Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi

\( f: A \to B \) şeklindeki bir fonksiyon tanımında \( A \) tanım kümesi, \( B \) değer kümesidir. Tanım kümesi her bir elemanı değer kümesinin bir elemanı ile eşlenecek değerleri, değer kümesi de tanım kümesindeki elemanların eşlenebileceği değerleri içerir.

Tanım, değer ve görüntü kümeleri
Tanım, değer ve görüntü kümeleri

Tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesinde eşlendiği elemana bu elemanın \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü denir. Fonksiyon tanımı gereği tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde sadece bir görüntüsü olmak zorundadır.

Tanım kümesinin tüm elemanlarının görüntülerinin oluşturduğu kümeye fonksiyonun görüntü kümesi denir ve \( f(A) \) ile gösterilir.

Tanım kümesindeki elemanların görüntüleri değer kümesindeki tüm elemanları kapsıyorsa görüntü kümesi değer kümesine eşit olur (\( f(A) = B \)), aksi takdirde (değer kümesinde açıkta elemanlar kalıyorsa) görüntü kümesi değer kümesinin bir öz alt kümesi olur (\( f(A) \subset B \)).

Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki tüm noktaların \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümleri tanım kümesini, \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümleri de görüntü kümesini verir.

Grafik üzerinde tanım ve görüntü kümeleri
Grafik üzerinde tanım ve görüntü kümeleri

Tanım ve değer kümelerinin fonksiyon tanımında belirtilmediği durumlarda tanım kümesi fonksiyonun reel sayı sonuç verdiği en geniş aralık (örneğin polinom fonksiyonları için tüm reel sayılar, \( \sqrt{x} \) için negatif olmayan reel sayılar), değer kümesi de reel sayılar kümesi olarak kabul edilebilir.

Tanımsız Noktalar

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her eleman için bir değeri olması gerektiği için fonksiyonu tanımsız yapan \( x \) değerleri tanım kümesinin dışında tutulmalıdır. Bu tanımsızlık durumları aşağıdaki şekillerde olabilir.

Paydayı Sıfır Yapan Değerler

Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan \( x \) değerleri ifadeyi tanımsız yapar.

İfade Tanımsız Değerler
\( \dfrac{1}{x - 2} \) Paydayı sıfır yapan \( x = 2 \) değerinde ifade tanımsız olur.
\( \dfrac{1}{x^2 - 5x + 6} \) Paydayı sıfır yapan \( x \in \{ 2, 3 \} \) değerlerinde ifade tanımsız olur.
\( \dfrac{1}{x^2 - 4} + \dfrac{1}{x - 5} \) Paydaları sıfır yapan \( x \in \{ -2, 2, 5 \} \) değerlerinde ifade tanımsız olur.
\( \dfrac{1}{\sin{x} - 1} \) Paydayı sıfır yapan \( x \in \{\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) değerlerinde ifade tanımsız olur.

Çift Dereceli Köklü İfadeler

Derecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içi negatif olamayacağı için kök içini negatif yapan \( x \) değerleri ifadeyi tanımsız yapar.

İfade Tanımsız Değerler
\( \sqrt{x} \) Kök içini negatif yapan \( x \lt 0 \) aralığında ifade tanımsız olur.
\( \sqrt{x - 2} - \sqrt[4]{6 - x} \) Kök içini negatif yapan \( x \lt 2 \) ve \( x \gt 6 \) aralıklarında ifade tanımsız olur.
\( \sqrt{(x - 1)(x - 4)} \) Kök içini negatif yapan \( 1 \lt x \lt 4 \) aralığında ifade tanımsız olur.

Tanımsızlık İçeren Fonksiyonlar

Bir trigonometrik ya da logaritmik fonksiyonu tanımsız yapan \( x \) değerleri bu fonksiyonları içeren fonksiyonları da tanımsız yapar.

Fonksiyon Tanımsız Değerler
\( \tan{x} \) Fonksiyon içini \( \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \cot{x} \) Fonksiyon içini \( \{k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \sec{x} \) Fonksiyon içini \( \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \csc{x} \) Fonksiyon içini \( \{k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \arcsin{x} \) Fonksiyon içini \( [-1, 1] \) aralığı dışında bir değer yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \arccos{x} \) Fonksiyon içini \( [-1, 1] \) aralığı dışında bir değer yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \arcsec{x} \) Fonksiyon içini \( [-1, 1] \) aralığında bir değer yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \arccsc{x} \) Fonksiyon içini \( [-1, 1] \) aralığında bir değer yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \log{x} \) Logaritma içini sıfır ya da negatif yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.
\( \ln{x} \) Logaritma içini sıfır ya da negatif yapan \( x \) değerlerinde tanımsızdır.

Görüntü Kümesinin Bulunması

Bir fonksiyonun grafiği verildiyse grafik üzerindeki tüm noktaların \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümlerinin oluşturduğu küme görüntü kümesini verir.

Bir fonksiyonun grafiği verilmediyse ancak fonksiyonun grafik ve görüntü kümesi özellikleri biliniyorsa bu özellikler yardımıyla görüntü kümesi bulunabilir.

Ters fonksiyon konusunda göreceğimiz üzere, bir \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi ters fonksiyonu olan \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi ile, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi de \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesi ile aynıdır. Buna göre bir fonksiyonun ters fonksiyonunu ve ters fonksiyonunun tanım kümesini bulduğumuzda fonksiyonun görüntü kümesini de bulmuş oluruz.

