 = 0 \Longrightarrow a = -1 \)

Fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = \dfrac{9x - 3}{2} \)

\( f(a) = f(-1) = \dfrac{9(-1) - 3}{2} = -6 \) bulunur.

\( (-\infty, 0) \) aralığı tüm negatif reel sayılara karşılık gelir.

I. öncül:

\( x \) negatif olduğunda \( x^3 \) negatif, \( -3x^3 \) pozitif olur.

\( \sqrt{-3x^3} \) ifadesi karekök içindeki sayı pozitif olduğu için negatif reel sayılarda tanımlı olur.

II. öncül:

\( x \) negatif olduğunda \( x^2 \) pozitif, \( -3x^2 \) negatif olur.

\( \sqrt{-3x^2} \) ifadesi karekök içindeki sayı negatif olduğu için negatif reel sayılarda tanımlı olmaz.

III. öncül:

Küpkök fonksiyonu kök içinin pozitif ya da negatif tüm reel sayı değerlerinde tanımlı olur.

IV. öncül:

\( x \) negatif olduğunda \( 3x \) negatif olur.

\( \sqrt{3x} \) ifadesi karekök içindeki sayı negatif olduğu için negatif reel sayılarda tanımlı olmaz.

Buna göre I. ve III. öncüllerdeki fonksiyonlar belirtilen tanım ve ve değer kümesi için tanımlı olabilir.

Bir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.

Fonsiyonu üslerden kurtaralım.

\( f(x) = (x - \dfrac{16}{x})^{-1} \)

\( = \dfrac{1}{x - \frac{16}{x}} \)

Bu ifade \( \frac{16}{x} \) ifadesinin paydasını sıfır yapan \( x = 0 \) değerinde tanımsızdır.

\( = \dfrac{1}{\frac{x^2 - 16}{x}} \)

\( = \dfrac{x}{(x - 4)(x + 4)} \)

Bu rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x = -4 \) ve \( x = 4 \) değerlerinde tanımsızdır.

Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.

Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \{ -4, 0, 4 \} \) bulunur.

Fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulalım.

Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.

\( 4 - x^2 \ge 0 \)

\( (2 - x)(2 + x) \ge 0 \)

\( x \in [-2, 2] \)

Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.

Tanım kümesi: \( x \in [-2, 2] \)

Kök içindeki ifade negatif başkatsayılı bir paraboldür ve kolları aşağı yönlüdür. Bu parabolün alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmak için tepe noktasındaki ve tanım kümesinin uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulalım.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2(-1)} = 0 \)

\( f(0) = 3\sqrt{4 - 0^2} = 6 \)

\( f(-2) = 3\sqrt{4 - (-2)^2} = 0 \)

\( f(2) = 3\sqrt{4 - 2^2} = 0 \)

Buna göre parabolün \( [-2, 2] \) aralığında aldığı en küçük ve en büyük değerler sırasıyla \( 0 \) ve \( 6 \)'dır.

Parabol sürekli bir fonksiyon olduğu için bulduğumuz en küçük ve en büyük değerler arasındaki tüm değerleri alır.

Görüntü kümesi: \( f(x) \in [0, 6] \)

\( f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (- \infty, 3] \) aralığıdır.

I. öncül:

\( y = -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir ve görüntü kümesi \( [-3 , \infty) \) aralığıdır.

Bu öncül doğrudur.

II. öncül:

\( 2f(x) \) fonksiyonunda grafik üzerindeki tüm noktalar \( x \) ekseninden iki kat uzaklaşır ve görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) olur.

Bu öncül doğrudur.

III. öncül:

\( f^2(x) \) fonksiyonunda ordinat değeri 0 ya da pozitif olan noktaların ordinat değerlerinin karesi alınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, 9] \) olur. Ordinat değeri negatif olan noktalar ise eksenin pozitif tarafına taşınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, \infty] \) olur. Sonuç olarak fonksiyonun görüntü kümesi \( [0, \infty] \) olur.

Bu öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve II öncüller doğrudur.

Karekök içindeki ifadeyi tam kareye tamamlamak için 16 ekleyip çıkaralım.

\( f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 25} \)

\( = \sqrt{x^2 - 8x + 16 - 16 + 25} \)

\( = (x - 4)^2 + 9 \)

\( (x - 4)^2 \) ifadesi negatif olamayacağı için \( (x - 4)^2 + 9 \) ifadesi de negatif olamaz, dolayısıyla fonksiyonu tanımsız yapan bir \( x \) değeri yoktur.

Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.

Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)

Alternatif olarak, karekök içindeki ifadenin deltasının negatif olduğunu göstererek de aynı sonuca varabiliriz (pozitif başkatsayılı ve negatif deltalı bir parabolün grafiği \( x \) ekseninin üstünde kalır ve her \( x \) için pozitif değer alır.).

Görüntü kümesini bulmak için verilen ifadeyi inceleyelim.

\( (x - 4)^2 + 9 \) parabolünün tepe noktası \( T(4, 9) \) noktasıdır ve kolları yukarı yönlüdür, buna göre görüntü kümesi aşağıdaki aralıkta olur.

\( 9 \le (x - 4)^2 + 9 \lt \infty \)

Eşitsizliğin taraflarının karekökünü aldığımızda \( f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesini elde ederiz.

\( 3 \le \sqrt{(x - 4)^2 + 9} \lt \infty \)

\( 3 \le f(x) \lt \infty \)

Görüntü kümesi: \( f(x) \in [3, \infty) \)

En dıştaki köklü ifadeden en içtekine doğru adım adım ilerleyerek fonksiyonun tanım kümesini bulalım.

Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.

\( 2 - \sqrt{1 + \sqrt{x^2 -6x + 9}} \ge 0 \)

\( \sqrt{1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}} \le 2 \)

Kök işaretinden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım. Ayrıca karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi negatif olamaz.

\( 0 \le 1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 4 \)

\( -1 \le \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 3 \)

Reel değerli bir karekök ifadesinin sonucu negatif olamayacağı için eşitsizliğin alt sınırını sıfır yapabiliriz.

\( 0 \le \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 3 \)

\( 0 \le \sqrt{(x - 3)^2} \le 3 \)

Karekök ifadesi mutlak değerin tanımıdır.

\( 0 \le \abs{x - 3} \le 3 \)

\( -3 \le x - 3 \le 3 \)

\( 0 \le x \le 6 \)

Tanım kümesi: \( x \in [0, 6] \)

Bir rasyonel ifade paydasını sıfır yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.

Ayrıca bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.

(a) seçeneği:

\( f(x) = \dfrac{\sqrt{25 - x^2}}{\sqrt{x - 4}} \)

Paydaki karekök ifadesinin içi negatif olamaz.

\( 25 - x^2 \ge 0 \)

\( x^2 \le 25 \)

\( -5 \le x \le 5 \)

Paydadaki karekök ifadesinin içi sıfır ya da negatif olamaz.

\( x - 4 \gt 0 \)

\( x \gt 4 \)

Bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini verir.

Tanım kümesi: \( x \in (4, 5] \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = \sqrt{\dfrac{25 - x^2}{x - 4}} \)

Karekök ifadesinin içi negatif olamaz.

\( \dfrac{25 - x^2}{x - 4} \ge 0 \)

\( \dfrac{(5 - x)(5 + x)}{x - 4} \ge 0 \)

Bu eşitsizliği çözmek için bir işaret tablosu hazırlayalım.

Buna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki aralıktır.

\( x \in (-\infty, -5] \cup (4, 5] \)

Tanım kümesi: \( x \in (-\infty, -5] \cup (4, 5] \)

\( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( f(A) \) kümesinin elemanları olabilecek değerleri bulalım.

\( x^2 - 5 = 4 \Longrightarrow x \in \{-3, 3\} \)

Hem -3 hem de 3'ün görüntüsü 4 olduğu için, tanım kümesi bu iki değerden en az birini içermelidir.

\( x^2 - 5 = 11 \Longrightarrow x \in \{-4, 4\} \)

Benzer şekilde, tanım kümesi bu iki değerden en az birini içermelidir.

\( x^2 - 5 = 20 \Longrightarrow x \in \{-5, 5\} \)

Benzer şekilde, tanım kümesi bu iki değerden en az birini içermelidir.

Buna göre tanım kümesi 3, 4, 5 ya da 6 elemanlı olabilir.

Seçeneklerden hangisinin tanım kümesindeki elemanların toplamı olabileceğini bulalım.

(a) \( A = \{-3, 3, -4, 4, -5, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 0 olur.

(b) \( A = \{-3, -4, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 2 olur.

(c) \( A = \{-3, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 6 olur.

(d) \( A = \{3, -4, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 8 olur.

(e) Bu 6 değerle elemanları toplamı 10 olan bir tanım kümesi oluşturulamaz.

Doğru seçenek (e) olur.

Verilen parçalı fonksiyonun iki aralığı için görüntü kümesini ayrı ayrı bulalım.

Aralık 1:

\( 0 \le x \le \pi \)

Sinüs fonksiyonu bu aralıkta \( [0, 1] \) aralığında değer alır.

\( 0 \le \sin{x} \le 1 \)

\( 0 \le 2\sin{x} \le 2 \)

\( 3 \le 2\sin{x} + 3 \le 5 \)

Aralık 2:

\( \pi \lt x \le 2\pi \)

Kosinüs fonksiyonu bu aralıkta \( (-1, 1] \) aralığında değer alır.

\( -1 \lt \cos{x} \le 1 \)

\( -3 \lt 3\cos{x} \le 3 \)

Bulduğumuz iki aralığın birleşim kümesi \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini verir.

Görüntü kümesi: \( f(x) \in (-3, 3] \cup [3, 5] = (-3, 5] \)

Fonksiyonun tanım kümesi 4 elemanlı olduğu için bu 4 eleman hiçbir zaman değer kümesindeki 5 elemanla eşlenemez, dolayısıyla görüntü kümesi en fazla 4 elemanlı olabilir.

5 elemanlı değer kümesinin elemanları arasından belirli sayıda eleman aşağıdaki şekillerde seçilebilir.

Durum 1: 1 elemanlı görüntü kümeleri

\( C(5, 1) = 5 \)

Durum 2: 2 elemanlı görüntü kümeleri

\( C(5, 2) = 10 \)

Durum 3: 3 elemanlı görüntü kümeleri

\( C(5, 3) = 10 \)

Durum 4: 4 elemanlı görüntü kümeleri

\( C(5, 4) = 5 \)

Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi \( 5 + 10 + 10 + 5 = 30 \) farklı şekilde olabilir.

Fonksiyonun tanım kümesi 4 elemanlı olduğu için bu 4 eleman hiçbir zaman değer kümesindeki 7 elemanla eşlenemez, dolayısıyla görüntü kümesi en fazla 4 elemanlı olabilir.

7 elemanlı değer kümesinin elemanları arasından belirli sayıda eleman aşağıdaki şekillerde seçilebilir.

Durum 1: 1 elemanlı görüntü kümeleri

\( f(y) = 5 \) olarak verildiği için 1 elemanlı sadece bir görüntü kümesi olabilir.

Durum 2: 2 elemanlı görüntü kümeleri

Değer kümesinde "5" dışındaki 6 eleman arasından 1 eleman \( C(6, 1) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.

Durum 3: 3 elemanlı görüntü kümeleri

Değer kümesinde "5" dışındaki 6 eleman arasından 2 eleman \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.

Durum 4: 4 elemanlı görüntü kümeleri

Değer kümesinde "5" dışındaki 6 eleman arasından 3 eleman \( C(6, 3) = 20 \) farklı şekilde seçilebilir.

Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi \( 1 + 6 + 15 + 20 = 42 \) farklı şekilde olabilir.

Üstel fonksiyonu tanımsız yapan bir değer olmadığı için fonksiyonun en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.

Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)

\( 2^{2x - x^2} \) ifadesi tabanı 1'den büyük olan, dolayısıyla artan bir üstel fonksiyondur. Buna göre fonksiyon en küçük değerini üssünün en küçük değerinde, en büyük değerini de üssünün en büyük değerinde alır.

Üsteki \( 2x - x^2 \) ifadesi bir paraboldür ve başkatsayısı negatif olduğu için en küçük değeri \( -\infty \) olur, en büyük değerini de tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( a = -1, \quad b = 2, \quad c = 0 \)

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2(-1)} = 1 \)

Buna göre \( x = 1 \) noktasında \( 2x - x^2 \) parabolü, dolayısıyla \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi ve \( f(x) \) fonksiyonu en büyük değerini alır.

\( f(1) = 3 + 2^{2 \cdot 1 - 1^2} = 5 \)

Fonksiyonun en küçük değerini bulalım.

\( 2x - x^2 \to -\infty \) iken \( 2^{2x - x^2} \to 0 \) olur, ama 0 değerini almaz. \( f(x) \) de bu durumda sabit terim olan 3'e yaklaşır, ama 3 değerini almaz.

Görüntü kümesi: \( f(x) \in (3, 5] \)

Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.

\( \dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1} \ge 0 \)

Payı sıfır yapan değeri bulalım.

\( 4^{-x} - 2 = 0 \)

\( 4^{-x} = 2 \)

\( 2^{-2x} = 2^1 \)

\( -2x = 1 \)

\( x = -\dfrac{1}{2} \)

Paydayı sıfır yapan değeri bulalım.

\( 3^x - 1 = 0 \)

\( 3^x = 1 \)

\( x = 0 \)

Bu değerleri kullanarak eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım.

Bu tabloyu hazırlarken \( 4^{-x} \) ifadesinin azalan, \( 3^x \) ifadesinin artan bir fonksiyon olduğuna dikkat edilmelidir.

Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.

Tanım kümesi: \( x \in [-\frac{1}{2}, 0) \)