SORU 1:

\( A = \{4, 5, 7, 8\} \)

\( B = \{10, 12, 13, 15, 19, 22\} \)

\( f: A \to B \)

\( f(x) = 3x - 2 \) olduğuna göre, \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 2:

\( f: A \to B \)

\( f(x) = \dfrac{x - 2}{2} \)

\( f(A) = \{2, 4, 6\} \) olduğuna göre, \( A \) kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 3:

\( f: (-2, 4] \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = \dfrac{4x + 1}{2} \) olduğuna göre, fonksiyonun görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 4:

\( f = \{ (1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 1) \} \)

\( f \) fonksiyonunun tanım, değer ve görüntü kümelerinden hangisi ya da hangileri \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olabilir?

Çözümü Göster
SORU 5:

\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = x^2 - 5 \) fonksiyonu veriliyor.

\( f(A) = \{4, 11, 20\} \) olduğuna göre, \( A \) kümesinin elemanları toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

(a) \( 0 \quad \) (b) \( 2 \quad \) (c) \( 6 \quad \) (d) \( 8 \quad \) (e) \( 10 \)

Çözümü Göster
SORU 6:
Soru

Yukarıda \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

I. \( f(0) = 7 \)

II. Tanım kümesi \( [-3, 6) \) aralığıdır.

III. Görüntü kümesi \( [-3, 7] \) aralığıdır.

IV. Fonksiyonun \( [-3, 6] \) aralığında tanımsız olduğu 3 nokta vardır.

V. \( f(-3) = f(4) \)

Çözümü Göster
SORU 7:

\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = (x - 3)^2 + 2 \)

fonksiyonunun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 8:

\( f: [2, 8] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 3 \)

fonksiyonunun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 9:

\( f(x) = (2x - 9)^2 + (7 - 2x)^2 \) fonksiyonunun en küçük değeri nedir?

Çözümü Göster
SORU 10:

\( A = \{2, 3, 4, 5\} \) ve \( B = \{0, 1, 2, 3, 4\} \) olduğuna göre,

\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlanacak bir fonksiyonun görüntü kümesi kaç farklı şekilde olabilir?

Çözümü Göster
SORU 11:

\( A = \{x, y, z, t\} \)

\( B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) olmak üzere,

\( f(y) = 5 \) olacak şekilde \( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanacak \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi kaç farklı şekilde olabilir?

Çözümü Göster
SORU 12:
Soru

Yukarıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

I. \( y = -f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-3 , +\infty) \) aralığıdır.

II. \( y = 2f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) aralığıdır.

III. \( y = f^2(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, 9] \) aralığıdır.

Çözümü Göster
SORU 13:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = \dfrac{9x + 3a}{(2a + 2)x + 2} \) olduğuna göre, \( f(a) \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 14:

\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x - 21} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 15:

\( f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 16:

\( f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 25} \) fonksiyonunun en geniş tanım ve görüntü kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 17:

\( f(x) = \dfrac{\sqrt{25 - x^2}}{\sqrt{x - 4}} \)

\( g(x) = \sqrt{\dfrac{25 - x^2}{x - 4}} \)

fonksiyonlarının tanımlı olduğu \( x \) reel sayı aralıklarını bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 18:

\( f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{4x - 8} - 2} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 19:

\( f(x) = \dfrac{3x + 1}{\abs{x + 1} - 2} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 20:

\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3} + \sqrt{7 - x}}{x^2 - 9x + 20} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 21:

\( f(x) = \sqrt{6 - \sqrt{x}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç tam sayı eleman vardır?

Çözümü Göster
SORU 22:

\( f(x) = \sqrt{3 - \abs{x + 1}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç tam sayı eleman vardır?

Çözümü Göster
SORU 23:

\( f(x) = \dfrac{2xf(x) + 3x + 1}{3x - 2} \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 24:

\( f(x) = \dfrac{2x + 6}{x^2 - 2x - 8} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 25:

\( f(x) = 6 - \sqrt{x - 5} \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 26:

\( f(x) = 3^{2 - x} + 5 \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 27:

\( f(x) = 3 + 2^{2x - x^2} \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?

Çözümü Göster
SORU 28:

\( f(x) = 2^x + 5^x + 2^{-x} + 5^{-x} + 6 \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi için görüntü kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 29:

\( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( [3, 4] \), görüntü kümesi \( [-2, 1] \) aralığıdır.

\( g(x) = f^2(\sqrt{x}) + 5 \) olduğuna göre, \( g \) fonksiyonunun en geniş tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 30:

\( f(x) = \sqrt{\dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1 }} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

Çözümü Göster
SORU 31:

\( f(x) = 3\sqrt{4 - x^2} \) fonksiyonun reel sayılardaki en geniş tanım kümesi \( A \) ve görüntü kümesi \( B \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

I. \( A = [-2, 2] \)

II. \( B = [0, 6] \)

III. \( A \cap B = [-2, 6] \)

Çözümü Göster
SORU 32:

\( f(x) = \begin{cases} 2\sin{x} + 3 & 0 \le x \lt \pi \\ 3\cos{x} & \pi \le x \le 2\pi \end{cases} \)

şeklinde tanımlanan \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.

Çözümü Göster

« Önceki
Fonksiyonların Grafik Gösterimi
Sonraki »
Fonksiyon Tipleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır